2021版新高考数学一轮复习第2单元函数2.3函数的奇偶性与周期性课件新人教A版.pptx

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1、2 2.3 3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性-2-知识梳理考点自诊1.函数的奇偶性f(-x)=f(x)y轴 f(-x)=-f(x)原点-3-知识梳理考点自诊2.函数的周期性(1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足条件:T0;对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫做f(x)的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x)最小的正数 最小正数-4-知识梳理考点自诊1.函数奇偶性的四个重要结论(1

2、)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(4)在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.-5-知识梳理考点自诊2.周期性的几个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x(其中a0,且为常数):(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;(2)若f(x+a)=(mR且m0),则T=2a;(3)若f(x+a)=f(x-a),则T=2a;一般地,若f(x+a)=f(x-b)

3、,则T=|a+b|;(4)若f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于x=b对称,则T=4|a-b|;(5)若f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则T=2|a-b|.3.对称性的四个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;-6-知识梳理考点自诊-7-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)函数y=x2在区间(0,+)内是偶函数.()(2)偶函

4、数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.()(3)若函数y=f(x-2)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称.()(4)如果函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.()(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-,0)内是减函数,则f(x)在(0,+)内是增函数.()(6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(nZ)是函数f(x)的周期.()-8-知识梳理考点自诊2.(2019云南玉溪一中二模,理3)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+)上单调递减的函数是()A.y=x3C.y=2|x|D.y=cos

5、xB-9-知识梳理考点自诊3.(2019全国2,文6)设f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=ex-1,则当x0时,f(x)=()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+1D解析:f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x).当x0,f(-x)=e-x-1=-f(x),即f(x)=-e-x+1.故选D.-10-知识梳理考点自诊4.(2019山师附中考前模拟,3)把满足条件()xR,f(-x)=f(x),()x1R,x2R,使得f(x1)=-f(x2)的函数称为“D函数”,下列函数是“D函数”的有()y=x2+|x|;y=x3;y=ex+e-x;y=cos x;y=xsin x.

6、A.1个 B.2个 C.3个 D.4个B解析:满足()()的函数是偶函数,且值域关于原点对称,满足,选B.5.(2019全国2,理14)已知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a=.-3解析:ln 2(0,1),f(ln 2)=8,f(x)是奇函数,f(-ln 2)=-8.当x0时,-x0,此时f(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-2x-1=-f(x);当x0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.-13-考点1考点2考点3考点4思考

7、判断函数的奇偶性要注意什么?解题心得判断函数的奇偶性要注意两点:(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.(2)判断关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.-14-考点1考点2考点3考点4对点训练1判断函数的奇偶性:f(x)=x3-x.解:由题意知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.因为f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.-15-考点1考点2考点3考点4函数奇偶性的应用例2(1)(2019陕西西安中学模拟)设f(x)-x2=g(x),xR,若函数f(x)为偶函数,则g(x)的

8、解析式可以为()A.g(x)=x3B.g(x)=cos xC.g(x)=1+xD.g(x)=xexA.3和4B.-2和5 C.6和2D.-2和2B 18CD-16-考点1考点2考点3考点4解析:(1)因为f(x)=x2+g(x),且函数f(x)为偶函数,所以有(-x)2+g(-x)=x2+g(x),即g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,由选项可知,只有选项B中的函数为偶函数,故选B.(2)因为函数y=f(x+1)-2为奇函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,2)对称,关于点(1,2)对称,所以两个函数图象的交点也关于点(1,2)对称,则(x1+x2+x6)+(y1+y2+y6)=23

9、+43=18.故答案为18.-17-考点1考点2考点3考点4思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?解题心得1.函数奇偶性的应用主要有:利用函数的奇偶性求函数解析式;利用函数的奇偶性研究函数的单调性;利用函数的奇偶性解不等式;利用函数的奇偶性求最值等.2.已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.-18-考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)(2019河北衡水中学一模,5)已知f(x)是定义在R上的奇函数,若x0时,f(x)=xln x,则x0时,f(x)=()A.xln xB.xln(-x)

10、C.-xln xD.-xln(-x)B B 1-19-考点1考点2考点3考点4解析:(1)设x0,所以f(-x)=-xln(-x).又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=xln(-x).故选B.-20-考点1考点2考点3考点4-21-考点1考点2考点3考点4函数周期性的应用例3(1)(2018全国2,理12)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=.若当2x3时,f(x)

11、=x,则f(105.5)=.C2.5-22-考点1考点2考点3考点4解析解析:(1)f(-x)=f(2+x)=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x).f(x)的周期为4.f(x)为奇函数,f(0)=0.f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.函数f(x)的周期为4.f(105.5)=f(427-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).22.53,f(2.5)=2.5.f(

12、105.5)=2.5.-23-考点1考点2考点3考点4解题心得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,再进行求解.-24-考点1考点2考点3考点4对点训练3(1)(2019黑龙江哈尔滨三中调研,8)函数f(x)满足对任意的实数x都有f(x+2)=-f(x),且f(1)=-1,f(2)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)的值为()A.1B.-1C.2D.-2(2)已知函数f(x)是(-,+)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x0,1时,f(x)=2x-1,则f(2 017)+f(2 018)的值为()A.-2

13、B.-1C.0D.1D D-25-考点1考点2考点3考点4解析:(1)函数f(x)满足对任意的实数x都有f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x).f(1)=-1,f(2)=-2,f(3)=f(1+2)=-f(1)=1,f(4)=f(2+2)=-f(2)=2,f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)=504f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(1)+f(2)+f(3)=-1-2+1=-2.故选D.(2)由题意,f(-x)=-f(x),f(x)=f(2-x)=-f(-x),f(4-x)=-f(2-x)=f(-x),f(x)的周期为4.当x0,1时,f(x)=2x

14、-1,f(2 017)+f(2 018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0)=1+0=1.-26-考点1考点2考点3考点4函数性质的综合应用例4(1)(2019山西晋城二模)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+5)=f(x-3),如果当x0,4)时,f(x)=log2(x+2),则f(766)=()A.3B.-3C.2D.-2(2)(2019山东聊城一模,8)设函数f(x)=+a,若f(x)为奇函数,则不等式f(x)1的解集为()A.(0,1)B.(-,ln 3)C.(0,ln 3)D.(0,2)CC-27-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由f(x+5)=f(x-3),得f(x

15、-3+8)=f(x-3),所以f(x+8)=f(x),所以f(x)是周期为8的周期函数,f(766)=f(968-2)=f(-2),f(-2)=f(2)=log24=2.-28-考点1考点2考点3考点4思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些?解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略:(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周

16、期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.-29-考点1考点2考点3考点4对点训练4(1)(2019山东济宁一模,5)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),若f(1)=9,则f(2 019)=()A.-9B.9C.-3 D.0AA-30-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由函数f(x)是定义在R上的奇函数,得f(-x)=-f(x),又由f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),所以f(x-1)=-f(x+1),由此可得f(x)=-f(x+2)=f(x+4),即函数f(x)是周期为4的周期函数,则f(2 019)=f(-1+5054)=f(-1)=-f

17、(1)=-9.故选A.-31-考点1考点2考点3考点4所以当x1时y=f(x)是减函数.又因为f(x+1)为偶函数,所以y=f(x)关于直线x=1对称,所以当x1时函数y=f(x)是增函数.又因为f(3)=1,所以有f(-1)=1,当log2x1,即当0 x2时,f(log2x)1f(log2x)-1-32-考点1考点2考点3考点41.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个关键点:(1)“定义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.2.奇函数、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或应用定义的等价形式:3.函数的奇偶性、对称性、周期性,知二断一.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0;偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.-33-考点1考点2考点3考点44.求函数周期的方法-34-考点1考点2考点3考点41.判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域.2.函数f(x)是奇函数,必须满足对定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0,使f(-x0)=-f(x0).同样偶函数也是如此.