标量场的梯度.ppt

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1、 电 磁 场 理 论 Electromagnetic Theory 武汉大学 柯亨玉第一讲序序 论论 一、电磁场理论的主要研究领域一、电磁场理论的主要研究领域 二、电磁场理论的发展简史二、电磁场理论的发展简史 三、电磁场理论的主要研究对象三、电磁场理论的主要研究对象四、学习的目的、方法及要求四、学习的目的、方法及要求 理论物理论物理学的理学的分支分支电磁电磁场理场理论的论的主要主要研究研究领域领域 无线电无线电技术理技术理论基础论基础一、电磁场理论的主要研究领域一、电磁场理论的主要研究领域致力于电磁场的物理属致力于电磁场的物理属性、统一场理论、微观性、统一场理论、微观量子电动力学等的研究量子电

2、动力学等的研究致力于电磁场与物质的致力于电磁场与物质的相互作用，新的信息传相互作用，新的信息传输系统、器件和信息处输系统、器件和信息处理与利用的新技术研究理与利用的新技术研究电气工电气工程学科程学科的核心的核心致力于电磁场能量的产致力于电磁场能量的产生、传输、转换、储存生、传输、转换、储存和应用的研究和应用的研究 三大类应用问题三大类应用问题 电磁场（或电磁波）作为能量的一种形电磁场（或电磁波）作为能量的一种形 式，是当今世界最重要的能源，其研究式，是当今世界最重要的能源，其研究 领域涉及电磁能的产生、储存、变换、领域涉及电磁能的产生、储存、变换、传输和综合利用传输和综合利用 电磁波作为信息传

3、输的载体，成为当今电磁波作为信息传输的载体，成为当今 社会发布和获取信息的主要手段，主要社会发布和获取信息的主要手段，主要 研究领域为信息的产生、获取、交换、研究领域为信息的产生、获取、交换、传输、储存、处理、再现和综合利用传输、储存、处理、再现和综合利用 电磁波作为探测未知世界的一种重要手电磁波作为探测未知世界的一种重要手 段，主要研究领域为电磁波与目标的相段，主要研究领域为电磁波与目标的相 互作用特性、目标探测及其特征的获取互作用特性、目标探测及其特征的获取二、磁场理论发展简史二、磁场理论发展简史 1 1电磁场理论的早期研究电磁场理论的早期研究 电、磁现象是大自然最重要的物理现象，也最早电

4、、磁现象是大自然最重要的物理现象，也最早 被科学家们关心和研究的物理现象，其中贡献最被科学家们关心和研究的物理现象，其中贡献最 大的有来顿、富兰克林、伏打等科学家。大的有来顿、富兰克林、伏打等科学家。1919世纪以前，电、磁现象作为两个独立的物理现世纪以前，电、磁现象作为两个独立的物理现 象来研究，因而发现电与磁的联系。但是这些研象来研究，因而发现电与磁的联系。但是这些研究为电磁学理论的建立奠定了基础。究为电磁学理论的建立奠定了基础。2 2电磁场理论的建立电磁场理论的建立1818世纪末期，德国哲学家谢林认为，宇宙是世纪末期，德国哲学家谢林认为，宇宙是有活力的，而不是僵死的。他认为电就是宇有活力

5、的，而不是僵死的。他认为电就是宇宙的活力，是宇宙的灵魂；电、磁、光、热宙的活力，是宇宙的灵魂；电、磁、光、热是相互联系的。是相互联系的。奥斯特是谢林的信徒，他从奥斯特是谢林的信徒，他从18071807年开始研究年开始研究电磁之间的关系。电磁之间的关系。18201820年，他发现电流以力年，他发现电流以力作用于磁针。作用于磁针。安培发现作用力的方向和电流的方向以及磁针到通安培发现作用力的方向和电流的方向以及磁针到通过电流的导线的垂直线方向相互垂直，并定量建立过电流的导线的垂直线方向相互垂直，并定量建立了若干数学公式。了若干数学公式。法拉第相信电、磁、光、热是相互联系的。奥斯特法拉第相信电、磁、光

6、、热是相互联系的。奥斯特18201820年发现电流以力作用于磁针后，法拉第敏锐地年发现电流以力作用于磁针后，法拉第敏锐地意识到磁也一定能够对电产生影响。意识到磁也一定能够对电产生影响。18211821年他开始年他开始探索磁生电的实验。探索磁生电的实验。18311831年他发现，当磁捧插入导年他发现，当磁捧插入导体线圈时；导线圈中就产生电流。这表明，电与磁体线圈时；导线圈中就产生电流。这表明，电与磁之间存在着密切的联系。之间存在着密切的联系。麦克斯韦深入研究并探讨了电与磁之间发麦克斯韦深入研究并探讨了电与磁之间发 生作用的问题，发展了场的概念。在法拉生作用的问题，发展了场的概念。在法拉 第实验的

7、基础上，总结了宏观电磁现象的第实验的基础上，总结了宏观电磁现象的 规律，引进位移电流的概念，提出了一组规律，引进位移电流的概念，提出了一组 描述电磁现象规律的偏微分方程，即麦克描述电磁现象规律的偏微分方程，即麦克 斯韦方程组，是宏观电磁学的基本方程。斯韦方程组，是宏观电磁学的基本方程。3 3电磁场理论的应用和发展电磁场理论的应用和发展 18871887年，德国科学家赫兹用火花隙激励一年，德国科学家赫兹用火花隙激励一个环状天线，用另一个带隙的环状天线接个环状天线，用另一个带隙的环状天线接收，证实了麦克斯韦关于电磁波存在的预收，证实了麦克斯韦关于电磁波存在的预言，这一重要的实验导致了后来无线电报言

8、，这一重要的实验导致了后来无线电报的发明。从此开始了电磁场理论应用与发的发明。从此开始了电磁场理论应用与发展时代，成为当代最活跃的学科领域展时代，成为当代最活跃的学科领域无线电报无线电报 18951895年，意大利人马可尼成功地进行了年，意大利人马可尼成功地进行了2.52.5公里公里距离的无线电报传送实验。距离的无线电报传送实验。18961896年，波波夫进行年，波波夫进行了约了约250250米距离的类似试验米距离的类似试验,1899,1899年年,无线电报跨无线电报跨越英吉利海峡的试验成功；越英吉利海峡的试验成功；19011901年，跨越大西洋年，跨越大西洋的的32003200公里距离的试验

9、成功。开始了利用电磁波公里距离的试验成功。开始了利用电磁波进行信息传输的时代。马可尼以其在无线电报等进行信息传输的时代。马可尼以其在无线电报等领域的成就，获得领域的成就，获得19091909年的诺贝尔奖。年的诺贝尔奖。有线电话有线电话 18761876年年,美国科学家贝尔在美国建国美国科学家贝尔在美国建国100100 周年博览会上展示了他所发明周年博览会上展示了他所发明 的有线电的有线电 话。此后话。此后,有线电话便迅速普及开来。有线电话便迅速普及开来。广播广播 19061906年，美国人费森登用年，美国人费森登用5050千赫频率发电机作发射千赫频率发电机作发射 机，用微音器接入天线实现调制，

10、使大西洋航船机，用微音器接入天线实现调制，使大西洋航船 上的报务员听到了他从波士顿播出的音乐。上的报务员听到了他从波士顿播出的音乐。19191919 年，第一个定时播发年，第一个定时播发 语言和音乐的无线电广播电语言和音乐的无线电广播电 台在英国建成。次年，在美国的匹兹堡城又建成台在英国建成。次年，在美国的匹兹堡城又建成 一座无线电广播电台。一座无线电广播电台。电视电视 18841884年，德国人尼普科夫提出机械扫描电视的设年，德国人尼普科夫提出机械扫描电视的设 想，想，19271927年，英国人贝尔德成功地用电话线路把年，英国人贝尔德成功地用电话线路把 图像从伦敦传至大西图像从伦敦传至大西

11、洋中的船上。兹沃霄金在洋中的船上。兹沃霄金在 19231923年和年和19241924年相继发明了摄像管和显像管。年相继发明了摄像管和显像管。19311931年，世界上年，世界上 第一个全电子电视系统出现。第一个全电子电视系统出现。雷达（雷达（Radio Detection and RangingRadio Detection and Ranging）1922年，意大利科学家G马可尼发表了无 线电波能检测物体的论文，是雷达最早的 基本概念。雷达作为一种探测目标的电子 设备，产生于二次世界大战。雷达的英文 RADARRADAR是Radio Detection And Ranging的 缩写，意为

12、“无线电探测和测距”。19361936年，英国的瓦特设计的警戒雷达最先投入了运年，英国的瓦特设计的警戒雷达最先投入了运行。有效地警戒了来自德国的轰炸机。行。有效地警戒了来自德国的轰炸机。19381938年，美年，美国研制成第一部能指挥火炮射击的火炮控制雷达。国研制成第一部能指挥火炮射击的火炮控制雷达。19401940年，多腔磁控管的发明，微波雷达的研制成为年，多腔磁控管的发明，微波雷达的研制成为可能。可能。19441944年，自动跟踪飞机的雷达研制成功，年，自动跟踪飞机的雷达研制成功，19451945年，能消除背景干扰显示运动目标的显示技术年，能消除背景干扰显示运动目标的显示技术发明发明,使雷

13、达更加完善。在整个第二次世界大战期使雷达更加完善。在整个第二次世界大战期间间,雷达成了电磁场理论最活跃的部分。雷达成了电磁场理论最活跃的部分。卫星通信技术卫星通信技术 19581958年年,美国发射低轨的美国发射低轨的“斯科尔斯科尔”卫星成功卫星成功,这这是第一颗用于通信的试验卫星。是第一颗用于通信的试验卫星。19641964年年,借助定点借助定点的同步通信卫星首次实现了美、的同步通信卫星首次实现了美、欧、非三大洲的欧、非三大洲的通信和电视转播。通信和电视转播。19651965年年,第一颗商用定点同步卫第一颗商用定点同步卫星投入运行。星投入运行。19691969年年,大西洋、太平洋和印度洋上大

14、西洋、太平洋和印度洋上空均已有定点同步通信卫星空均已有定点同步通信卫星,卫星地球站已遍布世卫星地球站已遍布世界各国，这些卫星地球站又和本国或本地区的通信界各国，这些卫星地球站又和本国或本地区的通信 网接通。卫星通信经历网接通。卫星通信经历1010年的发展终趋于成熟年的发展终趋于成熟。卫星定位技术卫星定位技术 （Navigation Satellite Timing and Ranging/Global Positioning System GPS 1957年卫星发射成功后，以卫星为基地对地球表 面及近地空间目标的定位和导航成为可能。1958 年底，美国开始研究实施这一计划，于1964年研 究成

15、功子午仪卫星导航系统。1973年美国提出了 由24颗卫星组成的实用系统新方案，即GPS计 划，1990年最终的GPS方案是由21颗工作卫星和 3颗在轨备用卫星组成。三、电磁场理论的主要研究对象三、电磁场理论的主要研究对象 电磁场的基本属性及其运动规律电磁场的基本属性及其运动规律 场与物质的相互作用及信息的提取场与物质的相互作用及信息的提取 电磁场系统的计算方法，仿真技术电磁场系统的计算方法，仿真技术 工程技术应用中的电磁场理论问题工程技术应用中的电磁场理论问题四、学习的目的、方法及其要求四、学习的目的、方法及其要求 掌握宏观电磁场的基本属性和运动规律掌握宏观电磁场问题的基本求解方法了解宏观电磁

16、场的主要应用领域及其原理训练分析问题、归纳问题的科学方法培养用数学解决实际问题的能力独立完成作业，做好课堂笔记精读一至二本教学参考书五、主要参考书五、主要参考书【1】J.D.Kraus，Electromagnetism with Application（Fifth Edition）【2】毕德显，电磁场理论，电子工业出版社【3】郭硕鸿，电动力学（第二版）【4】王蔷等，电磁场理论基础，清华大学出版社【5】谢处方，电磁场与电磁波，高等教育出版社第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础主要内容主要内容：矢量的基本概念、代数运算、矢量分析基础、场论基础（梯度、矢量场的散度和旋度）、矢量场的He

17、lmholtz定理第二讲1.1 1.1 正交曲线坐标系正交曲线坐标系1.1.正交曲线坐标正交曲线坐标 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。该三条正交曲线组成确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系，三条正交曲线称为坐标轴，描述坐标轴的量称为坐标变量 1.1 1.1 正交曲线坐标系正交曲线坐标系2.2.正交曲线坐标变换正交曲线坐标变换 三维空间中同一位置三维空间中同一位置 可以用不同的正交曲可以用不同的正交曲 线坐标系描述。因此线坐标系描述。因此 不同坐标系之间存在不同坐标系之间存在 相互变换的关系，且相互变换的关系，且 这种变换关系只能是这种变换关系只能是 一一对

18、应的一一对应的在任何正交曲线坐标系中，存在一组与坐标轴相对应的单位矢量。如直角坐标系中的 ，圆柱坐标系中的 等。正交曲线坐标系某个坐标方向上的单位矢量，它是该坐标变量为常数所对应曲面的单位法矢量。1.1 正交曲线坐标系正交曲线坐标系1.1 正交曲线坐标系正交曲线坐标系3 3 坐标系中的弧长坐标系中的弧长 在直角坐标系中，空间任意点的坐标变量的微小变化，变化前后的弧长弧长是：在正交曲线坐标系中，坐标变量 的相邻两点的微小变化弧长 其中称为Lame系数1.3 标量场的梯度标量场的梯度1 1场的概念场的概念 在自然界中，许多物理的量是定义在确定空间区在自然界中，许多物理的量是定义在确定空间区域上的，

19、在该区域上每一点都有确定的量与之对域上的，在该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区域上定义了一个场。如电荷在应，我们称在该区域上定义了一个场。如电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发的其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发的磁场等。如果这个量是标量我们称该场为标量场；磁场等。如果这个量是标量我们称该场为标量场；如果这个量是矢量，则称该场为矢量场。如果场如果这个量是矢量，则称该场为矢量场。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。从数与时间无关，称为静态场，反之为时变场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。学上看，场是定义在空间区域上的函数。如果场与时间无关，称为静态场

20、，反之如果场与时间无关，称为静态场，反之 为时变场。静态标量场和矢量场可分别为时变场。静态标量场和矢量场可分别 表示为：表示为：，时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为：，（1)1)场的基本性质及其分析方法场的基本性质及其分析方法 （2)2)场与源的关系及其相互作用场与源的关系及其相互作用 （3)3)场的相互作用场的相互作用1.3 标量场的梯度标量场的梯度2 标量场的等值面标量场的等值面 为了直观表示场在空间为了直观表示场在空间的变化，经常使用场的变化，经常使用场的等值面来反映。所的等值面来反映。所谓等值面是标量场为谓等值面是标量场为同一数值时各点在空同一数值时各点在空

21、间形成的曲面。间形成的曲面。导体等电位面导体等电位面3 3 方向导数方向导数 在实际应用中不仅需在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空要宏观上了解场在空间的数值，还需要知间的数值，还需要知道场在不同方向上场道场在不同方向上场变化的情况。应用方变化的情况。应用方向性导数可以描述标向性导数可以描述标量场在空间某个方向量场在空间某个方向上变化的情况。上变化的情况。1.3 标量场的梯度标量场的梯度方向性导数表示场沿方向性导数表示场沿 方向的空间变化率方向的空间变化率。M（r）M（rL）1.3 标量场的梯度标量场的梯度为为 的方向余弦的方向余弦 4 标量场的梯度标量场的梯度 在场的某一点上，场沿不同方向上

22、变化率的在场的某一点上，场沿不同方向上变化率的大小（方向性导数）是不同的，必然存在一大小（方向性导数）是不同的，必然存在一个变化最大的方向。定义：场变化最大的方个变化最大的方向。定义：场变化最大的方向为标量场梯度的方向，其数值为标量场的向为标量场梯度的方向，其数值为标量场的梯度值。梯度值。1.3 标量场的梯度标量场的梯度5 梯度的性质梯度的性质 标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的 方向表示该点场变化最大（增大）的方方向表示该点场变化最大（增大）的方 向，其数值表示变化最大方向上场的空间向，其数值表示变化最大方向上场的空间 变化率。变化率。标量场在某个方向上

23、的方向导数，是梯度标量场在某个方向上的方向导数，是梯度 在该方向上的投影。在该方向上的投影。1.3 标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度函数建标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场立了标量场与矢量场的联系，这一联系使的联系，这一联系使得某一类矢量场可以得某一类矢量场可以通过标量函数来研究，通过标量函数来研究，或者说标量场可以通或者说标量场可以通过矢量场的性质来研过矢量场的性质来研究。究。1.3 标量场的梯度标量场的梯度 标量场的梯度垂直标量场的梯度垂直 于通过该点的等值于通过该点的等值 面（或切平面）面（或切平面）6 梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式1.3 标量场的梯度标量场的梯度7 正交曲

24、线坐标系中梯度的表达式正交曲线坐标系中梯度的表达式 1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 1.4 矢量场的散度矢量场的散度 1 1 矢量场与矢量线矢量场与矢量线 在空间区域上的每一点有确定矢量与之对在空间区域上的每一点有确定矢量与之对 应，则称该空间区域上定义了一个矢量场。应，则称该空间区域上定义了一个矢量场。为了同时描述矢量场的方向和数值，除了直为了同时描述矢量场的方向和数值，除了直 接用矢量的数值和方向来表示矢量场的大小接用矢量的数值和方向来表示矢量场的大小 以外，用矢量线来形象的描述矢量场分布。以外，用矢量线来形象的描述矢量场分布。所谓矢量线是这样的曲线，其上每一点的切所谓矢量线是这样

25、的曲线，其上每一点的切 线方向代表了该点矢量场的方向。线方向代表了该点矢量场的方向。1.4 1.4 矢量场的散度矢量场的散度 矢量线能够描述矢量线能够描述矢量场在空间的矢量场在空间的方向，但不能够方向，但不能够直观描述矢量场直观描述矢量场的大小。的大小。矢量线方程：矢量线方程：1.4 1.4 矢量场的散度矢量场的散度 2 2矢量场的通量矢量场的通量 为克服矢量线不能为克服矢量线不能定量描述矢量场的大定量描述矢量场的大小，引入通量的概念。小，引入通量的概念。在场区域的某点选取在场区域的某点选取面元面元 ，穿过该面元，穿过该面元矢量线的总数称为矢矢量线的总数称为矢量场对于面积元的通量场对于面积元的

26、通量。量。矢量场对于曲面s的通量为曲面s上所有小面积元通量的叠加：1.4 1.4 矢量场的散度矢量场的散度 如果曲面s是闭合的，并规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：1.4 1.4 矢量场的散度矢量场的散度 3 3 矢量场的散度矢量场的散度 物理上的场物理上的场(无论是矢量场，还是标量场）无论是矢量场，还是标量场）都是相应的源激发的结果。矢量场通过闭合都是相应的源激发的结果。矢量场通过闭合 曲面通量的三种可能结果肯定与闭合曲面内曲面通量的三种可能结果肯定与闭合曲面内 有无产生矢量场的源直接相关。使闭合曲面有无产生矢量场的源直接相关。使闭合曲面 通量不为零的激励源为通量源通

27、量不为零的激励源为通量源。矢量场对闭矢量场对闭 合曲面的通量与闭合曲面内的通量源之间存合曲面的通量与闭合曲面内的通量源之间存 在某种确定的关系。在某种确定的关系。1.4 矢量场的散度矢量场的散度 表示通过闭合曲面表示通过闭合曲面有净的矢量线流出有净的矢量线流出表示有净的矢量线流入表示有净的矢量线流入表示流入和流出闭合曲面表示流入和流出闭合曲面的矢量线相等或没有矢量的矢量线相等或没有矢量线流入、流出闭合曲面线流入、流出闭合曲面 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系为了定量研

28、究场与源之间的关系，需建立场空间任为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度。因此散度是矢量通过包含该点称为矢量场的散度。因此散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限1.4 1.4 矢量场的散度矢量场的散度 4.4.散度与源的关系散度与源的关系 根据通量的物理意义，矢量场相对于小体根据通量的物理意义，矢量场相对于小体 积元的通量与体积

29、元内的通量源成正比：积元的通量与体积元内的通量源成正比：其中其中 为通量源密度。于是有：为通量源密度。于是有：为比例常数，一般由实验获得。为比例常数，一般由实验获得。1.4 1.4 矢量场的散度矢量场的散度 5 积分的积分的GaussGauss定理定理 直接从散度的定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲 面所包含体积中矢量场散度的积分。上式称为矢量场的Gauss定理。1.4 1.4 矢量场的散度矢量场的散度 6 6 散度的有关公式散度的有关公式 在任意正交曲线坐标系中，矢量场的散度 表达式为：1.4 1.4 矢量场的散度矢量场的散度 1 1矢量场的环量与旋涡源矢量场的环

30、量与旋涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类 不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力 线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。1.5 1.5 矢量场的旋度矢量场的旋度 第三讲1.5 矢量场的旋度矢量场的旋度 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：所围曲面的电流成正比，即：上式建立了磁场与电流的关系。上式建

31、立了磁场与电流的关系。引入环量概念。矢量场对于闭合曲线引入环量概念。矢量场对于闭合曲线L L的环量定义的环量定义为该矢量对闭合曲线为该矢量对闭合曲线L L的线积分，记为：的线积分，记为：（1)1)如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称 该矢量场为无旋场，又称为保守场。该矢量场为无旋场，又称为保守场。（2)2)如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量 场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。1.5 1

32、.5 矢量场的旋度矢量场的旋度 2 2 矢量场的旋度矢量场的旋度 矢量场的环量给出了矢量场与积矢量场的环量给出了矢量场与积 分回路所围曲面内旋涡源的宏观分回路所围曲面内旋涡源的宏观 联系。为了给出空间任意点矢量联系。为了给出空间任意点矢量 场与旋涡源的关系，当闭合曲线场与旋涡源的关系，当闭合曲线 L L所围的面积趋于零时，矢量场所围的面积趋于零时，矢量场 对回路对回路L L的环量与旋涡源对于的环量与旋涡源对于L L所所 围的面积的通量成正比，即：围的面积的通量成正比，即：1.5 1.5 矢量场的旋度矢量场的旋度 JFn 引入矢量场旋度，定义为：矢量场在M点处 的旋度为一矢量，其数值为包含M点在

33、内的 小面元边界的环量与小面元比值极限的最大 值，其方向为极限取得最大值时小面积元的 法线方向，即：1.5 1.5 矢量场的旋度矢量场的旋度 根据线积分的计算公式，不难得到旋度在直角坐标根据线积分的计算公式，不难得到旋度在直角坐标系中的表达式为系中的表达式为:1.5 1.5 矢量场的旋度矢量场的旋度 3 3面积分的面积分的StokesStokes定理定理 利用旋度的定义式，可得到一般曲线和曲 面积分之间的变换关系式，即Stokes定理1.5 1.5 矢量场的旋度矢量场的旋度 方向相反方向相反大小相等大小相等结果抵消结果抵消4 4 旋度的有关公式旋度的有关公式 在任意正交曲线坐标系中,矢量场的旋

34、度的 表达式为：1.5 矢量场的旋度矢量场的旋度 现在我们必需考虑如下问题：现在我们必需考虑如下问题：（1 1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在 别的特性？别的特性？（2 2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它 矢量场的激励源？矢量场的激励源？（3 3）如何唯一的确定一个矢量场？）如何唯一的确定一个矢量场？1.6 1.6 矢量场的矢量场的Helmholtz定理定理1 1 矢量场的矢量场的Helmholtz定理定理 空间区域空间区域V V上的任意矢量场，如果它的散度、旋上的任意矢量场，如果它的散度、旋 度和边界条件为已知，

35、则该矢量场唯一并且可以度和边界条件为已知，则该矢量场唯一并且可以 表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即 其中其中 为无散场，为无散场，为无旋场。为无旋场。1.6 1.6 矢量场的矢量场的Helmholtz定理定理Helmholtz 定理明确回答了上述三个问题。即定理明确回答了上述三个问题。即任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无散场，由旋涡源激发；并且满足：散场，由旋涡源激发；并且满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：1.6 1.6 矢量场的矢量场的Helmholtz定理定理【例例1-61-6】证明一个标量场的梯度必无，一个矢量 场的旋度必无散。1.6 1.6 矢量场的矢量场的Helmholtz定理定理