如何使用MATLAB求解微分方程(组)资料.ppt

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1、TMU_BME_2013Topic:如何使用如何使用MATLAB求求解常微分方程（组）解常微分方程（组）a.What?a.What?微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程。未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。MATLAB（matrix&laboratory）意为矩阵工厂（矩阵实验室）.MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，提供高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。Where Where?ODE工程控制航空航天金融分析医学生理Where Where?MATLAB算法开发

2、数据可视化数据分析数值计算When?当对问题进行建模后，有常微分方程需要求解时。在生物建模中，经常需要求解常微分方程。如药物动力学的房室模型的建模仿真。方法方法 特点特点/说明说明 ode23 单步算法，2/3阶Runger-kutta法，累积截断误差(x)3 用于求方程的数值解（下同），使用于精度较低情形 ode45 单步算法，2/3阶Runger-kutta法，累积截断误差(x)3 大部分情况下的首选算法 ode113 多步算法，变阶Adams算法，高低精度均可达到 10-3 10-6 计算时间比ode45短 ode15s 多步算法，Gears反向数值积分，精度中等 若ode45失效，计算

3、时间较长时可尝试使用，刚刚性方性方程程首选算法 ode23s 单步算法，二阶Rosebrock算法，低精度 当精度较低时，计算时间比 ode45短 ode23t 采用梯形算法 适度刚性情形 ode23tb 基于隐式Runger-kutta公式的TR-BDF2算法 与ode23s相似，对于宽误差容限，比ode15s更有效dsolve 求解常微分方程的解析解解析解 只有在方程有解析解是才可使用 Simulink模块 将方程可视化，GUI 操作简便 How?数数值值解解在数学中，刚性方程是指一个微分方程，其数值分析的解只有在时间间隔很小时才会稳定，只要时间间隔略大，其解就会不稳定。目前很难去精确地去

4、定义哪些微分方程是刚性方程，但是大体的想法是：这个方程的解包含有快速变化的部分。数值解是采用如有限元方法、数值逼近方法、插值方法等计算方法得到的解。只能利用数值计算的结果，而不能随意给出自变量并求出计算值。当无法藉由微积分技巧求得解析解时，这时便只能利用数值分析的方式来求得其数值解了。实际情况下，常微分方程往往只能求解出其数值解。数值解？刚性方程数值解？刚性方程？如何调用？如何调用？y=dsolve(e1,e2,.,c1,c2,.,v)其中e1,e2,.为微分方程或微分方程组；c1,c2,.,是初始条件或边界条件；v是独立变量，默认的独立变量是t；y 返回解析解。如果没有初始条件，则求出通解，

5、如果有初始条件，则求出特解。用字符串表示常微分方程，自变量缺省时为t,导数用D表示微分。y的2阶导数用D2y表示，依此类推。如何调用？如何调用？T,Y,TE,YE,IE=solver(odefun,tspan,y0,options)其中solver为ode23、ode45、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb 函数；odefun 是函数句柄；tspan 微分定义区间；y0 为初值行矩阵；T 值是t序列（为列向量）；Y 值是微分方程的解Y在各点t的值（为列向量）；TE 表示事件发生时间，可缺省；YE 表示事件解决时间，可缺省；IE 表示事件消失时间，可缺省；op

6、tions 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等，可缺省。使用使用ODE?时时如何编如何编写微分方程写微分方程？方式一：带额外参数，使用时需对参数进行赋值functionodefun(t,x,flag,R,L,C)%用flag说明R、L、C为变量xdot=zeros(2,1);%表明其为列向量xdot(1)=-R/L*x(1)-1/L*x(2)+1/L*f(t);xdot(2)=1/C*x(1);end方式二：无额外参数functiondC=odefun(t,C)dC=0.1*C(3)+37.5-2.52*C(1);%直接书写列矩阵1.68*C(1)-0.01*

7、C(2);0.004*C(2)-0.1*C(3);endExamplesE.g.1求下列微分方程组的通解x=2x-3y+3zy=4x-5y+3zz=4x-4y+2z输入命令：x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x4*y+2*z,t)x=simple(x);y=simple(y);z=simple(z);%化简结果运行结果为：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2ty=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2tExamp

8、lesE.g.2求解y=-t*y+et*y+3sin(2t)。已知3.9t4.0，y(0)=2，y(0)=8函数文件odefun.m的建立functiony=odefun(t,x)y=zeros(2,1);%列向量y(1)=x(2);y(2)=-t*x(1)+exp(t)*x(2)+3*sin(2*t);end求解程序关键步骤t,y=ode45(odefun,3.94.0,28)程序执行结果E.g.3求解人体中不同形式的碘浓度的三房室模型。已知碘在三房室之间的转换速率为：k21=0.84/d，k01=1.68/d，k32=0.01/d，k13=0.08/d，k03=0.02/d，f10=150

9、g/d，f30=0g/d。初始条件为：x1(0)=81.2g，x2(0)=6821g，x3(0)=682g，v1=4L,v2=2L,v3=5L。仿真时间为30d。Examples通过列写方程组，建立odefun.m文件即方程组文件functiondC=odefun(t,C)dC=0.1*C(3)+37.5-2.52*C(1);1.68*C(1)-0.01*C(2);0.004*C(2)-0.1*C(3);end程序关键部分列写如下：t,C=ode15s(fun1,0,30,20.3,3410.5,136.4)E.g.3结果结果ExamplesE.g.4求解方程y+1000(y2-1)y+y=0。已知初值y(0)=2,y=0，自变量0t3000。该方程为刚性方程，在使用Simulink模块求解时通过设置Configuration中solver选项为ode15s来求解方程，并设置仿真时间为0到3000。执行结果执行结果请您指正请您指正THANKS！