《计算方法》PPT课件.ppt

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1、Chapter 6 非线性拟合初步非线性拟合初步第六章 非线性拟合问题6-16.1 问题的提出多项式最小二乘拟合：模型：y=a a+b b x+g g x2，测量数据：(xi,yi),i=1,2,m记偏差平方和：令：得线性“法方程”组：已证明这个关于 a a、b b、g g 的线性方程组有唯一解。第六章 非线性拟合问题6-2可以转化为线性问题的拟合模型变量替换，如：令：u=1/x、v=1/y，得：v=a+b u取对数分离变量，如：取对数，分别得：ln y=ln a+b ln x、ln y=ln a+b x再通过变量替换，转换为线性模型v=a a+b b u第六章 非线性拟合问题6-3“非线性”

2、问题但是在许多情况下，拟合模型过于复杂。直接采用最小二乘法，“法方程组”(p.90,4.56式)可能是不可解的，或者是没有相应的解析表达式的。例如，下面二式形似简单，但还是不能用“最小二乘法”计算模型参数 a a、b b、g g：以较简单的第二式为例 第六章 非线性拟合问题6-4“非线性”的法方程模型：实验数据：(xi,yi),i=1,2,m这些法方程不是线性方程，不能“分离”参数。当然，还有更复杂的模型。第六章 非线性拟合问题6-5例例1 S形生长模型许多过程的特征量随时间呈S形变化。例如：反应过程中的产物浓度、相变过程中新相的含量、植物的生长量、市场某产品的销售量等与时间的关系都为S形曲线

3、。S形生长反映了一个动力学过程中“孕育期”、“生长期”和“饱和期”的发展规律，是材料研究中经常涉及到的模型。孕育期生长期饱和期第六章 非线性拟合问题6-6例例1 (续)S形生长模型实例Cu合金425C时效过程中的硬度变化时间，小时硬度，HV时间，分再结晶体积分数，%98%冷轧纯铜135C等温再结晶曲线第六章 非线性拟合问题6-7例例1 (续)S形生长模型实例某大片蔬菜生长时间与产量关系时间，天产量，吨时间，小时含量，%某化学反应的产物与反应时间的关系第六章 非线性拟合问题6-8例例1 S形生长的理论模型S形生长理论模型有许多，例如：Gompertz模型：Logistic模型：Weibull模型

4、：Morgan-Mercer-Flodin模型：问题：“法方程组”是非线性的！第六章 非线性拟合问题6-9例例2 液体表面张力计算问题S(x,y)f f R x0y液滴子午面轮廓线服从微分方程：(1)其中：任务：测量轮廓线坐标(x,y)，通过对方程(1)的拟合计算，获得参数 A 、B。问题：拟合模型为复杂的非线性微分方程不能获得最小二乘“法方程组”的解析式第六章 非线性拟合问题6-10例例3 Seebeck系数测量数据的拟合问题有关载流子输运特性的固体理论在一定的简化假设下，Seebeck 系数a a 可表达为：其中：k,e Boltzmann 常数，电子电荷常数x x 简约 Fermi 能级

5、s 载流子散射系数F Fermi 积分第六章 非线性拟合问题6-11例例3(续)含Fermi积分的拟合模型01002003004005000400100300200Temperature,CSeebeck Coefficient,m mV/Krapidly solidified FeSi2950C 50MPa 30 HUP800C 20hr annealed任务：用理论模型拟合实验测量数据，从而计算模型参数：s、EF问题：Fermi 积分中包含模型参数Fermi 积分无解析解不能给出最小二乘“法方程组”第六章 非线性拟合问题6-12多晶体材料中晶粒尺寸大小不一。为了降低系统总的界面能，大晶粒长

6、大、小晶粒缩小并趋于消失，从而使平均晶粒尺寸上升。Rf 长大缩小晶粒的晶体学取向对晶粒长大有重要作用。如果材料中存在两种(或更多)具有不同取向特征的晶粒组，则它们将具有不同的长大特征。Rf 长大缩小长大缩小例例4 晶粒长大过程中的拟合问题第六章 非线性拟合问题6-13例例4(续)晶粒长大理论模型表述各取向组不同大小晶粒的尺寸随时间的变化规律H组中半径为R的晶粒的长大速度：其中：HK晶界界面能HK晶界迁移率第六章 非线性拟合问题6-14例例4(续)晶粒长大实验的结果实验结果：经不同时间退火后 A、B 两组晶粒的尺寸分布、相对含量由实验结果计算：经不同时间退火后 A、B 两组晶粒的平均晶粒尺寸、总

7、的平均晶粒尺寸100 10 1010010001000020 70 50 30 200 average grain size,m mmannealing time,second A 组 B 组平均值第六章 非线性拟合问题6-15例例4(续)晶粒长大实验的拟合100 10 1010010001000020 70 50 30 200 average grain size,m mmannealing time,second A 组 B 组平均值寻求参数 m、g g，使得在晶粒长大模型：确定的不同晶粒的尺寸变化速度下，给出的平均晶粒尺寸与时间的关系符合实验结果。问题：模型参数与考察对象()之间关系是“

8、间接”的(通过 dR/dt 相关联)第六章 非线性拟合问题6-16简单最小二乘法的局限p.90 中部中部 若若j j(x)能表示成一组已知函数的线性组合，能表示成一组已知函数的线性组合，则相应的法方程组必是线性方程组。则相应的法方程组必是线性方程组。p.91 上部上部 当当j j0(x)、j j1(x)j jn(x)线性无关时，存在唯一解线性无关时，存在唯一解但是：非线性、无解析解微分方程、积分方程、未知复杂函数关系、间接相关关系、涉及数值计算过程的函数、实际工作中经常碰到，应该掌握求解方法实际工作中经常碰到，应该掌握求解方法书不多，更需要学习书不多，更需要学习(书上有的，可以自学书上有的，可

9、以自学)第六章 非线性拟合问题6-17本章主要参考书周纪芗 编回归分析华东师范大学出版社1993年第一版浙大图书馆 O212.1/Z2.1王玲玲，周纪芗 编常用统计方法华东师范大学出版社1994年第一版浙大图书馆 O212/W8第六章 非线性拟合问题6-186.2 非线性拟合基本计算方法最小二乘法的本质：有一组实验数据(xi,yi),(i=1,2,m)有一个含待定参数的理论模型 f(x,a1,a2,an)寻求使偏差平方和 最小的那组参数对线性问题：解“法方程组”求 最小值本质：非线性复杂模型?“找找”最小值第六章 非线性拟合问题6-196.2.1 基本思路方程本质相同，可否借用思路？已经学过许

10、多“找”的方法。例如：牛顿迭代法对非线性方程：f(x)=0通过迭代公式逐步逼近方程的根。yxy=f(x)x*x0f(x0)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)本章前面讨论的“法方程组”本质上就是一组非线性方程第六章 非线性拟合问题6-20牛顿迭代法的“思路”将一个(复杂的)连续函数 f(x)，在某个“估计”点 x0处展开:取展开式的前两项近似表达 f(x)f(x)f(x0)+f(x0)D Dx用切线近似，将 f(x)“线性化”。yx y=f(x)y=f(x0)+f(x0)D Dxx0用线性方程 f(x0)+f(x0)D Dx=0 的解D Dx“修正”原始估计值 x0，得到新的近似值 x1

11、=x0+D Dx。如此重复，逐步逼近非线性函数的解。f(x0)D Dx第六章 非线性拟合问题6-21牛顿迭代法给出的启示对于一个任意复杂的非线性方程 f(x)通过级数展开获得线性方程(切线方程)g(x)用线性方程 g(x)的解逐步逼近 f(x)的解举一反三举一反三对非线性拟合模型模型 f(x,a a1,a a2,a an)将最小二乘的非线性“法方程”展开为线性的近似方程用近似方程的解逐步逼近模型参数第六章 非线性拟合问题6-226.2.2 一元非线性拟合问题物理模型：其中 a a 是待定的模型参数实验数据：(xi,yi),(i=1,2,m)最小二乘拟合找模型参数 ，使模型计算值 与实验数据之间

12、的偏差平方和达到最小，即取：要解决的问题太复杂，难解。第六章 非线性拟合问题6-23复杂模型的线性化近似记：xi处的计算值，是a a的函数xi处的实验测量值将 j j(a a)在参数近似估计值 处展开为线性函数：忽略高次项由：j j(a a)=0，得关于 DaDa 的线性方程：从中解出 DaDa，修正参数近似估计值第六章 非线性拟合问题6-24线性化近似的几何意义最小二乘目标方程：j ja aj j(a a)a a(0)j j(a a(0)切线方程忽略高次项后：近似方程a a(1)第六章 非线性拟合问题6-25一元非线性拟合的计算过程输入：测量数据(xi,yi)、原始参数估计值根据拟合模型和参

13、数估计值，计算模型预测值若偏差绝对值 ，转 ，否则继续将 a a 改变一个微小量，计算导数由计算 DaDa若|DaDa|d d，转 ，否则继续修正参数估计值：(必要时对DaDa进行修饰)转，继续循环计算 和误差，输出拟合结果第六章 非线性拟合问题6-266.2.3 非线性拟合中的收敛问题最小二乘目标方程：j ja aj j(a a)j j (a a)连续j j(a a)有单根j ja aj j(a a)j j (a a)不连续发散需要对参数修正量DaDa进行控制干预第六章 非线性拟合问题6-27非线性拟合过程中对参数修正量Da Da 的干预拟合发散的主要原因之一：Da Da 太大，造成“修正过

14、度”j ja aj j(a a)DaDa原则：适当减小DaDa，宁可慢一点目的：降低对原始估计值的要求提高收敛性方法：引入“松弛因子”t，(0 t 1)，并取：第六章 非线性拟合问题6-28松弛因子的选取方法定义：1、牛顿下山法取 t=1,1/2,1/4,1/8,，直至 e e(a a+tDaDa)e e(a a)，或 t e et，其中e et 是某个事先给定的“下山因子下界”，以 a a+tDa Da 作为下一步计算的参数估计值。2、黄金分割法在-0.5 1 范围内，按黄金分割方法寻找使 e e(a a+tDaDa)最小的 t 值，然后以a a+tDa Da 作为下一步计算的参数估计值。第

15、六章 非线性拟合问题6-29附：黄金分割法假设使“单峰”函数e e(a a+tDaDa)最小的 t*值在 a b 之间。abt1t2先比较 t1、t2两点的e e值，若e e(t1)n)为寻求模型参数：，使模型计算值与对应的实验测量数据 yi (i=1,2,m)之间的偏差平方和最小化，根据最小二乘原理，可以令：，(k=1,2,n)第六章 非线性拟合问题6-32多元非线性拟合函数的线性化与一元非线性拟合类似，将方程 的左边在某一组参数近似估计值 处展开，忽略高次项并整理后，得到：关于DaDak 的 n 元线性方程组，解出后对上一次参数估计值进行修正其中：第六章 非线性拟合问题6-336.2.5

16、非线性拟合应用实例热敏电阻的电阻温度关系P2P305101520253035406080100120温度 x，C电阻 y，103 W W理论模型第六章 非线性拟合问题6-341、偏导数公式模型：偏导数：第六章 非线性拟合问题6-352、“法方程”公式第六章 非线性拟合问题6-363、设定参数原始估计值方法1：根据已有的知识方法2：估算参数的范围05101520253035406080100120温度 x，C电阻 y，103 W W分析参数性质1、a a ：曲线上移2、不能太大3、b b、g g 同时 ：x 影响减小，曲线平坦曲线：a a=1、b b=1000、g g=30参数初始估计值曲线：a

17、 a=1、b b=3700、g g=300第六章 非线性拟合问题6-374、数值计算初始参数估计值：a a=1、b b=3700、g g=300 xiyi5034780552861060236506519630701637075137208011540859744908266957030100600510551471104427115382012033071252872计算得到法方程组：第六章 非线性拟合问题6-385、参数修正解线性方程组，得：DaDa=0.1353、DbDb=-1189、DgDg=-104.5 采用“黄金分割法”，在 0 1 范围内解得松弛因子 t=0.618修正后的参数：

18、a a=1.0836、b b=2964.9、g g=235.45第一次参数修正后的偏差绝对值的和：20543循环计算：函数计算值、偏导数、法方程、参数修正量经过160次循环，趋于稳定，得(保留4位有效数字)：a a=0.005620、b b=6180、g g=345.2偏差绝对值的和：30.36第六章 非线性拟合问题6-396、非线性拟合计算结果05101520253035406080100120温度 x，C电阻 y，103 W Wa a=0.005620b b=6180g g=345.2第六章 非线性拟合问题6-406.2.6 复杂的非线性问题材料中的颗粒(晶粒)尺寸分布测量计算问题三维材料

19、：三维颗粒，三维尺寸二维图像信息：二维表面、二维截面三维信息平面信息第六章 非线性拟合问题6-41三维颗粒尺寸的获得连续截面测量法(北京科技大学刘国权教授博士论文)晶粒剥离称重法(Zhao指导的硕士论文)球形颗粒几何模型概率计算法(传统方法，误差很大)R随机测量平面2r面积p pR22r 多面体几何模型概率计算方法(Zhao的博士论文)第六章 非线性拟合问题6-42多面体几何模型的概率分布S-模型P-模型00.20.40.60.81.000.020.040.060.080.10r/Rp(R,r)第六章 非线性拟合问题6-43三维颗粒尺寸分布的计算原理假设：三维颗粒尺寸分布服从对数正态分布，即记

20、：三维试样中一颗尺寸为R的颗粒被测量到的概率是 q(R)R尺寸颗粒在测量平面上的表观尺寸为r的概率是 p(R,r)则平面测量得到的颗粒尺寸分布应该为：第六章 非线性拟合问题6-44从平面测量结果到三维颗粒尺寸分布的换算已知的平面测量分布已知的两个概率分布函数由参数 m m、s s决定的未知函数基本方法：确定参数 m m、s s，使得根据上式计算得到的f(r)与实际测量的平面颗粒尺寸分布之间的偏差最小。第六章 非线性拟合问题6-45偏导数的数值计算由于没有解析表达，需要用数值方法计算偏导数。方法：参数变化一微小量，计算 的变化量。第六章 非线性拟合问题6-46三维颗粒尺寸分布计算方法平面晶粒尺寸

21、分布测量结果：(ri,fi)，i=1,2,m假设初始值：m m(0),s s(0)，由尺寸分布模型：计算初始近似三维晶粒尺寸分布：(Ri,Fi)，i=1,2,m由几何模型的概率函数，得(ri,fi)的近似计算值(ri,)根据最小二乘原理，通过 fi 和 的比较，修正 m m(0),s s(0)重复上述过程，直至 fi 和 的偏差平方和达到最小第六章 非线性拟合问题6-47三维颗粒尺寸分布计算结果的比较02468200806040100晶粒尺寸，mm累积百分含量，%实测结果P-模型S-模型第六章 非线性拟合问题6-48【习题习题 6.1】已知：请编写用黄金分割法计算函数极小值的程序，并计算 j j(a a)在 区间(1 a a 3)内的极小值，终止精度：0.05习题第六章 非线性拟合问题6-49【习题习题 6.2】考虑非线性模型：a a g g xz=1+a a x+b b yixiyizi1110.1262210.1903120.1184220.1805130.1106230.174已有测量结果如右表，若取参数初始估计值：a a (0)=0.5b b (0)=0.5g g (0)=0.1请写出计算参数一次近似值的线性化方程组。第六章 非线性拟合问题