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1、求函数的值域的方法求函数的值域是高中数学的重点学习内容,其方法灵活多样,针对不同的问题情景,要求解题者,选择合适的方法,切忌思维刻板。本文就已知解析式求函数的值域,这类问题介绍几种常用的方法。一、 直接法函数值的集合叫做函数的值域,根据定义,由函数的映射法则和定义域,直接求出函数的值域。例1 已知函数,求函数的值域。解:因为,而,所以:,注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该例的定义域为,则函数的值域为。请体会两者的区别。二、 反函数法反函数的定义域就是原函数的值域,利用反函数与原函数的关系,求原函数的值域。例2 求函数的值域。分析与解:注意到,由原函数求出用表示的关系式,进而求出值域。
2、由得:,因为,所以,值域为:三、 函数的单调性例3求函数在区间上的值域。分析与解答:任取,且,则,因为,所以:,当时,则;当时,则;而当时,于是:函数在区间上的值域为。构造相关函数,利用函数的单调性求值域。例4:求函数的值域。分析与解答:因为,而与在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数,易知在定义域内单调增。,又,所以:,。四、 换元法对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时,用代数换元;当根式里是二次式时,用三角换元。例5求函数的值域。分析与解答:令,则。,当时,值域为例6求函数的值域。分析与解答:令,
3、则,当时,所以值域为。例7求函数的值域。分析与解答:由=,令, 因为,则=,于是:,所以:。五、 配方法对解析式配方,然后求函数的值域。此法适用于形如,当要注意的值域。例8求函数的值域。分析与解答:因为,即,于是:,。例9求函数在区间的值域。分析与解答:由配方得:,当时,函数是单调减函数,所以;当时,函数是单调增函数,所以。所以函数在区间的值域是。六、 判别式法把函数同解变形为关于的一元二次方程,利用,求原函数的值域,此方法适用与解析式中含有分式和根式。例10求函数的值域。分析与解答:因为,原函数变形为: (1)当时,求得,所以。当时,因为,所以一元二次方程(1)有实数根。则:,即:所以,七、
4、 基本不等式法利用重要不等式,求出函数的最值而得出值域的方法。此法的题形特征是:当解析式是和式时,要求积是定值;当解析式是积式时,要求和是定值;为此解答时,常需要对解析式进行恒等变形,具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、添项;平方等恒等变形。例11求函数的值域。分析与解答:因为分母不为0,即,所以:当时,当且仅当时,取等号,;当时,当且仅当时,取等号,;值域注意:利用重要不等式时,要求且等号要成立。八、 数形结合法当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。例12如例4求函数的值域。分析与解答:令,则,原问题转化为 :当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时,求直线的截距的取值范围。由图1知:当经过点时,;当直线与圆相切时,。所以:值域为