函数及函数基本性质(基础).doc

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1、函数及函数基本性质复习函数及其表示： （一）知识要点梳理：1.函数概念：按照某种确定的对应关系f，使对于数集A中的任意一个数x，在数集B中都有唯一确定的数f(x)和它(x)对应，则称f：AB为从数集A到数集B的一个函数。用符号记为 y=f(x) ， 其中，x为自变量，所有自变量x的取值集合是函数的定义域，与x值相对应的y值称为函数值，所有函数值y的取值集合称为函数的值域。 定义域、对应关系、值域是函数的三要素。2.函数相等：如果两个函数定义域和对应关系都相同时，两个函数才是相等函数。3.函数的表示法：常用的函数表示法有：解析式法、图像法、列表法；分段函数：一个函数的定义域分成几个部分，自变量x

2、在不同范围中的对应关系不同的函数是分段函数。4.映射：按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素a，在集合B中都有唯一确定的元素f(a)和它(a)对应，则称f：AB为从集合A到集合B的一个映射。若f：af(a)，则f(a) 称为a的像，a称为f(a)的原像。（二）本部分知识常见考察方法 求函数定义域；求函数值；求函数值域；求函数解析式；判断函数关系的图像；判断函数是否相等；映射概念理解及推广应用 等等（三）例题分析及练习 （1）求函数定义域 这里仅介绍用解析式表示的函数的定义域的求法，按照以下几个原则：整式函数和常数函数定义域为R；分式函数的分母不为0；偶次根式函数的被开方数0；0

3、次幂函数的底数不为0；对数型函数的真数 0； （当函数同时有两种以上情形时要综合考虑分析求定义域）例.求函数的定义域。练习：求下列函数的定义域：；（2）求函数值 例1.已知函数，求f(-3)，f(a)， f(a+1)，f(2x-1)例2.若函数，则_；_；123131练习：设，则_；，求_；已知函数分别由下表给出123321则的值为_；满足的的值是_（3）求函数解析式 这里介绍两种常用方法：待定系数法：当知道函数类型时使用；换元法：用于已知f(含x的式子)= 含x的解析式，求f(x)类型问题。（待定系数法）例1.若一次函数f(x)满足ff(x)=4x+3，求f(x)的解析式；解：可以设f(x)

4、=kx+b，（k0）,则ff(x)= fkx+b=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x+3 ,对比系数可得k2=4，且kb+b=3 ； 解得 k=2 b=1； 或者k=-2 b=-3；所以所求一次函数解析式为f(x)=2x+1 ，或者f(x)=-2x-3练习1：已知二次函数f(x)满足f(x+1)- f(x)=2x且f(0)=1, 求f(x)的解析式；练习2：已知为常数，若，则_（换元法）例2.已知，求f(x)的解析式；解：设，则，已知条件变形为，即自变量为t时，对应的函数值为t+4,习惯上用x表示自变量，故将t换为x得所求函数解析式为。练习1：若，求_练习2：已知，则_。（4）判断函数

5、关系的图像 例1. 向内高为H、外形如图所示的水瓶中匀速注水，注满为止，则瓶中水的高度h与时间t之间的函数关系图像是下列中的 （ ）A B C D练习1：客车从甲地以 60 km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以 80 km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间 t 之间关系的图像中，正确的是 （ ）练习2：如图所示，单位圆中弧的长为表示弧与弦所围成的弓形面积的2倍，则函数的图像是 （ ）（5）映射概念理解及推广应用 例1.已知（x，y）在映射f的作用下的像是(x+y，xy) （-2，3）在映射f的作

6、用下的像是_；若在映射f作用下的像是(2，-3)，则它的原像是_。练习1：对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定(a，b)=(c，d)，当且仅当a=c，b=d；运算 “”为：(a，b) (c，d)=（ac-bd，bc+ad）；运算“”为: (a，b) (c，d)=（a+c,b+d）.设p,q R，若(1，2) （p,q）=（5,0），则（1，2）（p,q）= （ ）A、(4，0) B、(2，0) C、(0，2) D、(0，-4)练习2：为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文秘文（加密），接受方由秘文明文（解密），已知加密规则为a，b，c，d对应秘文a+2b，2b+c，2c+3d

7、，4d。例如，明文1，2，3，4对应秘文5，7，18，16。当接收方收到秘文14，9，23，28时，则解密得到铭文为A、7，6，1，4 B、6，4，1，7 C、4，6，1，7 D、1，6，4，7注：求函数值域问题在函数的基本性质中再作探讨。一、 函数的基本性质（一）知识要点梳理 1.函数单调性：增函数概念 ：函数f(x)对于定义域的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间D上是增函数；减函数概念 ：函数f(x)对于定义域的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，则称函数f(x)在区间D上是减函数；这时区间D

8、称为单调区间，有增区间、减区间。增函数、减函数的图像特征如左图所示。2.函数的最值 概念略。若函数图像有最高点，则函数有最大值；若函数图像有最低点，则函数有最小值。3.函数奇偶性 函数定义域关于原点对称意义：x在定义域中，则-x一定在定义域中。例：如(-1，1)、-2,2、形式定义域关于原点对称，而如、形式的定义域不关于原点对称；偶函数：定义域关于原点对称，且； 偶函数图像关于y轴对称；奇函数：定义域关于原点对称，且；奇函数图像关于原点对称；奇函数一个重要结论：若函数是定义在R上的奇函数，则必有。（二）本部分知识常见考察方法 求函数单调区间；判断函数单调性；利用函数单调性解不等式；求函数最大最

9、小值、值域；判断函数奇偶性；函数单调性、奇偶性、最值的综合应用 等等（三）例题分析及练习 （1）求函数单调区间 例1.求函数的增区间和减区间；变形：求函数的增区间和减区间；练习：求下列函数的增区间、减区间 ；小结：二次函数的增区间、减区间与其图像开口方向，对称轴方程有关。（2）利用函数单调性解不等式 例1.已知函数是R上的增函数；比较大小： 如果，则，如果，则；解不等式练习1：将例题中增函数改为减函数后练习；提高：已知函数是上的减函数，解不等式练习2: 已知为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是 （ ）A、 B、 C、 D、（3）求最大最小值、值域 例1.求 ，的最大最小值、值域练习：求 ，

10、的最大最小值、值域。(4)函数奇偶性的应用 例1. 是定义在R上的奇函数,则=_；若有，则_；若；则_；练习1：已知函数为R上的奇函数，若，则_；练习2：已知函数，若为奇函数，则_；练习3：设函数为偶函数，则_；练习4：设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是 （ ）A、是奇函数 B、是奇函数C、是偶函数 D、是偶函数例2.已知定义在-5，5上的奇函数的部分图像如右图所示：则满足的的集合为_；练习：若例2中为偶函数，则结果为_；例3.已知，若_；（5）函数单调性、奇偶性、最值的综合应用例1. 已知定义域为的偶函数在上为减函数，且有，则满足的的集合为_；练习2：已知偶函数在区间上为减函数且有最大值

11、为5，则在区间上为_函数且有最_值为_； 若是奇函数在区间上为增函数且有最小值为5，则在区间上为_函数且有最_值为_；由上可有结论：提高：已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则有A、 B、 C、 D、例2. 设是定义在R上的偶函数，且当时，。求当时，的解析式；求的解析式；画出的图像；（6）周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数；（2）性质：f(x+T)= f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；若周期函数f(x)的周期为T，则f(x)（0）是周期函数，且周期为。例6已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。证明：；求的解析式；求在上的解析式。