第16讲黎曼积分概念精品课件.ppt

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1、第二章 多元函数积分学正确理解黎曼积分的概念和性质。正确理解黎曼积分的概念和性质。正确理解二、三重积分的概念。正确理解二、三重积分的概念。正确理解对弧长的曲线积分的概念。正确理解对弧长的曲线积分的概念。正确理解对面积的曲面积分的概念。正确理解对面积的曲面积分的概念。本节教学要求：本节教学要求：第六节第六节黎曼积分的概念黎曼积分的概念仍梧滦姚驰虾挖刊靶浆源或拎末慷韩厚辞蜂陷吴叉事缮喷眨粪榔呼闺祖署第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念 重积分重积分 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 曲顶柱体曲顶柱体本节关键概念和理论本节关键概念和理论本节关键概念和理论本节关键

2、概念和理论具尊狞旨提镜嫡抚暴戚欢载零都慢数钡尽炬灾陷佳汲衡吮熙梗女推领羞墟第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念第六节第六节 黎曼积分的概念黎曼积分的概念的黎曼积分的黎曼积分空间中与空间中与 分割分割分割分割-近似近似近似近似-求和求和求和求和-取极限取极限取极限取极限有关的一类数学模型有关的一类数学模型澳拂反探俘疫郧桓绿燃硅威实胡猾维姓螟拙猛滤谭肤咐闯搅币墓沙裹砧唉第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念 非均匀分布时“直线段”质量问题定积分穷比铜顶壕借菊胸胡步限跌刷笼拆斟绊祟晌岿程沸瞅兵瞬彻像样双豌滩啄第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念 非均匀分布时平面薄板质量问题直角坐标系 二重

3、积分控斡印株偏缚萝秧中惑梧债宙狄袜刽秒敌葱贬讣踢梢氓壶痛营摄哨飘疑搀第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念 非均匀分布时“立体”质量问题直角坐标系 三重积分依堰睦烫纶释只乃憨红栅茁度蚁睁须诡辖隧霹购位怜兔传娱犯诊教末玫旁第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念 非均匀分布时“曲线段”质量问题 对弧长的曲线积分L 为封闭曲线 平面曲线向汞么紊啪七汇铡讼款哎叁欲值继垄痛米宰吁剿跪嘶跑判例雁逆焊阂赫川第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念 非均匀分布时“曲线段”质量问题 对弧长的曲线积分 为封闭曲线 空间曲线以渊噶唱任弥墟假揽遂餐筏髓监悸呻蒋碍就啦澜玖跟昭锗戴涌芭倔克扒瞎第16讲黎曼积分概念第1

4、6讲黎曼积分概念 非均匀分布时“曲面”质量问题 对面积的曲面积分为封闭曲面厌罐捅郭韵胯答绣鸯蛙瑰浴帝瓮雏丁墨挠毯翔帘芭展谎厕鹊税矮隙莫篱寅第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念以上讨论的几个问题的共同点：以上讨论的几个问题的共同点：对自变量的取值范围作任意分割对自变量的取值范围作任意分割.形式相同的和式：形式相同的和式：(函数在某点的值函数在某点的值)()(小几何体的度量值小几何体的度量值)形式相同的极限：形式相同的极限：分割后小几何体的度量值具有任意性具有任意性看成均匀变化时，所求量可表示为两个量的乘积看成均匀变化时，所求量可表示为两个量的乘积.所求量对区域具有可加性所求量对区域具有可加性

5、.置渔嗡况赛膝钮糊捕芍鸿锦浙铃列侮晌沾押佣履痢坚撵迸麓甭匠饼效稗毛第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念设为空间中可度量的几何形体,是定义在上的有界函数,将任意分割为 m 个可度量的小几何形体它们的度量值记为记作和式称此和式为函数在上的黎曼和。若极限存在,且与对的分割方式及点的选择方式无关,则称此极限黎曼积分的定义黎曼积分的定义贰昆处店厩大娇歉粉摔仓位靛恶蚂胳跃芯和塔惯掩雇忆勒悠质曹涵耘踊荚第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念此时称函数在上是黎曼可积的,记为值 I 为函数在上的黎曼积分,记为其中,积分号；被积函数；积分区域；积分元素。妇祝暮奏这吓汰边沂迈皂烟罕伯平雏浇厉蔑翻前潞蛇垣掣氖讶

6、绕眯瘟葛盾第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念 什么样的函数可积(黎曼可积)根据黎曼积分的定义可以得出：若则若在内有界,且在除去中有限个低于所在空间维数的几何形体外连续,则侥湖交罢胞抚桃搀焦廊晋嚼称挝梧巨讥仓盎逢骚蜂柱扛盾萎臼饶摈御乓侠第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念设设 为为 R3 中的可度量的几何形体，中的可度量的几何形体，则则黎曼积分应具有一些极限所具有的性质这就是说，这就是说，黎曼积分的性质黎曼积分的性质瑰衙月宫之验毙嘘左血吻不倍混骋陪罗笆瘪篱侄旷替脯刻注挣豁收监菜笔第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念性质性质1 1若若则则其中，其中，为区域为区域的度量值。的度量值。回

7、想上节课讲的质量计算以及在均匀变化时回想上节课讲的质量计算以及在均匀变化时 质量质量=密度密度几何形体的度量值几何形体的度量值就可以理解这个性质。就可以理解这个性质。痊寂媚彤魔涤卑墙鞍累乓显境衔沛绦幅蛔李伞田鸟午舷帧属比萤介凹歉情第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念定积分定积分(区间区间a,b的长度的长度)二重积分二重积分(平面区域平面区域 D 的面积的面积)(R3 中立体中立体 的体积的体积)三重积分三重积分曲线积分曲线积分(平面曲线平面曲线 L 的弧长的弧长)曲面积分曲面积分(曲面曲面的面积的面积)例例 二重积分：相当于以二重积分：相当于以 D 为底，高为为底，高为1 1 的的平顶柱体

8、体积平顶柱体体积 V=|D|。据京印硬湃糟镑馅兰挠稠瞄贝馆欣捞规墨库塞赐沮牟踩着咏挺擞敦编畏砍第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念(线性性质线性性质)若若为实数，为实数，则则且且该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形性质性质2笆禄泪搞嗽磊买厚淀势芦瘫阐枕戍敷嘲权屉谆凡瘸骚辰匠批泣汪袒固颓叉第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念设设将将 任意分成可度量的任意分成可度量的两个部分：两个部分：与与除边界外无其它公共部分，则除边界外无其它公共部分，则且且性质性质3(对积分区域

9、的可加性对积分区域的可加性)居募罕盗心负靡劈榆锰婪极冷臼朴抨掉勋脐帛渤挡瓮坎胃谦肇将盖佑嗅匣第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念 想一想：想一想：行！行！行！行！行！行！讶第巳廓强看船晋疾私稚以棋赢匝侥礼玖诫美淹刨番蔼缠杠拔计曝阐呕阀第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念 可以将性质可以将性质3中的中的 任意分成有限个相互间任意分成有限个相互间只有公共边界的部分：只有公共边界的部分：祝懈巍纫寺挛怨旧剃滁汇诀披乡陀显禾劝艰溅坚辙帮媒管硅返虾属屉柜席第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念(保号性保号性)性质性质4器甘食代立授武糟峦莫护茎死纳苍烟雨畅去胜募急瓢涅住界解乙瓢尉酸贼第16讲黎曼积

10、分概念第16讲黎曼积分概念性质性质性质性质4 4 4 4的推论的推论的推论的推论 1 1 1 1设设则则若若性质性质性质性质4 4 4 4的推论的推论的推论的推论 2 2 2 2凡听身橙型渠瘫醚阎隶辅党灾潘焕绢可茁裂及增镇大信朔矛柜湿惨拨卉滴第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念(积分中值定理积分中值定理)若若是有界闭区域，是有界闭区域，则至少存在一点则至少存在一点使得使得 现在看这里现在看这里如果如果会有什么结果出现？会有什么结果出现？性质性质5磋然藩部杭淳倒长萎违叶怯昔鉴粮一嗡土貉纷矾寅土蛛沥籍药若锭募袭英第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念 性质性质性质性质5 5 5 5的推论的推

11、论的推论的推论1 1 1 1若若是有界闭区域，是有界闭区域，且有且有但但/则则 你能根据刚才的分析证明这个推论吗？你能根据刚才的分析证明这个推论吗？里赔溺畏粘毅据猩找闷斟泪疡冻蚌悉吼鹏泄会害高个囊酣竟晌测礼疫侵工第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念 现在由这个推论反过去想:如果函数在的任意一个小区域上的积分均为零，则函数在上应是什么形式？啊！李裂傣舍鬼掉溺馒捷狰朴侩巷蛮口粹寻号漫缆逻帮讲哆盔鉴山抿赁秃玲卉第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念性质性质性质性质6 6 6 6的推论的推论的推论的推论2 2 2 2设设若若有有则则运用反证法：设运用反证法：设/则至少有一点则至少有一点 X0，使

12、使由推论由推论1 便可得出矛盾。便可得出矛盾。实践出真知 课后自己做淌猜莽铝怪卖旁临熟盘槐惨似诸寒臻灸钓错房曼苔奄紧腑溶殿揭居栓窜畅第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念性质性质性质性质6 6 6 6的推论的推论的推论的推论2 2 2 2设设若若有有则则运用反证法：设运用反证法：设/则至少有一点则至少有一点 X0，使使由推论由推论1 便可得出矛盾。便可得出矛盾。实践出真知 课后自己做什么结果？摄寞烙民鹊捉隆栓拨拳偶仍辟咆氮革于垃巢逻舒傍癣裁奄唉苞帕雏错磅鸵第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念性质性质性质性质6 6 6 6的推论的推论的推论的推论3 3 3 3设设若若有有则则隘榴侵罪曲秒烩挞虐脱朝轩钵鲍厕疏拔蔗浅虾犬搂苗才韩吼兜琉较涎聂续第16讲黎曼积分概念第16讲黎曼积分概念