arc-8860-3-习题课.ppt

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1、洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;求根方法；边际与弹性导数的应用一、主要内容一、主要内容拉格朗日(Lagrange)定理若函数f(x)（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间(a,b)内可导.则在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得拉格朗日中值公式(有限增量公式)罗尔(Rolle)定理 若函数f(x)（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b).则在(a,b)内至少存在一点(ab)，使f()=0.推论推论柯西

2、(Cauchy)定理若函数f(x)及g(x)（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）g(x)在(a,b)内每一点处的导数均不为0.则在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得洛必达法则洛必达法则注意：注意：洛必达法则的使用条件.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .导数的应用导数的应用(1)(1)函数单调性的判定法函数单调性的判定法定理定理(2)(2)函数的极值及其求法函数的极值及其求法函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.极大值；极小值.注意：注

3、意：极值是函数的局部性概念（极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值）.驻点和不可导点统称为临界点.定理定理1(1(必要条件必要条件)驻点.定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)求极值的步骤求极值的步骤:(3)(3)最大值、最小值问题最大值、最小值问题步骤步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值(最大值或最小值).(4)(4)曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函

4、数;(2)求最值.注意：注意：若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最大（或最小）值.定理定理1 1连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.定理定理2求法求法1:1:求法求法2:2:(5)函数图形的描绘函数图形的描绘利用函数特性描绘函数图形.第一步：第一步：确定函数y=f(x)的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的一阶导数f(x)和二阶导数f”(x);第二步：第二步：求出方程f(x)=0和f”(x)=0在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间;第五步：第五步：描出与方程f(x)=0和f”(x)=0的根对应的曲线上的点，有时候还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形.第四步：第四步：确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;第三步：第三步：确定在这些部分区间内f(x)和f”(x)的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点（可列表进行讨论）；例1解二、典型例题例2证由介值定理,注意到由,有+,得例3证例4解奇函数极大值极大值拐点拐点极小值极小值作图测测 验验 题题测验题答案测验题答案七、七、