第三章复变函数的积分课件.ppt

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1、 复变函数复变函数 与积分变换与积分变换 大学数学多媒体课件大学数学多媒体课件2023/2/102 目目 录录第二章第二章 解析函数解析函数第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第四章第四章 解析函数的级数表示解析函数的级数表示第五章第五章 留数及其应用留数及其应用第六章第六章 傅立叶变换傅立叶变换第七章第七章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数3 第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念3.2 柯西积分定理3.3 柯西积分公式3.4 解析函数的高阶导数本章小结v 思考题4第一节 解析函数的概念一、积分的定义一、积分的定义 有向曲线有向曲线：设C为平面给定

2、的一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选 定C的两个可能方向的一个作为正方向（或正向），则我们就把C称为有向曲线与曲线C反方向的曲线记为 积分的定义：简单闭曲线的正方向简单闭曲线的正方向：当曲线上的点P顺此方向前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方，这时曲线方向称为简单闭曲线的简单闭曲线的正方向 C为区域D内起点为A终点为B的一条有向光滑的简单曲线 分逆时针56二、积分存在条件及其计算方法二、积分存在条件及其计算方法 定理1：7证明：注意：8计算计算计算计算法一法一法一法一这种计算复积分方法在已知曲线C的参数方程的条件下适合。根据9例1解：注意：因此沿不同的路径积分的结果是相同的，即积分与

3、路径无关(注意到f(z)=z2是解析函数)，10例2解：综上所述：这个积分结果以后常用，它的特点是与积分路线圆周的中心和半径无关 11例3解：由此题可以看出，尽管起点、终点相同，但由于沿不同的曲线积分，所以积分值也是不同的12三、复积分的性质三、复积分的性质 因为复积分的实部和虚部都是曲线积分，因此，曲线积分的一些基本性质对复积分也成立 13证明性质（5）：（估计不等式）14例4解：15例5证明：三角形两边只差小于第三边16第二节 柯西积分定理柯西积分定理 从上一节所举的例子来看:的任何路线积分值都相同，换句话说，积分是与路径无关的 由此可猜想：积分的值与路径无关或沿闭曲线积分值为零的条件与被

4、积函数的解析性及区域的单连通性有关究竟关系如何，下面我们讨论此问题 17一、柯西积分定理一、柯西积分定理 定理3.2（柯西古萨基本积分定理）柯西积分定理表明，函数满足以上条件，则积分与路径无关 18证明：19说明：20定理3.3：证明：依柯西-古萨基本定理21例6解：22二、复合闭路定理二、复合闭路定理 定理3.4：(闭路变形定理）证明：一个解析函数沿闭曲线的积分，不会因闭曲线在区域内作连续的变形而改变它的值这事实称闭路变形定理闭路变形定理 23推论：（复合闭路定理）或者24例1解：25三、原函数与不定积分三、原函数与不定积分 定理3.5：1积分上限函数 此时与实变函数类似。26定理3.6：证

5、明：27282原函数的概念 结论：29定理3.7：证明：类似类似牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式30 说明说明:有了以上定理有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法（例如：中类似的方法（例如：分部积分法分部积分法、第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法等、第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法等去计算去计算.第一类换元法（凑微分法）第一类换元法（凑微分法）分部积分法分部积分法第二类换元法第二类换元法复合函数参数方程31例2解：例3解：这里使用了微这里使用了微积分学中的积分学中的“凑凑微分法微分法”.这里使用了微积分学中这里使用了微积分学中“分部

6、积分法分部积分法”.32第三节 柯西积分公式柯西积分公式 一、柯西积分公式一、柯西积分公式 3334定理8：(柯西积分公式）证明：35说明：推论1：（平均值公式）推论2：可用复合闭路定理证明：36例1计算下列积分解：例237证明：38例3计算下列积分 解：39二、最大模原理二、最大模原理 定理9：(最大模原理）这个定理表明一个解析函数的模，在区域内部达不到最大值，除非这个函数恒等于常数这是解析函数一个非常重要的原理解析函数一个非常重要的原理 推论1：推论2：说明：最大模原理不仅是复变函数论一个很重要的原理，而且在实际上也是很有用的原理。比如：它在流体力学上反映了平面稳定流动在无源无旋的区域内流

7、体流速的最大值不能在区域内达到，而只能在边界上达到，除非它是等速流体 40第四节 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数 一、解析函数高阶导数公式一、解析函数高阶导数公式 一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导数，它的值也可以用函数在边界上的值通过积分来表示这一点跟实变函数完全不同，一个实变函数在某一区间上可导，它的导数在这个区间上是否连续也不一定，更不要说有高阶导数存在了下面我们讨论解析函数的各阶导数的解析问题 再继续又可得：41定理10：证明：4243说明：（1）此公式可理解为把柯西公式（2）高阶导数公式的作用不在于通过积分来求导，而在于通过求导来积分，即 44例1解：4546例2解：4748例3解：49二、刘维尔（二、刘维尔（LiouvilleLiouville）定理定理 由高阶导数公式我们可以推出几个重要结果 定理11：证明：50刘维尔（Liouville）定理：证明：第第3章章 作业作业513.2，3.7，3.8，3.10，3.11，3.13 每章上完后把整章的作业合在一起装订后提交。每章上完后把整章的作业合在一起装订后提交。