2022年上半年教师资格考试中学《学科知识与教学能力》考前冲刺密卷三套（含解析）高中数学.pdf

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1、数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 1 页 共 42 页20222022 年上半年中小学年上半年中小学教师资格证考试教师资格证考试数学数学学科知识学科知识与教学能力与教学能力（高级中学高级中学）考前冲刺密卷考前冲刺密卷（一一）科目代码科目代码（4 40 04 4）重要提示重要提示为维护您的个人权益，确保教师资格证考试的公平公正，请您协助我们监督考试实施工作。本场考试规定：监考老师要向本考场全体考生展示题本密封情况，并邀请 2 名考生代表验封签字后，方能开启试卷袋。请将此条形码揭下，请将此条形码揭下，贴在答题卡指定位置贴在答题卡指定位置条条形形码码粘粘贴贴处处准考证号姓名数学学科知识与教

2、学能力试题（高级中学） 第 2 页 共 42 页注意事项注意事项一、本试卷分满分 150 分，总时限 120 分钟，各部分不单独计时，答题时请注意合理分配时间。二、请按照要求在答题卡上填写好自己的姓名，涂写好准考证号，严禁折叠答题卡。三、必须在答题卡上答题：在题本上答题，一律无效。四、监考人员宣布考试开始时，方可答题；宣布考试结束时，应立即停止答题。题本、答题卡、草稿纸一律留在桌上，待监考人员确认数量无误，允许离开后，方可离开考场。如果违反了以上任何一项要求，都将影响你的成绩。五、在本套试卷中，可能有些试题较难，因此你不要在一道题上思考时间太久，遇到不会答的题目可先跳过去，如果有时间再去思考，

3、否则，你可能没有时间完成后面的题目。六、试题答错不倒扣分。停！请不要往下翻！听候监考老师的指示。否则，会影响你的成绩。数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 3 页 共 42 页一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选和未选均无分。1.已知，其中，则的值为（） 。A.6B.C.2D.62.已知函数的导函数为，且满足，则（） 。A.1B.1C.D.3.已知三角形的三个顶点分别为，则垂直于这个三角形所在平面的单位向量为（）。A.B.C.D.4.方程所确

4、定的二次曲面是（） 。A.椭球面B.旋转单叶双曲面C.旋转抛物面D.圆柱面5.若任意取，则点满足的概率为（） 。A.B.C.D.6.若级数与都发散，则（） 。A.发散B.必发散C.必发散D.必发散7.下列不属于预备知识的是（） 。A.集合B.映射C.相等关系与不等关系数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 4 页 共 42 页D.从函数观看一元二次方程和一元二次不等式8.在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是（） 。A.孙子算经B.墨经C.算术书D.周髀算经二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）9.在区间上给定函数，任取，问 取何值时，曲线，、及轴所围平面图形面积

5、最大？10.已知矩阵，假设，求。11.已知，。（1）为何值时，向量组，线性相关；（2）为何值时，能由，线性表示，并写出它的表出式。数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 5 页 共 42 页12.如何有效地应用严谨性与量力性相结合的原则进行教学。13.结合新课标的理念，简要谈谈如何让学生在现实情境中体验和理解数学。三、解答题（本大题共 1 小题，每题 10 分，共 10 分）14.讨论函数在上是否连续、一致连续，其导函数是否一致连续？四、论述题（本大题共 1 题，每题 15 分，共 15 分）15.函数是中学数学的重要概念，回答下列问题：（1）学习数学概念的意义。（2）结合实例简要分析数学

6、概念的基本要求。数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 6 页 共 42 页五、案例分析题（本大题共 1 题，每题 20 分，共 20 分）16.案例：某老师在课堂上给学生讲解了这样一道试题：求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。老师板书过程如下：设所求的过点的直线为， 则它与抛物线交点满足， 消去得，整理得。因为直线与抛物线仅有一个交点，所以，解得，所以所求直线为。（1）请指出上述解答错误之处；（2）写出正确解法，并点拨数学思想。六、教学设计题（本大题共 1 题，每题 30 分，共 30 分）17.普通高中数学课程标准（2017 版 2020 年修订）对“导数的概念及其意义”提出的学习

7、要求为：通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想。体会极限思想。通过函数图象直观理解导数的几何意义。请针对“导数的概念及其意义”，以达到学习要求为目的，完成下列教学设计：（1）补充“导数的意义”的推导过程；数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 7 页 共 42 页（2）设计这部分内容的教学目标；（3）根据教学目标设计这部分内容的教学过程（含课堂导入、概念的形成、巩固提高、课堂小结及设计意图）。数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 8 页 共 42 页参考参考答案答案及及解析解析一、单项选择

8、题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1.【答案】D【解析】， 则， 解得，故。故本题选 D。2.【答案】C【解析】依题意得，取得，由此解得。故本题选 C。3.【答案】B【 解 析 】 由 题 意 可 知， 所 以 垂 直 于 这 个 三 角 形 所 在 平 面 的 向 量 为，又因为，故垂直于这个三角形所在平面的单位向量为。故本题选 B。4.【答案】B【解析】A 选项，椭球面的方程为，故不符合题意；B 选项，把面上的双曲线绕轴旋转， 得到旋转单叶双曲面的标准方程为， 所以方程所确定的二次曲面是旋转单叶双曲面，故符合题意；C 选项，旋转抛物面的方程为，故不符合题意；D 选项，圆

9、柱面的标准方程为，故不符合题意。故本题选 B。5.【答案】D【解析】 由题意可得所对应的区域为边长为 1 的正方形， 面积为 1。 记点满足为事件 A，则事件 A 所包含的区域由确定的区域的面积，面积为。所以故本题选 D。6.【答案】C数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 9 页 共 42 页【解析】因为级数与都发散，所以与都发散，故必发散。故本题选 C。7.【答案】B【解析】 普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订） 在课程内容中指出，预备知识包括集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观看一元二次方程和一元二次不等式。故本题选 B。8.【答案】D【解析】在现存的

10、中国古代数学著作中，最早的一部是周髀算经 。故本题选 D。二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）9.【答案】【 解 析】 面 积，。由解得：或。因为，所以，即当时，所围平面图形面积最大。10.【答案】【解析】，同理，则，所以。11.【答案】 （1）或； （2）见解析数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 10 页 共 42 页【解析】。（1）当或时，向量组，线性相关；（2）当时，能由，线性表示，。12.【参考答案】（1）教学要求应明确、恰当。一般来说，课程标准、教材对各个部分的教学内容都有明确的要求，虽然对其严谨性没有明确指出，但通过分析思考课标、教材对教学内容要求

11、的深浅度，就可以把握其严谨性要求的高低。处理数学教学内容，切不可违背科学观点。为了符合学生的认识规律，适应学生原有的认知基础和认知水平，某些数学课可以分作几个阶段，逐步深化、精确化。初步讲授某些数学知识时，可以用经验来促使学生信服，但不能代替逻辑证明。（2）教学中要逻辑严谨、思路清晰、语言准确。这就是说，在讲解数学知识时，要有意识地渗透形式逻辑方面的知识，注意培养逻辑思维，学会推理论证。数学中的每一个名词、术语、公式、法则都有准确的涵义。学生能否确切地理解它们的涵义是能否保证数学教学的科学性的重要标志之一。同时，应该要求学生掌握精确的数学语言和符号。初中平面几何入门难，其重要原因是难以过语言关

12、、论证关，这是由于学生习惯于使用日常语言，不会使用数学语言；习惯于计算求解，不习惯于推理论证所造成的。这只有通过教师的耐心启发、详细讲解，同时，通过学生自己反复练习后才能逐步掌握。为了培养学生语言精确，教师在数学语言上应有较高的素养。新教师在语言上要克服两种偏向：一是滥用学生还接受不了的语言和符号；二是把日常流行但又不太准确的习惯语言带到教学中。（3）教学安排上要有适当的梯度。注意由浅入深、由易到难、由已知到未知、由具体到抽象、由特殊到一般地讲解数学知识。要善于激发学生的求知欲，但所涉及的问题不宜太难，这样才能取得好的教学效果。总之，在强调严谨性时，不可忽视学生的可接受性，在强调量力性时，又不

13、可忽视内容的科学性。只有将两者有机地结合起来，才能促进教学质量的提高。13.【参考答案】数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 11 页 共 42 页数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动，使学生通过教学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物、思考问题，激发对数学的兴趣，以及学好数学的愿望。教师是学生教学活动的组织者、引导者与合作者；要根据学生的具体情况，对教材进行再加工，有创造的设计教学过程；要正确认识学生个体差异，因材施教，使每个学生都在原有的基础上得到发展；要让学生

14、获得成功的体验，树立学好数学的自信心。三、解答题（本大题共 1 小题，每题 10 分，共 10 分）14.【答案】原函数在上一致连续，导函数也一致连续。【解析】函数在上连续，所以函数在上处处连续。因为，所以都 存 在 ， 所 以在上 一 致 连 续 。 因 为，所以导函数在上处处连续。， 所以都存在， 所以在上一致连续。四、论述题（本大题共 1 题，每题 15 分，共 15 分）15.【参考答案】（1）数学概念是客观事物中数与形的本质属性的反映，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是提高解题能力的前提。通过讨论数学概念的合理性，培养学生思维的深刻性；通过对概念的完整性作进一步讨论，培养学生思维

15、的严密性，从而提高学生的数学思维能力。（2）以函数为例进行分析。数学概念的学习要以辨别为前提条件。所谓概念学习就是能概括出同类事物的共同本质特征。由于事物不仅在本质特征上有共同点，在非本质特征上也有共同点，这就给概念学习带来了困难，所以学习一个概念不仅要求学生学习与掌握一类事物的共同本质特征，而且要求他能排除非本质特征，如要及时排除学生认为“函数的定义域就是函数名称（或函数的定义） ”这样一种错误认识。概念是反映事物的共同点，而辨别是反映事物的差异。所以概念的学习要以辨别为前提条件。据此，教师在讲完函数概念之后最好要设计一组辨析题给学生做，让学生经历充分的活动和体验后明白到底什么是函数？什么是

16、函数的定义域、数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 12 页 共 42 页值域和对应法则。数学概念教学重在把握概念的本质属性。对于函数，大多数学生都能说出它的定义，但要他们举出具体的函数，很多人只会举出有解析式的例子。在他们的头脑中存在着一种非本质属性泛化的错误观念：“有完整数学表达式的才是函数，除此之外就都不是函数” 。这说明他们还没有真正掌握函数的本质特征。只有正确认识到“数集到数集上的对应关系”才是函数的本质属性，才是函数不变的性质。除此之外的一切都是可变的，那么函数的表达式就是可变的，并不是函数的本质。函数的表达式可以是独立的解析式，也可以是其它的形式，如数表形式、图象形式、箭头

17、形式等。无论函数关系用什么形式表示，只要具备函数的本质特征，它就是函数。数学概念的同化教学要重视“例证”的作用。高中函数概念就是对初中函数概念的同化。而同化过程是学习者认知结构中的原有观念与要学习的新观念相互作用的过程。原有观念的概括程度、包括的范围和巩固水平在新的学习中起决定作用。在教学时，教师先呈现概念的若干正例，引导学生进行辨别，提出与检验假设，最后进行概括，得出同类事物的共同本质属性。在呈现若干正例的同时，必须根据学生现有认知结构水平随之呈现适当的反例（也可请学生举例） ，如集合实数 ，正实数 ，对应法则：，则在对应法则作用下，从到能形成函数吗？又如集合本校某班同学的姓名 ，座位号 ，

18、对应法则：分配座位，则在对应法则作用下，从到能形成函数吗？正例呈现有助于学生进行概括，反例呈现有助于学生辨别，使概念概括精确化。举例的目的是为了便于学生证实已抽象出来的特征。简单地说，在概念形成中，例子帮助学生发现概念的本质属性，在概念同化中，例子支持学生对概念本质属性的理解。要获得一个代数概念，使之成为一个数学实体，必须先经过一个相当长时期的操作性或过程性的阶段，然后进入结构性意义的建构，最后形成一个完全的代数对象。如函数概念同化教学可以进行如下设计：首选给出定义（揭示本质属性， 给出名称和符号） ， 然后与原认知结构建立联系， 明确新概念的内涵与外延，再与原有认知结构中的某些概念相区别，最

19、后将新概念纳入原有的认知结构之中，原有的认知结构得到充实，通过练习巩固形成新的概念。遵循具体，抽象，再具体的教学规律。让学生经历领会到巩固再到应用的心理过程。贯彻概念的引入，概念的明确和理解，再达到概念的巩固和应用等基本教学环节。使学生感知概念，形成表象，通过分析、抽象和概括使学生明确和理解概念。通过练习、习题，使学生巩固和应用概念。五、案例分析题（本大题共 1 题，每题 20 分，共 20 分）16.【参考答案】（1）上述解答有两处错误，一是没有考虑到直线斜率不存在的情况，二是没有考虑到为 0 的情况。（2）正确解法如下：当直线斜率不存在时，直线方程为，即轴，与抛物线仅有一个交点，满足题意。

20、当直线斜率存在时，设直线为，则它与抛物线交点满足，消去得，整理得。 因为直线与抛物线仅有一个交点， 所以或解得或，所以所求直线为或。综上可知，所求直线为或或。数学思想：分类整合的思想；数形结合的思想；转化化归的思想。数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 13 页 共 42 页六、教学设计题（本大题共 1 题，每题 30 分，共 30 分）17.【参考答案】（ 1 ） 教 学 重 点 ： 深 刻 理 解 在 一 点 处 导 数 的 概 念 ， 能 准 确 表 达 其 定 义 ； 注 意这种形式的灵活应用；明确导数实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数。（2）教

21、学过程：新课导入：以两个问题为背景引入导数的概念。问题 1（以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：，求：落体在时刻（）的瞬时速度。问题解决：设 为的邻近时刻，则落体在时间段（或）上的平均速度为。若时平均速度的极限存在，则极限为质点在时刻的瞬时速度。问题 2 （以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景） 已知： 曲线上点， 求：点处切线的斜率。下面给出切线的一般定义；设曲线及曲线上的一点，如图，在外上另外取一点，作割线，当沿着趋近点时，如果割线绕点旋转而趋于极限位置，直线就称为曲线在点处的切线。问题解决：取在上附近一点，于是割线的斜率为（为割线的倾角）当时，若

22、上式极限存在，则极限（为割线的倾角）为点处的切线的斜率。上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问题的解决都归结到求形如（1）的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。也正是这类问题的研究，促使“导数”的数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 14 页 共 42 页概念的诞生。【设计意图】通过实例使学生有机会经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程。借助直观的图象和数据，感悟在某一时刻的速度瞬时速度是客观存在的，并与平均变化率存在必然的联系，及“以已知探

23、求未知”的数学思想方法，让学生初步感受无限、逼近的思想。新课探究：定义设函数在的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为在点处的导数，记作。即（2）也可记作，。若上述极限不存在，则称在点处不可导。在处可导的等价定义：设，若则等价于，如果函数在点处可导，可等价表达成为以下几种形式：（3）（4）（5）【设计意图】教学中遵循“学生为主体，教师为主导，训练为主线，发展思维为主旨”的“四主原则” 。以恰当的系列活动为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的时间与空间，引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学。巩固概念：利用导数定义求导数的几个例子例 1

24、：求在点处的导数。解：由定义例 2：设函数为偶函数，存在，证明：。证：，又数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 15 页 共 42 页。注意：这种形式的灵活应用。【设计意图】加深学生对导数内涵的理解，熟练应用导数的概念进行运算，提炼求导步骤由特殊到一般，完成思维的飞跃。通过具体例题的分析，加深学生对导数内涵的理解，体验数学在实际生活中的应用。数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 16 页 共 42 页20222022 年上半年中小学年上半年中小学教师资格证考试教师资格证考试数学数学学科知识学科知识与教学能力与教学能力（高级中学高级中学）考前冲刺密卷考前冲刺密卷（二二）科目代码科目代

25、码（4 40 04 4）重要提示重要提示为维护您的个人权益，确保教师资格证考试的公平公正，请您协助我们监督考试实施工作。本场考试规定：监考老师要向本考场全体考生展示题本密封情况，并邀请 2 名考生代表验封签字后，方能开启试卷袋。请将此条形码揭下，请将此条形码揭下，贴在答题卡指定位置贴在答题卡指定位置条条形形码码粘粘贴贴处处准考证号姓名数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 17 页 共 42 页注意事项注意事项一、本试卷分满分 150 分，总时限 120 分钟，各部分不单独计时，答题时请注意合理分配时间。二、请按照要求在答题卡上填写好自己的姓名，涂写好准考证号，严禁折叠答题卡。三、必须在答

26、题卡上答题：在题本上答题，一律无效。四、监考人员宣布考试开始时，方可答题；宣布考试结束时，应立即停止答题。题本、答题卡、草稿纸一律留在桌上，待监考人员确认数量无误，允许离开后，方可离开考场。如果违反了以上任何一项要求，都将影响你的成绩。五、在本套试卷中，可能有些试题较难，因此你不要在一道题上思考时间太久，遇到不会答的题目可先跳过去，如果有时间再去思考，否则，你可能没有时间完成后面的题目。六、试题答错不倒扣分。停！请不要往下翻！听候监考老师的指示。否则，会影响你的成绩。数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 18 页 共 42 页一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40

27、分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选和未选均无分。1.已知，求 a 的取值范围（） 。A.B.C.D.2.函数在点处的增量满足，且，则的值为（） 。A.B.C.D.3.设三阶矩阵满足关系式，且，则为（） 。A.B.C.D.4.方程的实数根有（）个。A.1B.2C.3D.45.设直线平面，则（） 。A.平行于B.在上C.垂直于D.与相交但不垂直6.甲乙两人从 1，2，3，10 中各任取一个数（不重复），已知甲取到的数是 5 的倍数，则甲数大于乙数的概率为（）。A.B.数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第

28、19 页 共 42 页C.D.7.数学学科核心素养包括： （） 、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。A.空间几何B.数学抽象C.数学思维D.数据分组8.函数，中， 初等函数的个数为 （） 。A.2B.3C.4D.5二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）9.设是在上的任一非负连续函数，试证明存在，使得在区间上以为高的矩形面积，等于在区间上以为曲边的梯形的面积；又在区间内可导，且，证明唯一。10.设二维随机变量具有概率密度：（1）求分布函数；（2）求概率。数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第

29、 20 页 共 42 页11.已知方程组。（1）系数矩阵的秩为 1，增广矩阵的秩为 2。其几何意义是什么？（2）系数矩阵的秩为 2，增广矩阵的秩为 2。其几何意义是什么？12.简述什么是简单随机抽样和分层抽样。13.简要叙述什么是“转化与化归”的思想方法，并举例说一说在中学数学的教学中“转化与化归”的思想常用到的方法？三、解答题（本大题共 1 小题，每题 10 分，共 10 分）14.方程组（1）为何值时，无解，有唯一或无穷多解？（2）在有无穷多解时写出方程组的通解。数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 21 页 共 42 页四、论述题（本大题共 1 题，每题 15 分，共 15 分）1

30、5.伴随着大数据时代的到来，数据分析已经深入到现代社会生活的各个方面，结合实例阐述在中学数学的教学中培养学生的数据分析能力的意义。五、案例分析题（本大题共 1 题，每题 20 分，共 20 分）16.案例：已知，求的取值范围。（1）用“方程思想”方法， “函数思想”方法分别求解；（2）以这题为例，说一说“一题多解”的意义；（3）你认为高中数学老师需要掌握的教学技能有哪些。数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 22 页 共 42 页六、教学设计题（本大题共 1 题，每题 30 分，共 30 分）17.下图是人教 A 版高中数学选择性必修一教材两条直线的交点坐标图片，请仔细阅读教材内容，结合

31、课程标准和教学实际完成下面要求。（1）拟定本课时的教学目标；（2）如何引导学生理解点，直线的概念及其关系；（3）请根据教材呈现的方式简要写出本节课新课环节的教学设计。数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 23 页 共 42 页参考参考答案答案及及解析解析一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1.【答案】A【解析】依题意有：，故本题选 A。2.【答案】D【解析】根据题意可得，因为是的高阶无穷小，所以，这是可分离变量的微分方程，所以，则，因为，所以，所以，则。故本题选 D。3.【答案】B【解析】由，得，所以，所以。故本题选 B。4.【答案】B【 解 析 】 由 题

32、 意 可 得 ， 方 程整 理 可 得 ， 即，由于一元二次方程的判别式小于 0，所以，一元二次方程无实数根，故方程的实数根为 0，。故本题选B。5.【答案】C【解析】直线的方向向量为，平面的法向量为，因此与平行，从而直线与平面垂直。故本题选 C。6.【答案】C【解析】甲乙两人从 1，2，3，10 中各任取一个数（不重复），甲取到的数是 5 的倍数，基本事件总数为 18，甲数小于乙数的基本事件为，所以甲数大于乙数的概率为数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 24 页 共 42 页。故本题选 C。7.【答案】B【解析】 普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订） 在学科核心素

33、养与课程目标中指出，数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。故本题选 B。8.【答案】C【解析】常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这六类函数统称为基本初等函数。，均为初等函数，是符号函数，不是初等函数。所以初等函数有 4 个。故本题选 C。二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）9.【答案】见解析【解析】证明：存在性：设，则，由罗尔定理得，即。唯一性：设，则，因为，所以，即，那么单调递减，故唯一。10.【答案】 （1）见解析； （2）【 解 析

34、】（ 1 ） 因 为所 以（ 2 ） 将看 作 是 平 面 上 随 机 点 的 坐 标 ， 即 有， 其 中平 面 为上 的 区 域 直 线 及 其 下 方 的 部 分 ， 于 是。11.【答案】 （1）见解析； （2）见解析【解析】 （1）由解析几何知：是空间内的一个平面，而是平面的法向量，是空间内的一个平面。当系数矩阵的秩为 1，增广矩阵的秩为 2 时，其几何意义是平面与平面平行而不重合； （2）系数矩阵的秩为 2，增广矩阵的秩为 2 时，其几何意义为这两个平面不平行，因而一定相交。12.【参考答案】简单随机抽样： 一般地， 设一个总体含有个个体， 从中逐个不放回地抽取个个体作为样本，数学

35、学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 25 页 共 42 页如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样。13.【参考答案】转化与化归的思想方法是中学数学中最基本的思想方法。其原则就是将较为难解的，不太熟悉的问题转化为较为容易解决的，比较熟悉的或已经解决了的问题，将复杂的问题转化成简单的问题。转化与化归思想常用到的方法如下： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问

36、题。（2）换元法：运用换元把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。 （3）数形结合法：研究原问题中数量关系与空间形式关系，通过互相变换获得转化途径。 （4）构造法： “构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。 （5）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径。 （6）特殊转化法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题。 （7）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化的目的。 （8）补集法：如果正面解决问题有困难，可把原问题结果看作集合，而包含问题的整体、问题的结果类比为全集，

37、通过解决全集及补集使原问题得以解决。三、解答题（本大题共 1 小题，每题 10 分，共 10 分）14.【答案】 （1）见解析； （2）见解析【 解 析 】 方 程 组 改 写 为， 则 有 方 程 组的 增 广 矩 阵，当且时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解；（2），解为，通解为，为任意常数；当时，方程组无解。数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 26 页 共 42 页四、论述题（本大题共 1 题，每题 15 分，共 15 分）15.【参考答案】数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法，也是“互联网+”相关领域的主要数学方法，数据分析已经深入到科学、

38、技术、工程和现代社会生活的各个方面。数据分析主要表现为：收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识。对于高中“统计”一章，学生经过数据分析的过程能够清晰明了的掌握平均数，众数，中位数，极差等概念，加深其理解。可以帮助学生进一步学习数据收集和整理的方法、数据直观图表的表示方法、数据统计特征的刻画方法；通过具体实例，感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可能性；体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异；通过实际操作、计算机模拟等活动，积累数据分析的经验。通过高中数学课程的学习，学生能提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力；适应数字化学习的需要，增强基于数据

39、表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质；积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。五、案例分析题（本大题共 1 题，每题 20 分，共 20 分）16.【参考答案】（1）“方程思想”方法求解：，是方程的两根，即，或。“函数思想”方法求解：，代入到式子中可得，化简得到关于的函数为， 令， 即， 原式为， 求得的取值范围为或。（2）一题多解，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，即由多种途径获得同一数学问题的最终结论。心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模式化的问题，那么，就需要进行创造性的思维，需

40、要有一种解题策略，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。而通过对典型例题和解题方法的挖掘，使知识不断向纵横两个方向发展，训练人的思维，培养人的学习习惯才是教育教学的最终目标。在高中数学的教育教学过程中，选好一道典例，通过一题多思，一题多解，一题多讲的活动，不仅可以巩固学生的知识点掌握，也能使相对枯燥乏味的数学课堂更加生动，充分调动了学生探究能力，提高积极性。更能强化思维的连贯性，知识的衔接，能够全面利用所学的知识解决实际问题。（3）高中数学老师需要掌握的教学技能有：教学设计：能够根据学生已有的知识水平和数学学习经验，准确把握所教内容与学生已学知识的联系。能

41、够根据课标的要求和学生的认知特征确定教学目标、教学重点和难点。能正确把握数学教学内容，揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，渗透数学思想方法，体现应用与创新意识。能选择适当的教学方法和手段，合理安排教学过程和教学内容，在规定的时间内完成所选教学内容的教案设计。教学实施：能创设合理的数学教学情境，激发学生的数学学习兴趣，引导学生自主探索、猜想和合数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 27 页 共 42 页作交流。能依据数学学科特点和学生的认知特征，恰当地运用教学方法和手段，有效地进行数学课堂教学。能结合具体数学教学情境，正确处理数学教学中的各种问题。教学评价：能采用不同的方式和方法，对

42、学生知识与技能、过程与方法和情感、态度与价值观等方面进行恰当地评价。能对教师数学教学过程进行评价。能够通过教学评价改进教学和促进学生的发展。六、教学设计题（本大题共 1 题，每题 30 分，共 30 分）17.【参考答案】（1）掌握直线、点之间的关系，会求解两条直线交点坐标，并能运用相关方法解决实际问题；经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会方程方法的应用，提升运算能力和推理能力；在探索的过程中获得成功的体验，进一步提升学习数学的兴趣。（2）课堂之上教师可以通过多媒体教学，通过形象的多媒体设计，使学生直观感受点和线，体会点和线之间的联系，进一步增加对点和线概念的理解。（3）教学过程设

43、计：一、导入与学生共同回忆已学过的直线方程，并提问其两条直线的位置关系有几种，再次引导学生思考：如果两条直线相交那么它们的交点该如何求解？从而引出课题。【设计意图】通过回忆已有的知识经验，是学生体会到数学知识之间的联系，提高学生学习的兴趣。二、新授1.小组讨论，探究新知让学生思考两条直线的交点是一个什么样的点，即交点是两条直线的公共点，同时满足两个直线方程。提问学生两条直线的交点是否可以通过方程的方法进行求解。给同学 5 分钟时间组内探究。预设（1） ：学生将两条直线在直角坐标系中画出，并找出两直线的交点，但是具体坐标很难得出。预设（2） ：学生将两条直线方程联立，求解二元一次方程组。2.教师

44、提问，小组代表总结讨论结果由刚才的讨论结果引发思考，两条直线的交点如何去求，学生各抒己见。预设（1） ：如果在直角坐标系中将两条直线画出来，只能得出两直线交点所在的象限位置，很难得出坐标的具体数值。预设（2） ：如果联立两直线方程，通过求解二元一次方程组可以求出一组解，同时满足两个直线方程，所以这组解即为两条直线的交点坐标。3.教师引导，体会数形结合与方程求解的利与弊教师对学生的回答给予鼓励性的评价，同时讲解将两条直线同时在直角坐标系中画出来，虽然能很快的找到两条直线交点的具体位置，但是想要得到其数值解是不容易的，但是我们将其转化为求解二元一次方程组可以很快得出两直线的交点坐标。提问学生选择哪

45、种方法求解两条直线的交点坐标。预设学生回答：联立方程的方法。4.提问学生求解两直线交点坐标的一般步骤预设（1） ：在求解两直线交点坐标时，可以先将直线方程化简为直线方程的一般形式，然后联立两个直线方程得到二元一次方程组，求解此方程组，方程组的解即为两直线的交点坐标。【设计意图】通过问题的设置，引导学生思考交流，加强学生之间的交流，提高学生间的协作能力，进一步提高学生探究问题，解决问题的能力。三、巩固练习给出两条线直线，求出这两条直线的交点坐标。四、课堂小结学生分享，总结收获。五、课后作业，深化提高让学生完成课后相关章节习题。数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 28 页 共 42 页20

46、222022 年上半年中小学年上半年中小学教师资格证考试教师资格证考试数学数学学科知识学科知识与教学能力与教学能力（高级中学高级中学）考前冲刺密卷考前冲刺密卷（三三）科目代码科目代码（4 40 04 4）重要提示重要提示为维护您的个人权益，确保教师资格证考试的公平公正，请您协助我们监督考试实施工作。本场考试规定：监考老师要向本考场全体考生展示题本密封情况，并邀请 2 名考生代表验封签字后，方能开启试卷袋。请将此条形码揭下，请将此条形码揭下，贴在答题卡指定位置贴在答题卡指定位置条条形形码码粘粘贴贴处处准考证号姓名数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 29 页 共 42 页注意事项注意事项一

47、、本试卷分满分 150 分，总时限 120 分钟，各部分不单独计时，答题时请注意合理分配时间。二、请按照要求在答题卡上填写好自己的姓名，涂写好准考证号，严禁折叠答题卡。三、必须在答题卡上答题：在题本上答题，一律无效。四、监考人员宣布考试开始时，方可答题；宣布考试结束时，应立即停止答题。题本、答题卡、草稿纸一律留在桌上，待监考人员确认数量无误，允许离开后，方可离开考场。如果违反了以上任何一项要求，都将影响你的成绩。五、在本套试卷中，可能有些试题较难，因此你不要在一道题上思考时间太久，遇到不会答的题目可先跳过去，如果有时间再去思考，否则，你可能没有时间完成后面的题目。六、试题答错不倒扣分。停！请不

48、要往下翻！听候监考老师的指示。否则，会影响你的成绩。数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 30 页 共 42 页一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选和未选均无分。1.将抛物线绕对称轴旋转一周，所得旋转曲面的方程为（） 。A.B.C.D.2.已知函数，则有（） 。A.在处连续B.在上一致连续C.是的可去间断点D.是的震荡间断点3.分段函数在处，以下正确的是（） 。A.可导且B.可导不连续C.连续不可导D.既不连续也不可导4.曲线与的交线是（）A

49、.抛物线B.双曲线C.圆D.椭圆5.在曲线的所有切线中与平面平行的切线有（） 。A.一条B.两条C.三条D.四条6.向量组，极大无关组所含向量的个数为（） 。A.0B.1C.2D.37.数学抽象主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用（）予以表征。数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 31 页 共 42 页A.数学公式B.数学语言C.文字语言D.字母8.下图为平面直角坐标系的章节知识结构图，蕴含的数学思想不包含（） 。A.数形结合B.转化C.映射D.极限二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35

50、 分）9.求平面上的双曲线绕，轴旋转形成的旋转曲面的方程。10.设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知，试求。11.解线性方程组，其中为常数。为何值时，有无穷多解？写出方程组的通解。数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 第 32 页 共 42 页12.普通高中数学课程标准（2017 版 2020 年修订） 中提出的数学学科的核心素养有哪些？提出学科核心素养的意义何在？13.简述数学运算的基本内涵。三、解答题（本大题共 1 小题，每题 10 分，共 10 分）14.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比。已知当速度为 10 km/h，燃料费为每小时 6 元，而其他与速度无关的费用为每小