二重积分的几何应用精.ppt

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1、二重积分的几何应用第1页，本讲稿共18页设设n 是是光滑曲面光滑曲面(如图如图)：1)方向余弦方向余弦二、曲面面积的积分公式二、曲面面积的积分公式 上过点上过点处的法向量处的法向量.若若为锐角为锐角,则由则由 立得立得（夹角余弦公式）（夹角余弦公式）：1.复习和预备复习和预备第2页，本讲稿共18页2)面积投影定理面积投影定理在曲面上点在曲面上点 处取切平面处取切平面小块小块dA,以代替曲面上相应的面积微以代替曲面上相应的面积微(称为面积元素称为面积元素)元元dS,使其与使其与dA在在D上有共同投影上有共同投影d 取切平面取切平面A与与D之交线之交线L为为x轴轴,如如故得故得 xy下图下图(矩形

2、矩形).当当 为锐角时为锐角时,由于由于第3页，本讲稿共18页2.曲面面积的定义与公式曲面面积的定义与公式 记记 是与是与 有相同投影有相同投影 当当 充分小时充分小时,显然有显然有:从而取从而取 则有则有:定义定义 将将S任意分为不重叠的小曲面之和任意分为不重叠的小曲面之和(如上如上),而而将将S任意分为任意分为:(不重叠不重叠)的面积记为的面积记为 的切平面小块的切平面小块,借用定积分基本思想：借用定积分基本思想：第4页，本讲稿共18页若曲面方程为：若曲面方程为：则曲面面积为：则曲面面积为：若曲面方程为：若曲面方程为：则曲面面积为：则曲面面积为：评注评注 1)同理可得同理可得存在存在,则称

3、其为曲面则称其为曲面S S的面积的面积.记为：记为：第5页，本讲稿共18页解解 曲面在曲面在 xoy 面上投影为面上投影为则则出的面积出的面积 A.3.公式应用公式应用 上述公式的应用步骤如下：上述公式的应用步骤如下：被柱面被柱面所截所截例例1 计算双曲抛物面计算双曲抛物面1)由题设确定曲面方程及其投影区域由题设确定曲面方程及其投影区域 D;2)给出给出D的合适表述的合适表述,代入公式化为二次积分代入公式化为二次积分.第6页，本讲稿共18页解解第7页，本讲稿共18页解解解方程组解方程组得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周在在 平面上的投影域为平面上的投影域为第8页，本讲稿共18页第9页，本

4、讲稿共18页1.直角坐标下的曲面面积公式及应用直角坐标下的曲面面积公式及应用2.参数方程下的曲面面积公式及应用参数方程下的曲面面积公式及应用3.课堂练习课堂练习 书书P130:习题习题2；三、小结与练习三、小结与练习书书P130:习题习题1；四、作业四、作业第10页，本讲稿共18页一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系选择合适的坐标系使积分域多为坐标面使积分域多为坐标面(线线)围成围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序选择易计算的积分序积分域分块要少积分域分块要少,累次积分易算为妙累次积分易算为妙.图示法

5、图示法解方程组求交点解方程组求交点3.确定积分限的方法确定积分限的方法 累次积分法累次积分法二重积分计算法习作与练习二重积分计算法习作与练习第11页，本讲稿共18页例例1 求下列积分求下列积分解解 先先y后后x,直接求直接求.解解 作图作图,取取x-x-型为简型为简.解法一解法一 用直角坐标直接求；用直角坐标直接求；解法二解法二 用对称性及奇函数直接求；用对称性及奇函数直接求；所围成所围成.第12页，本讲稿共18页例例2 计算二重积分计算二重积分其中其中D 为圆周为圆周所围闭区域所围闭区域.提示提示:利用极坐标利用极坐标原式原式第13页，本讲稿共18页例例3 计算二重积分计算二重积分其中其中:

6、(1)D为圆域为圆域(2)D由直线由直线解解:(1)利用对称性利用对称性.围成围成.第14页，本讲稿共18页(2)积分域如图积分域如图:将将D 分为分为添加辅助线添加辅助线利用对称性利用对称性,得得第15页，本讲稿共18页例例5 计算二重积分计算二重积分在第一象限部分在第一象限部分.解解:(1)两部分两部分,则则其中其中D 为圆域为圆域把与把与D 分成分成作辅助线作辅助线第16页，本讲稿共18页(2)提示提示:两部分两部分 说明说明:若不用对称性若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线作辅助线将将D 分成分成第17页，本讲稿共18页例例6如图所示如图所示交换下列二次积分的顺序交换下列二次积分的顺序:解解第18页，本讲稿共18页