计算机图形学第五章曲线和曲面精选文档.ppt

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1、计算机图形学第五章曲线和曲面本讲稿第一页，共五十页5.2 曲线分析1）曲线上的活动坐标架设曲线为P(t)=x(t),y(t),z(t)，则：n切矢量：P(t)（当t为弧长时是单位矢），单位切矢记为T。n法矢量：过曲线上任意一点，以切矢为法线的平面称为法平面。l主法矢：当以弧长为参数时，切矢的导矢是一个与切矢垂直的矢量，其单位矢称为主法矢，记为N。l副法矢（记为B）B=TNT(单位切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架；N、B构成的平面称为法平面；N、T构成的平面称为密切平面（它与曲线最贴近）；B、T构成的平面称为从切平面。对于一般参数t，有：本讲稿第二页，共五十页2）曲线的

2、曲率曲率和挠率挠率n曲率：由于T(s)与N平行，令T(s)=N,(kappa)称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率。恒为正，又称为绝对曲率。曲率的倒数=1/，称为曲率半径。n挠率：由B(s)(s)=0，两边求导，可得：B(s)(s)=0；又由|B(s)|2=1，两边求导，可得：B(s)B(s)=0；所以，B(s)N(s)，再令B(s)=-N(s)，(tau)称为挠率，其几何意义是副法矢方向对于弧长的转动率。挠率大于0、等于0和小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。对于一般参数t，可以推导出曲率和挠率的计算公式如下：TNB注意：曲率和挠率是几何量，其值与参数的选

3、择无关。本讲稿第三页，共五十页示例：左旋右旋螺旋线当圆柱轴线平放时，用手握住圆柱并伸直拇指，拇指代表动点移动的方向，其余四个手指代表动点的转动方向，符合右手为右旋螺旋线，如图()所示；符合左手为左旋螺旋线，如图(b)所示。()右旋螺旋线 (b)左旋螺旋线 本讲稿第四页，共五十页5.3 曲面与曲面分析1）曲面的表示P=P(u,v)，u1uu2，v1vv2固定其中一个参数例如v=v0，则曲面变成单参数u的矢函数P=P(u,v0)，表示曲面上的一条以u为参数的参数曲线，简称u线。类似地，P=P(u0,v)表示曲面上的一条v线。所以，参数曲面上存在两组等参数线，即一组u线和一组v线。在曲面上一点P(u

4、0,v0)处，总存在一条u线和一条v线。u线在该点有一个切矢Pu(u0,v0)，称为u向切矢。v线在该点也有一个切矢Pv(u0,v0)，称为v向切矢。这两个切矢的矢量积，决定了该点处的曲面法矢n(u0,v0)。将曲面上的每一点P(u,v)，沿法矢方向n移动一个固定距离d，就得到该曲面的一个等距面P(u,v)=P(u,v)+dn(u,v)。本讲稿第五页，共五十页如果曲面的两族等参数线：u线与v线中，有一组是直线，则称该曲面为直纹面。它可以看成直线段在空间连续运动扫出的轨迹。直纹面上的直线族称为母线。在直纹面上取一条曲线与所有母线相交，称之为准线。在准线=(u)每一点的母线方向上给定一个非零矢量(

5、u)。则直纹面方程可以写为P(u,v)=(u)+v(u)。当(u)为固定时，直纹面为柱面。当(u)为变矢量，且准线缩为一点时，直纹面为锥面。机翼表面通常为直纹面。如果直纹面沿它的每一条母线只有唯一的切平面（或者说沿直母线,法向量平行），则称该直纹面为可展曲面。可展曲面可以通过简单的弯曲来展平。圆柱面和圆锥面都是可展的，曲线的切线曲面（曲线上所有点的切线的集合）也是可展的，但机翼的直纹面就不一定。2）直纹面与可展曲面单叶双曲面和双曲抛物面都不是可展曲面本讲稿第六页，共五十页3）曲面的曲率性质研究曲面的弯曲程度，通常是通过研究法截线的曲率来实现的。通过曲面上一点法线的平面与曲面的交线称为法截线，法

6、截线的曲率n称为法曲率，围绕法线旋转的每一个平面会产生一个法截线，因此曲面上一点的法曲率有无穷多个，这些法曲率的最大值和最小值称为主曲率，而且两个主曲率所在的方向是相互垂直的，称为主方向，其它方向的法曲率可以由主曲率计算：n 1cos2 2sin2其中为该方向与主曲率的1所在主方向的夹角。两个主曲率的乘积称为高斯曲率（Gaussian）或全曲率、总曲率。两个主曲率的均值称为平均曲率或中曲率。如果曲面上的一条曲线，其切线方向总是在一个主方向，这样的曲线称为曲率线。本讲稿第七页，共五十页5.4 曲线的插值、逼近与拟合 插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，

7、称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线称为逼近曲线。拟合：插值与逼近统称为拟合。本讲稿第八页，共五十页多项式插值：通过n1个数据点Pi（i0，1，n）和对应的参数ti（i0，1，n）可以构造n次插值多项式其中ai是与Pi维数一致的向量，例如三维。多项式逼近：随着控制点增多，多项式的次数不断增高，摆动剧烈，稳定性降低。而且常常数据点是带有误差的，没有必要严格通过，这时可以用低阶多项式进行逼近，逼近时采用的方法通常是最小二乘法：本讲稿第九页，共五十页为一组有序的数据点(P0,P1,Pn)赋予相

8、应的一组参数值(t0t1tn，每个参数点称为节点)称之对这组数据点实行参数化。对一组数据点(P0,P1,Pn)实行参数化的常用方法有以下几种：均匀参数化(等距参数化)，在型值点不均匀时不理想。累加弦长参数化，考虑到弧长因素：向心参数化法，又称平方根法：修正弦长参数化法，在四种方法中效果最好：5.5 参数化 本讲稿第十页，共五十页5.6 几何连续性 设计一条复杂形状曲线时，一般是通过多段简单曲线的拼接完成的。这就涉及曲线在拼接处的连续性问题。拼接曲线的连续性（或称光滑性）有两类度量方式：n一类称为参数连续性：如果曲线函数对表达它的特定参数（并非所有参数）具有直达n阶的连续导矢，则称该曲线具有n阶

9、参数连续性，简称Cn连续。n另一类称为几何连续性：如果曲线函数对弧长参数具有直达n阶的连续导矢，则称该曲线具有n阶几何连续性，简称Gn连续。曲线光滑度的两类度量并无因果关系，都能描述曲线的光滑性。由于弧长是几何量，所以几何连续性更能够代表曲线的光滑性。本讲稿第十一页，共五十页5.6 几何连续性（续）对于一般参数表达的多项式曲线的拼接，要想达到G2连续，在连接点处必须满足：G0连续：即两段曲线首尾相接。G1连续：要求两条曲线在首尾相接处的切矢方向相同。因为两条曲线对弧长参数的导数都是单位矢，再加上方向相同，就意味着两条曲线在首尾相接处的弧长参数一阶导矢连续。G2连续：要求曲率相同，并且副法矢方向

10、相同。曲率相同保证了在首尾相接处弧长参数的二阶导矢大小相同，副法矢方向相同又保证了弧长参数的二阶导矢方向（主法矢）相同，即在首尾相接处弧长参数的二阶导矢连续。对一般参数来说，主法矢是副法矢与切矢的矢量积。本讲稿第十二页，共五十页5.7 参数三次样条曲线（插值）通过n+1数据点Pi（i0，1，n）的一条分段连续的3次多项式曲线，如果在两个数据点之间表示为一个三次多项式，各段多项式在数据点处（连接处）保持C2连续性，这种曲线称为参数三次样条曲线，这种样条曲线使用非常普遍。具体实现时，设其参数分割为u0u10，其余wi0，以防止分母为零、保留凸包性质及曲线不致权因子而退化为一点；节点矢量为Tt0,t

11、1,ti,tn+k+1，节点个数是m=n+k+2（n1为控制项的点数，k为B样条基函数的次数）。本讲稿第四十一页，共五十页2）NURBS曲线有理基函数的性质Ri,k(t)具有k次B样条基函数类似的性质：本讲稿第四十二页，共五十页3）NURBS曲线的性质 NURBS曲线与B样条曲线也具有类似的几何性质(1)局部性质：k次NURBS曲线上参数为tti,ti+1)tk,tn+1)的一点P(t)至多与k+1个控制顶点Pj及权因子j，j=i-k,i-k+1,i有关，与其它顶点及权因子无关；另一方面，若移动k次NURBS曲线的一个控制顶点Pi或改变所联系的权因子，将仅仅影响定义在区间ti,ti+k+1)t

12、k,tn+1)上那部分曲线的形状，对NURBS曲线的其它部分不发生影响。(2)变差减小性质。(3)强凸包性：定义在非零节点区间ti,ti+1)tk,tn+1)上那一曲线段位于定义它的k+1个控制点Pi-k,Pi-k+1,Pi的凸包内。整条NURBS曲线位于所有定义各曲线段的控制顶点的凸包的并集内。所有权因子大于零保证凸包性质的成立。(4几何不变性及仿射不变性。(5)在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性。(6)如果某个权因子i为零，那么相应控制顶点Pi对曲线没有影响。(7)若i，则当tti,ti+k+1)时，P(t)=Pi。(8)非有理与有理Bezier曲线和非有理B样条曲线是NURBS曲线

13、的特殊情况。本讲稿第四十三页，共五十页4）NURBS曲线的几何意义以二维NURBS曲线为例：根据每个数据点（xi，yi）（i=0,1,n）的权值wi将它表示为其次坐标（wixi，wiyi，wi）。在其次坐标空间中，作出数据点的B样条曲线：显然，将得到的三维空间中的B样条曲线，从齐次坐标返回原来的二维空间，得到的就是NURBS曲线。很容易将二维情况推广到n维，这种几何解释也被称为NURBS曲线的齐次坐标表示。据此，可以通过研究其次坐标空间中的B样条曲线性质，研究NURBS曲线。本讲稿第四十四页，共五十页5.13 NURBS曲面 1）NURBS曲面的定义 由双参数变量、分段有理多项式定义的NURB

14、S曲面是：Pij(i=0,1,m，j=0,1,n)是拓扑矩形域上的特征网格控制点列，ij是相应控制点的权因子，规定四角点处用正权因子，即00,m0,0n,mn0，其余ij 0。Ni,p(u)，i=0,1,m和Nj,q(v)，j=0,1,n分别为u向p次和v向q次的B样条基函数，它们分别由u向与v向的节点矢量U=u0,u1,um+p+1与V=v0,v1,vn+q+1，按de Boor-Cox公式计算。Ri,p;j,q(u,v)(i=0,1,m，j=0,1,n)是双变量有理基函数：本讲稿第四十五页，共五十页2）NURBS曲面有理基函数的性质NURBS曲面有理基函数与非有理B样条基函数相类似的性质，

15、例如：（3）可微性：在每个子矩形域内所有偏导数存在，在重复度为r的u节点处沿u向是p-r次可微，在重复度为r的v节点处沿v向是q-r次可微；（4）NURBS曲面双变量有理基函数是双变量B样条基函数的推广。即当所有ij=1时，Ri,p;j,q(u,v)=Ni,p(u)Nj,q(v)本讲稿第四十六页，共五十页3）NURBS曲面的性质 NURBS曲面与非有理B样条曲面有相类似的几何性质，大多数NURBS曲线的性质可以直接推广到NURBS曲面，例如：（1）局部性质（2）凸包性质（3）几何不变性及仿射不变性。（4）沿u向在重复度为r的u节点处是Cp-r参数连续的；沿v向在重复度为r的v节点处是Cq-r参

16、数连续的。（5）权因子的几何意义及修改、控制顶点的修改等与NURBS曲线类似。本讲稿第四十七页，共五十页5.14 NURBS方法的主要优点（1）既为标准的解析形状，也为自由型曲线曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式。（2）由操纵控制顶点及权因子，为各种形状设计提供了充分的灵活性（3）计算稳定且速度相当快。（4）与B样条方法一样，具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术。（5）几何不变性及仿射不变性。（6）非有理B样条、有理与非有理Bezier方法可以处理为它的特例。本讲稿第四十八页，共五十页5.15 NURBS存在的问题（1）需要额外的存储以定义传统的曲线曲面。例如，空间圆需7个参数(

17、圆心、半径、法矢)，而NURBS定义空间圆需38个参数。（2）权因子有可能不合适。（3）有些技术用传统的形式比用NURBS工作更好。（4）某些基本算法，例如反求曲线曲面上点的参数值，存在数值不稳定问题。本讲稿第四十九页，共五十页例：NURBS对圆的表示圆是二次曲线，所以使用二次NURBS表示圆。NURBS表示圆有多种方法，包括下图中的方法，即七顶点构成的外切正方形表示整圆：U0，0，0，1/4，1/2，1/2，3/4，1，1，1p1;w1=1/2p2;w2=1/2p3;w3=1p4;w4=1/2p5;w5=1/2p0=p6;w0=w6=1一共38个参数，注意：空间点是三维坐标本讲稿第五十页，共五十页