第十章 柱坐标系和球坐标系下的计算法精选文档.ppt

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1、第十章 柱坐标系和球坐标系下的计算法本讲稿第一页，共二十六页一、在柱坐标系下的计算法一、在柱坐标系下的计算法规定：规定：本讲稿第二页，共二十六页圆柱面圆柱面半平面半平面平平 面面如图，柱面坐标系中的体积元如图，柱面坐标系中的体积元本讲稿第三页，共二十六页然后再把它化为三次积分来计算然后再把它化为三次积分来计算积分次序一般是先积分次序一般是先 z 次次 r 后后积分限是根据积分限是根据 在积分区域中的变化范围来确定在积分区域中的变化范围来确定例例1解解将将 投到投到xoy 面得面得D本讲稿第四页，共二十六页注注 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥体或旋转体

2、时，通常情况下总是考虑使用锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。柱坐标来计算。例例2本讲稿第五页，共二十六页解解关键在于定出关键在于定出 的变化范围的变化范围 的范围容易定出的范围容易定出z 呢？呢？本讲稿第六页，共二十六页注意到注意到本讲稿第七页，共二十六页二、在球坐标系下的计算法二、在球坐标系下的计算法本讲稿第八页，共二十六页规定规定球球 面面圆锥面圆锥面半平面半平面本讲稿第九页，共二十六页如图，球面坐标系中的体积元素为如图，球面坐标系中的体积元素为然后把它化成对然后把它化成对 的三次积分的三次积分具体计算时需要将具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示用球坐标系下的不等

3、式组表示积分次序通常是积分次序通常是本讲稿第十页，共二十六页解一解一用球坐标用球坐标本讲稿第十一页，共二十六页解二解二用柱坐标用柱坐标本讲稿第十二页，共二十六页解解本讲稿第十三页，共二十六页注注若若 积分区域为球体、球壳或其一部分积分区域为球体、球壳或其一部分被积函数呈被积函数呈而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单通常采用球坐标。通常采用球坐标。本讲稿第十四页，共二十六页补充：利用对称性简化三重积分计算补充：利用对称性简化三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区

4、域上的关于三个坐标轴的、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性奇偶性“你你对称，对称，我我奇偶奇偶”本讲稿第十五页，共二十六页关于关于 xoy 面对称面对称关于关于 xoz 面对称面对称本讲稿第十六页，共二十六页关于关于 yoz 面对称面对称本讲稿第十七页，共二十六页三、小结三、小结三重积分换元法三重积分换元法柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标（1）柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素（3）对称性简化运算对称性简化运算本讲稿第十八页，共二十六页思考题思考题本讲稿第十九页，共二十六页练练 习习 题题本讲稿第二十页，共二十六页本讲稿第二十一页，共二十六页本讲稿第二十二页，共二十六页本讲稿第二十三页，共二十六页练习题答案练习题答案本讲稿第二十四页，共二十六页本讲稿第二十五页，共二十六页本讲稿第二十六页，共二十六页