函数与基本初等函数 .doc

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1、第1讲函数及其表示知 识 梳 理1函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作yf(x)，xA.(2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法2函数定义域的求法类型x满足的条件，nN*f(x)0与f(x)0f(x)0logaf

2、(x)f(x)0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义3.函数值域的求法方法示例示例答案配方法yx2x2y性质法yexy(0，)单调性法yxy2，)换元法ysin2 xsin x1y分离常数法yy(，1)(1，)辨 析 感 悟1对函数概念的理解(1)(教材习题改编)如图：以x为自变量的函数的图象为.()(2)函数y1与yx0是同一函数()2函数的定义域、值域的求法(3)(2013广东卷改编)函数y的定义域为(1，)()(4)(2014杭州月考改编)函数f(x)的值域为(0,1()3分段函数求值(5)(2013济南模拟改编)设函数f(x)则f(f(3).()(6)设函数f

3、(x)若f(a)4，则实数a2或4.()4函数解析式的求法(7)已知f(x)2x2x1，则f(x1)2x25x2.()(8)已知f(1)x，则f(x)(x1)2.()感悟提升1一个方法判断两个函数是否为相同函数一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简)，如(2)2三个防范一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义，如(3)；二是分段函数求值时，一定要分段讨论，注意验证结果是否在自变量的取值范围内，如(6)；三是用换元法求函数解析式时，一定要注意换元后的范围，如(8)考点一求函数定义域的方法【例1】 (1)函数y的定义域为_(2)若函数f(x)的定义域为R

4、，则实数m的取值范围是_解析(1)要使函数有意义，则log0.5(4x3)0，即04x31，所以x1.故函数定义域为.(2)f(x)的定义域为R，即mx24mx30恒成立当m0时，符合条件当m0时，(4m)24m30，即m(4m3)0，0m.综上所述，m的取值范围是.答案(1)(2)规律方法 求函数的定义域，其实质就是使函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：分式中，分母不为零；偶次根式，被开方数非负；对于yx0，要求x0；对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束【训练1】 (1)(2014南京模拟)函

5、数f(x)log2(2x1)的定义域是_(2)(2014聊城模拟)函数y的定义域为_解析(1)因为解得x1，所以f(x)的定义域为.(2)由得1x0，且x1当x1时，log3x0，于是ylog3x1211；当0x1时，log3x0，于是ylog3x11213.故函数的值域是(，31，)规律方法 (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解【训

6、练2】 求下列函数的值域：(1)y；(2)y2x1.解(1)法一(配方法)y1，又x2x12，01)，求a，b的值解f(x)(x1)2a，其对称轴为x1，即函数f(x)在1，b上单调递增f(x)minf(1)a1，f(x)maxf(b)b2bab，又b1，由解得a，b的值分别为，3.第2讲函数的单调性与最值知 识 梳 理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x

7、)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数yf(x)在区间I上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值一般地，设yf(x)的定义域为A.如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么称f(x0)为yf(x)的最大值，记为ymaxf(x0)；如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么称f(x0)为yf(x)的最小值，记为yminf(x0)辨 析 感 悟1函数单调性定义的理解(1)对于函数f(x)，xD，若x1，x2D且(x1x2

8、)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在D上是增函数()(2)函数f(x)2x1在(，)上是增函数()(3)(教材改编)函数f(x)在其定义域上是减函数()(4)已知f(x)，g(x)2x，则yf(x)g(x)在定义域上是增函数()2函数的单调区间与最值(5)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(6)(教材改编)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(7)(2013北京卷改编)函数ylg|x|的单调递减区间为(0，)()(8)函数f(x)log2(3x1)的最小值为0.()感悟提升1一个区别“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调

9、性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(5)2两个防范一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如(3)；二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集，如(6).考点一确定函数的单调性或单调区间【例1】 (1)判断函数f(x)x(a0)在(0，)上的单调性(2)(2013沙市中学月考)求函数y (x24x3)的单调区间解(1)法一任意取x1x20，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).当x1x20时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时

10、，函数f(x)x(a0)在(0，上为减函数；当x1x2时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)x(a0)在，)上为增函数；综上可知，函数f(x)x(a0)在(0，上为减函数；在，)上为增函数法二f(x)1，令f(x)0，则10，解得x或x(舍)令f(x)0，则10，解得x.x0，0x.f(x)在(0，)上为减函数；在(，)上为增函数，也称为f(x)在(0，上为减函数；在，)上为增函数(2)令ux24x3，原函数可以看作yu 与ux24x3的复合函数令ux24x30.则x1或x3.函数y (x24x3)的定义域为(，1)(3，)又ux24x3的图

11、象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数而函数yu 在(0，)上是减函数，y (x24x3) 的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为(，1).规律方法 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；可导函数则可以利用导数解之(2)复合函数yfg(x)的单调性规律是“同则增，异则减”，即yf(u)与ug(x)若具有相同的单调性，则yfg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yfg(x)必为减函数【训练1】 试讨论函数f(x) (a0)在(1,1)上的单调性

12、解设1x1x20时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递增考点二利用单调性求参数【例2】 若函数f(x)在(，1)上是减函数，则a的取值范围是_解析法一f(x)a，设x1x20.由于x1x21，x1x20，x110，x210，a10，即a0时，它有两个减区间为(，1)和(1，)，故只需区间1,2是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是00，得x，所以函数的定义域为，由复合函数的单调性知，函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是.答案2已知函数f(

13、x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是_解析当a0时，f(x)12x5在(，3)上是减函数；当a0时，由得0a.综上，a的取值范围是0a.答案3(2013南通月考)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是_解析由f(x)为R上的减函数且ff(1)，得即1x0或0x1，函数f(x)logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为，则a_.解析由a1知函数f(x)在a,2a上为单调增函数，则loga(2a)logaa，解得a4.答案46函数f(x)2x的最大值是_解析由183x0，得x6，又函数f(x)在定义域上显然是增函数，所以当x6时，

14、f(x)取最大值f(6)12.答案127(2012安徽卷)若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.解析f(x)f(x)在上单调递减，在上单调递增3，a6.答案68用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)min2x，x2,10x(x0)，则f(x)的最大值为_解析由f(x)min2x，x2，10x(x0)画出图象，最大值在A处取到，联立得y6.答案6二、解答题9试讨论函数f(x)，x(1,1)的单调性(其中a0)解任取1x1x21，则f(x1)f(x2)，1x1x21，|x1|1，|x2|1，x2x10，x10，x10，|x1x2|1，即1x1x21，x1x21

15、0，0，因此，当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数为减函数；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数为增函数10已知函数f(x)(a0，x0)(1)判断函数f(x)在(0，)上的单调性；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值解(1)任取x1x20，则x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，因此，函数f(x)是(0，)上的单调递增函数(2)f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，f，f(2)2，即2，2.解得a.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014太原一模)下列函数中，在

16、1,0上单调递减的是_ycos x；y|x1|；yln ；yexex.解析对于，结合余弦函数的图象可知，ycos x在1,0上是增函数；对于，注意到当x1,0时，相应的函数值分别是2，1，因此函数y|x1|在1,0上不是减函数；对于，注意到函数yln ln在1,0上是增函数；对于，当x1,0时，yexex0，因此该函数在1,0上是减函数，综上所述，填.答案2(2014南阳一中月考)函数y(x3)|x|的递减区间是_解析y这个函数图象是由两部分抛物线弧组成，画出它的图象可以看出，函数的单调递减区间为(，0)和(，)答案(，0)和(，)3已知函数f(x)(a0)在(2，)上递增，则实数a的取值范围

17、是_解析法一任取2x1x2，由已知条件f(x1)f(x2)(x1x2)0恒成立，即当2x1x2时，x1x2a恒成立，又x1x24，则0a4.法二f(x)x，f(x)10得f(x)的递增区间是(，)，(，)，由已知条件得2，解得0a4.答案(0,4二、解答题4已知二次函数f(x)ax2bx1(a0)，F(x)若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立(1)求F(x)的表达式；(2)当x2,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求k的取值范围解(1)f(1)0，ab10，ba1，f(x)ax2(a1)x1.对任意实数x均有f(x)0恒成立，a1，从而b2，f(x)x22x1，F(x)(2)g(

18、x)x22x1kxx2(2k)x1.g(x)在2,2上是单调函数，2或2，解得k2或k6.故k的取值范围是(，26，).第3讲函数的奇偶性与周期性知 识 梳 理1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)(2)在公共定义域内两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积

19、函数是偶函数两个偶函数的和函数、积函数是偶函数一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数(3)若函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)0.3周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期辨 析 感 悟1对奇偶函数的认识及应用(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)(教材习题改编)如果函数f

20、(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(5)(2013山东卷改编)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)2.()(6)(2014菏泽模拟)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0)上是减函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是2,2()2对函数周期性的理解(7)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()(8)(2013湖北卷改编)x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(x)xx在R上是周期函数()感悟提升1两个防范一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)