第二章-导数微分及其应用.优秀PPT.ppt

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1、其次章其次章其次章其次章 导数微分及其应用导数微分及其应用导数微分及其应用导数微分及其应用05 十一月十一月 20222微积分的产生是数学上的宏大创建。它从生产技术和理论科学的须要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经验了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的天下篇中也有“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的极限思想，公元263年，刘徽为九间算术作注时提出了“割圆术”，用正多边形来靠近圆周。这是极限论思想的成功运用。积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在抛物线求积法中用

2、究竭法求出抛物线弓形的面积，没有用极限，是“有限”开工的穷竭法。微积分的创始人是微积分的创始人是牛顿和莱布尼茨牛顿和莱布尼茨。解析几何为微积分的创立奠定了基础解析几何为微积分的创立奠定了基础。05 十一月十一月 20223第一节第一节第一节第一节 函函函函 数数数数1.区间区间一、预备学问一、预备学问设a，b是两个实数，且ab开区间开区间：满足不等式axb一切实数的全体。闭区间闭区间：满足不等式axb的一切实数的全体。半开区间半开区间：满足不等式axb的一切实数的全体。：a x b05 十一月十一月 20224表示全体实数，或写成x；表示大于a的全体实数，或写成ax+；表示小于a的全体实数，或

3、写成x a；表示ax+；表示NnN的一切的一切anan，有不等式，有不等式|an|an a|a|称数列称数列anan以有限数以有限数a a为极限，常数为极限，常数a a叫作数列叫作数列anan当当nn时的极限。或称数列时的极限。或称数列anan收敛到收敛到a a，记作，记作05 十一月十一月 202217(2)、单调数列、单调数列单调增加数列和单调削减数列统称单调数列。(3)、有界数列、有界数列对于数列an，假如存在正数M，使得数列中的每一项an(n=1,2,3,)都满足不等式-Man0，总存在一个，总存在一个0，0|x-x0|时，有时，有|f(x)-A|0，作直线，作直线 y=A+，y=A-

4、,这两条直这两条直线形成一横条区域线形成一横条区域.对于这个对于这个,存在点存在点x0的一个邻域的一个邻域(x0-，x0+)，当，当x(x0-，x0+)但但xx0时，有不时，有不等式：等式：点（x,f(x)）落在上面所做的一横条区域内。05 十一月十一月 20222605 十一月十一月 20222705 十一月十一月 202228、当当x时函数时函数f(x)的极限的极限05 十一月十一月 202229解解05 十一月十一月 202230、极限的四则运算法则极限的四则运算法则当当x 时，性质也成立。时，性质也成立。05 十一月十一月 202231数列极限四则运算也有类似的定理:05 十一月十一月

5、 20223205 十一月十一月 202233所以解解留意到05 十一月十一月 202234分母的极限不为零。解解05 十一月十一月 202235 4、两个重要、两个重要极限极限05 十一月十一月 202236解解因此05 十一月十一月 202237解解05 十一月十一月 202238解解 先用x去除分母及分子，然后取极限.05 十一月十一月 202239解解05 十一月十一月 2022405 5、无穷小量和无穷大量、无穷小量和无穷大量、无穷小量、无穷小量例如例如一个函数一个函数 当当 时以时以0 0为极限，称该函数为极限，称该函数为当为当 时的无穷小量时的无穷小量。05 十一月十一月 202

6、241.定理定理无穷小量阶无穷小量阶05 十一月十一月 20224205 十一月十一月 202243下面是几个常用的等价无穷小下面是几个常用的等价无穷小：05 十一月十一月 202244、无穷大量、无穷大量05 十一月十一月 20224505 十一月十一月 202246第三节第三节第三节第三节 连连连连 续续续续1 1、连续的定义、连续的定义05 十一月十一月 20224705 十一月十一月 202248区间连续的定义区间连续的定义05 十一月十一月 202249连续函数的图象是一条连续的曲线。连续函数的图象是一条连续的曲线。05 十一月十一月 20225005 十一月十一月 2022512、

7、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理 基本初等函数在定义域内都连续。定理定理 初等函数在定义域上的区间上连续。05 十一月十一月 202252解解05 十一月十一月 2022533 3、闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质有有界界性性定定理理 闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数在在此此区区间上确定有界。间上确定有界。05 十一月十一月 202254最最大大值值和和最最小小值值定定理理 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数在此区间上确定有最大值和最小值即：在此区间上确定有最大值和最小值即：05 十一月十一月 20225505 十一月十一月 20225605 十一月十一月 20

8、2257证明证明05 十一月十一月 202258假如记f(x)在闭区间a,b上的最的大值为M，最小值为m,且mcM，那么存在一点a,b使得 f()=c。05 十一月十一月 20225905 十一月十一月 202260第四节第四节第四节第四节 函数的导数函数的导数函数的导数函数的导数一、导数的概念导数的概念两个例子(1)、切线问题设A点是曲线c上的一点。如何确定曲线c在A点的切线AT呢？05 十一月十一月 20226105 十一月十一月 202262(2)、瞬时速度、瞬时速度设物体A沿着一条直线运动，我们用s=s(t)表示t时刻物体A离开初始位置的距离。求A在t0时刻的瞬时速度v(t0)？05

9、十一月十一月 2022631、定义、定义存在，则称这个极限为函数函数 f(x)在点在点x0处的导数处的导数，并称函数函数f(x)在在x0处可导或有导数处可导或有导数。(点导数点导数)05 十一月十一月 202264假如这个极限不存在，就称函数f(x)在x0处不行导。解解：05 十一月十一月 20226505 十一月十一月 2022662、定义、定义(区间导数区间导数)05 十一月十一月 202267导函数的定义式为导函数的定义式为05 十一月十一月 202268解解：05 十一月十一月 2022693、基本求导公式和求导法则基本求导公式和求导法则基本求导公式05 十一月十一月 202270导数

10、的四则运算05 十一月十一月 202271解解：解解：05 十一月十一月 202272解解：05 十一月十一月 202273复合函数的求导法则链锁法则05 十一月十一月 202274解解：将函数分解的两个简洁函数，依据链锁法则，有05 十一月十一月 202275解解：将函数分解的两个简洁函数，依据链锁法则，有05 十一月十一月 2022764、高阶导数高阶导数二阶及二阶以上的导数称为高阶导数二阶及二阶以上的导数称为高阶导数05 十一月十一月 202277解解：先求函数的一阶导数再求一阶导数的导数二阶是一阶导数的导数二阶是一阶导数的导数05 十一月十一月 20227805 十一月十一月 2022

11、79第五节第五节第五节第五节 函数的微分函数的微分函数的微分函数的微分一、微分的概念微分的概念1.定义定义设y=f(x)在点x处可导，则 称为函数y=f(x)在点x处的微分，记作dy，即：dy=。微分的表达式微分的表达式2.定理：可导函数确定可微，可微函数确定可导。定理：可导函数确定可微，可微函数确定可导。05 十一月十一月 202280二、微分的几何意义二、微分的几何意义AT是曲线y=f(x)上点A处的切线。其中是切线AT和x轴正方向的夹角。当自变量从当自变量从x变到变到x+dx时，曲线时，曲线y=f(x)在点在点A处的切处的切线的变更量是线的变更量是TC=dy。这就是微分的几何意义。这就是

12、微分的几何意义。05 十一月十一月 202281解解：因为所以05 十一月十一月 202282三、三、基本微分公式基本微分公式05 十一月十一月 202283四、四、微分的运算微分的运算05 十一月十一月 202284解解：用函数乘积的微分法则，05 十一月十一月 20228505 十一月十一月 202286第六节第六节第六节第六节 导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用一、拉格朗日(Lagrange)中值定理xyOABlP05 十一月十一月 20228705 十一月十一月 202288二、洛必塔法则洛必塔法则05 十一月十一月 202289解解：因为所以05 十一月十一月 20229005

13、 十一月十一月 202291解解：因为所以05 十一月十一月 202292三、函数的单调性05 十一月十一月 202293解解：05 十一月十一月 202294四、函数的极值四、函数的极值函数的极大值和微小值都称为函数的极值，函数的极大值点和微小值点都称为函数的极值点。05 十一月十一月 202295称使为零的点为函数的驻点函数的驻点。05 十一月十一月 20229605 十一月十一月 202297解解：下面列表考察导数的符号以及函数的单调性与极值：05 十一月十一月 202298下面列表考察导数的符号以及函数的单调性与极值：05 十一月十一月 202299解解：05 十一月十一月 202210005 十一月十一月 2022101结结结结 束束束束