函数与导数专题复习导航.doc

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1、函数与导数专题复习导航一、考纲与考向函数与导数是高中数学最重要的知识板块，又是考查数学思想方法，如函数方程、数形结合、分类讨论等的理想素材，因而是高考数学命题中份量最重的一部分内容.高考对函数问题的考查常设置两个客观题，一个解答题，分值在22分左右，约占总分的14%，其考查特点一是以基本初等函数或抽象函数为载体，全面考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、有界性，以及函数图象变换等基础知识；二是以基本初等函数为载体，在方程、不等式、数学建模与导数、代数推理等交汇处设置解答题，考查函数五大性质的应用、不等式问题和函数方程思想、数形结合思想等综合问题.高考导数试题的考查特点一是设置

2、客观题，主要考查导数概念、性质、几何意义等基础知识；二是以函数知识为载体设置解答题，主要考查导数的单调性、极值、几何意义和物理意义等主干知识的应用；三是在导数与三角函数、向量、不等式、解析几何、数学建模等知识的交汇处设置试题，主要考查导数的工具性作用、同学们的综合解题能力和数学应用意识、高考导数试题的分值约为17分左右、约占总分11%的左右.二、知识与方法1.函数的重点知识有：(1)函数解析式的求法和分段函数的求法；(2)函数的五大性质，特别是函数的对称性、周期性、复合函数的单调性、函数图象变换等性质的应用；(3)指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质及其应用；(4)函数、导数、数学建模

3、与代数推理等交汇问题.导数的重点知识有：(1)客观题考查导数概念、性质、几何意义、物理意义等基础知识；(2)解答题考查导数在函数的单调性、极值等性质中的应用以及导数工具在代数、几何与数学建模等综合问题中的应用.2.复习函数时，应立足考纲和基础，搞好以函数概念、性质及其应用为主线的复习.一是夯实基础，知识与能力并重：没有基础就谈不到能力，复习要真正地回到重视基础的轨道上来.要认真分析、处理各种关系，加深对函数基础知识系统的整体把握，深入理解有关概念，正确运用有关性质，抓住函数的本质特征，掌握求函数表达式、定义域、值域、最值、单调区间的方法.二是加强对数学思想方法的掌握和运用：对于函数与方程的综合

4、问题，关键是正确运用等价转化思想；对于函数与不等式的综合问题，要主要用运动变化的观点去观察、分析问题，函数方程思想、分类讨论思想和数形结合思想是解决这类问题的关键；对于函数与其他知识的综合问题一般难度较大，应综合运用多种数学思想方法解决.三要注意几点：在研究函数综合问题时，应首先考虑函数的定义域，并始终考虑变量的范围；解决含参数的函数综合问题时，常需要应用函数知识对参数进行讨论；对函数问题进行转化求解时，应保证等价转化.复习导数，一要夯实基础知识，准确理解导数定义、性质、几何意义、物理意义，牢固掌握“和、差、积、商的导数公式和复合函数的求导法则”；二会运用导数知识解决函数单调性、极值和数学建模

5、问题；三是构造函数，运用导数和函数的单调性质，解决代数式大小比较、不等式证明、参数取值范围等问题.三、交汇与应用1.与向量交汇例1.已知向量=(x2，x+1) ，=(1-x，t) ，若函数f(x)= 在区间(-1，1)上是增函数，求t的取值范围.分析：根据已知条件先确定函数f(x)的解析式，再利用导数与函数的单调性之间的关系进行求解。解：因为f(x)=(，x+1) (1-x，t)=-x3+x2+tx+t ，所以f(x)=-3x2+2x+t 。若函数f(x)在(-1，1)上是增函数，则当x(-1，1)时，-3x2+2x+t0 ，得t3x2-2x在区间(-1，1)上恒成立。又g(x)=3x2-2x

6、 是对称轴为x= ，且开口方向向上的抛物线， 故要使t3x2-2x在区间(-1，1)上恒成立，则需tg(-1) ，即t5.故所求的t的取值范围是5，+).点评：本题考查了导数的应用、向量数量积的坐标运算与及二次函数等知识，在知识的交汇点处设计命题的思路和风格非常明显. 2.导数与数列的综合例2已知数列an中，a1t(t0)，a2t2当x时，函数f(x)(an-1an)x3(anan+1)x，(n2)取得极值（）求数列an的通项公式分析：首先利用导函数，结合f()0，确定数列an的递推关系，然后利用解决递推数列的方法求an的通项公式.解：f(x) (an-1an)x2(anan+1)，则f()(

7、an-1an)t(anan+1)=0,得an+1ant(anan-1), (n2)，所以an+1an是首项为t2t，公比为t的等比数列，当t1时，an+1an(t2t)t n-1t n+1t n，而a2a1t 2t，a3a2t 3t2，a4a3t 4t3，anan-1t nt n-1，各式相加，得ana1t nt，而a1t，所以ant n当t1时，适合上式，故ant n(t0)3.应用性问题例3.家电下乡政策是应对金融危机，积极扩大内需的重要举措.某家电制造集团为尽快现实家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预期运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系

8、如下图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（ ） Q Q Q Q Q0 Q0 Q0 Q0 O T t O T t O T t O T tA. B. C. D.分析：由题意可知，运输效率越来越高，只需曲线上点的切线的斜率越来越大即可，观察图形可知，选项B满足条件，故选B.点评：本题的题干背景与时俱进，来自于具有时代气息现实生活情形 家电下乡，属给出模型（函数图象）的一类问题.要求同学们通过结合图象分析出函数关系，找出规律，从而解决问题.四、考题与变式考点1.函数基本关系问题例1.(2010天津)设函数f(x)=，若f(a)f(-a)，则实数a的取值范围是（ ）A.(-1

9、，0)(0，1) B.(-，-1)(1，+) C.(-1，0)(1，+) D.(-，-1)(0，1)解：由题意可得或，解得a1，或-1a0，且a1)在(-，+)上既是奇函数又是减函数，则g(x)=loga(x+k)的图象是（ ） y y y y O 1 2 x O 1 2 x -1 O 2 x -1 O 2 xA. B. C. D.考点4.导数的概念及其运算例4.（2010辽宁）已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）A.0,) B.，） C.（, D., ）解：设曲线在点P处的切线斜率为k，横坐标为x0,则k=y=.因为ex0，所以由均值不等式，可得k=-1.

10、又k0，所以-1k0，即-1tan0,所以0)在点(x1，f(x1)处的切线在x轴上的截距为x2，则当x1 时，的取值范围是 .考点5.导数的应用例5.(2010安徽)设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a，xR.（1）求f(x)的单调区间及极值；（2）求证：当aln2-1且x0时，exx2-2ax+1.解：（1）由f(x)=ex-2x+2a，xR，知f(x)=ex-2，xR.令f(x)=0，得x=ln2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(-，ln2)ln2(ln2，+)f(x)-0+f(x)单调递减2(1-ln2+a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(-，ln2)

11、，单调递增区间是(ln2，+)，f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).（2）设g(x)=ex-x2+2ax-1，xR，于是g(x)=ex-2x+2a，xR.由（1）知当aln2-1时，g(x)最小值为g(ln2)=2(1-ln2+a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增.于是当aln2-1时，对任意x(0，+)，都有g(x)g(0).而g(0)=0，从而对任意x(0，+)，g(x)0.即ex-x2+2ax-10，故exx2-2ax+1.点评：本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证

12、明不等式，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.变式练习：7.对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x+1)f(x)0 ，则必有（ ） A.f(0)+f(-2)2f(-1) D.f(0)+f(-2)2f(-1)8.已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称.（1）求b的值；（2）若函数f(x)无极值，求c的取值范围；（3）若f(x)在x=t处取得极小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域.考点6.定积分的计算与应用例6.(2010山东)由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形的面积为（ ）A. B. C. D.解：由题可知y=x2,y=x3围成的封闭

13、图形的面积为x2-x3)dx=(x3-x4)=-=.故选A.点评：本题考查了定积分的几何意义，利用函数图象给出情境，然后需要转化为定积分的知识.变式练习：9.两条曲线y=与y=x2所围成的封闭图形的面积等于 .考点7.应用导数解决实际问题例7.（2010江苏）将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s=，则s的最小值是 .解：如图，设AD=x(0x1)，则DE=AD=x，所以梯形的周长为x+2(1-x)+1=3-x，又SADE=x2，所以梯形的面积为-x2，所以s=(0x1)，所以s=，令s=0，得x=，或x=3（舍去），当x(0，)时，s0，s单调递增.故当x=时，s取得最小值，最小值为. A D E B C点评：本题主要考查了导数在实际问题中的应用，求解的关键在于根据条件正确地建立目标函数，进而利用导数工具求函数的最值.重点考查了建模能力和运算能力.变式练习：10.华宇中学教学楼的直角走廊示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m. C B 2m P A 2m （1）过点P的一条直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为(0).将线段AB的长度l表示为的函数；（2）一根长度为5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）.变式练习参考答案：