天津《排列》同步教学设计.pdf

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1、打印版 打印版 排 列【教学目的】理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导；能用“树型图”写出一个排列中所有的排列；能用排列数公式计算。【教学重点】排列、排列数的概念。【教学难点】排列数公式的推导 一、问题情景 问题 1从甲、乙、丙 3 名同学中选取 2 名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙 3 名同学中每次选取 2 名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有 6 种不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素。问题 2

2、 从,a b c d这四个字母中，每次取出 3 个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的字母，在 4 个字母中任取 1 个，有 4 种方法；第二步确定中间的字母，从余下的 3 个字母中取，有 3 种方法；第三步确定右边的字母，从余下的 2 个字母中取，有 2 种方法 由分步计数原理共有：432=24 种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法 二、数学构建 1排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。说明：（1）排列的定义包

3、括两个方面：取出元素，按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同 2排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示 注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号mnA只表示排列数，而不表示具体的排列。3排列数公式及其推导：由2nA的意义：假定有排好顺序的 2 个空位，从n个元素12,na aa中任取 2 个元素去填空，一个空位填一个元素，

4、每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数2nA由分步计数原理完成上述填空共有(1)n n种填法，2nA=(1)n n 打印版 打印版 由此，求3nA可以按依次填 3 个空位来考虑，3nA=(1)(2)n nn，求mnA以按依次填m个空位来考虑(1)(2)(1)mnAn nnnm，得排列数公式如下：(1)(2)(1)mnAn nnnm（,m nNmn）说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少 1，最后一个因数是1nm，共有m个因数；（2）全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列。全排列数公式如下

5、：(1)(2)2 1!nnAn nnn（叫做 n 的阶乘）4阶乘的概念：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，这时(1)(2)3 2 1nnAn nn；把正整数 1 到n的连乘积，叫做n的阶乘表示：!n，即nnA!n规定0!1 5排列数的另一个计算公式：(1)(2)(1)mnAn nnnm(1)(2)(1)()3 2 1()(1)3 2 1n nnnmnmnm nm !()!nnm 即 mnA=!()!nnm。三、知识运用 【例1】计算：（1）316A；（2）66A；（3）46A 解：（1）316A 16 15 143360 ；（2）66A 6!720 ；（3）46A6

6、 5 4 3 360。【例 2】（1）若17 16 1554mnA，则n ，m （2）若,nN则(55)(56)(68)(69)nnnn用排列数符号表示为 解：（1）n 17，m 14 （2）若,nN则(55)(56)(68)(69)nnnn 1569 nA【例 3】（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取 2 个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5 人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有 14 队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛 1 次，共进行多少场比赛？解：（1）255 420A；（2）5554 3 2 1120A ；（3）2

7、1414 13182A【例 4】计算：66248108!AAA；11(1)!()!nmmAmn 解：原式8 7 6 5 4 3 2 16 5 4 3 2 18 7 10 9 8 7 =576 5 4 3 2513056(89)623 ；原式(1)!1(1)!()!()!mmmnmn【例 5】解方程：3322126xxxAAA 解：由排列数公式得：3(1)(2)2(1)6(1)x xxxxx x，3x，3(1)(2)2(1)6(1)xxxx，即2317100 xx，打印版 打印版 解得 5x 或23x，3x，且xN，原方程的解为5x 【例 6】解不等式：2996xxAA 解：原不等式即9!9!6

8、(9)!(11)!xx，也就是16(9)!(11)(10)(9)!xxxx，化简得：2211040 xx，解得8x或13x，又29x，且xN，所以，原不等式的解集为2,3,4,5,6,7【例 7】求证：（1）nmn mnnn mAAA；（2）(2)!1 3 5(21)2!nnnn 证明：（1）!()!()!mn mnn mnAAnmnnmnnA，原式成立（2）(2)!2(21)(22)4 3 2 12!2!nnnnnnnn 2(1)2 1(21)(23)3 12!nnnnnnn !1 3(23)(21)!nnnn 1 3 5(21)n 右边 原式成立 说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注

9、意排列数mnA中，,m nN且mn这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；（2）公式(1)(2)(1)mnAn nnnm常用来求值，特别是,m n均为已知时，公式mnA=!()!nnm，常用来证明或化简。【例 8】化简：12312!3!4!nn；1 1!2 2!3 3!n n 。解：原式11111111!2!2!3!3!4!(1)!nn11!n 提示：由1!1!nnnn nn，得!1!n nnn，原式1!1n。说明：111!(1)!nnnn【例 9】（1）有 5 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？（2）有 5 种不同的书，要

10、买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？解：（1）从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学，对应于从 5 个元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：355 4 360A ，所以，共有 60 种不同的送法（2）由于有 5 种不同的书，送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3打印版 打印版 名同学，每人各 1 本书的不同方法种数是：5 5 5125 ，所以，共有 125 种不同的送法 说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从 5 本不同的书中选出 3 本分送给 3 位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2

11、）小题中，给每人的书均可以从 5 种不同的书中任选 1 种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算【例 10】某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂 1 面、2 面或 3 面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：分 3 类：第一类用 1 面旗表示的信号有13A种；第二类用 2 面旗表示的信号有23A种；第三类用 3 面旗表示的信号有33A种，由分类计数原理，所求的信号种数是：12333333 23 2 115AAA ，答：一共可以表示 15 种不同的信号 例 3将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽

12、车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有44A种方法；第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有44A种方法，利用分步计数原理即得分配方案的种数 解：由分步计数原理，分配方案共有4444576NAA（种）答：共有 576 种不同的分配方案【例 11】用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法 1：用分步计数原理：所求的三位数的个数是：12999 9 8648AA 解法 2：符合条件的三位数可以分成

13、三类：每一位数字都不是0 的三位数有39A个，个位数字是 0 的三位数有29A个，十位数字是 0 的三位数有29A个，由分类计数原理，符合条件的三位数的个 数是：322999648AAA 解法 3：从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3个 数字的排列数为310A，其中以 0 为排头的排列数为29A，因此符合条件的三位数的个数是32109648AA-29A 说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法 1，2；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的

14、情况种数如解法 3对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏【例 12】（1）7 位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7 个元素的全排列77A5040（2）7 位同学站成两排（前 3 后 4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：76543217！5040（3）7 位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？打印版 打印版 解：问题可以看作：余下的 6 个元素的全排列66A=720（4）7 位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有22A种；第二步 余下的 5 名同

15、学进行全排列有55A种，所以，共有22A55A=240 种排列方法（5）7 位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法 1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的 5 位同学中选 2 位同学站在排头和排尾有25A种方法；第二步从余下的 5 位同学中选 5 位进行排列（全排列）有55A种方法，所以一共有25A55A2400 种排列方法 解法 2：（排除法）若甲站在排头有66A种方法；若乙站在排尾有66A种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有77A662A55A=2400 种 说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“

16、直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑【例 13】从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：（从特殊位置考虑）1360805919AA；解法二：（从特殊元素考虑）若选：595 A；若不选：69A，则共有56995136080AA种；解法三：（间接法）65109136080AA【例 14】7 位同学站成一排，（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的 5 个元素（同学）一起进行全排列有66A种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列

17、有22A种方法所以这样的排法一共有62621440AA种（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有55A33A720 种（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有25A种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有44A种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A种方法所以这样的排法一共有25A44A22A960 种方法 解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共

18、有 6 个元素，若丙站在排头或排尾有 255A种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566AAA种方法 解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有14A种方法，再将其余的 5 个元素进行全排列共有55A种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有14A55A22A960 种方法（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起 打印版 打印版 解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有 2 个元素，一共

19、有排法种数：342342288A A A（种）说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）【例 15】位同学站成一排，（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）3600226677AAA；解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A种方法，所以一共有36002655AA种方法（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有44A种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A种方法，所以一共有44A35A1440

20、种 说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）【例 16】5 男 5 女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列。解：（1）先将男生排好，有55A种排法；再将 5 名女生插在男生之间的 6 个“空挡”（包括两端）中，有552A种排法。故本题的排法有5555228800NAA（种）；（2）方法 1：10510105530240ANAA；方法 2：设想有 10 个位置，先将男生排在其中的任意 5 个位置上，有510A种排法；余下的 5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法。故本题的结论为510130240NA（种）四、课堂练习（一

21、）1四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有（）A8种 B10 种 C12 种 D16 种 2信号兵用 3 种不同颜色的旗子各一面，每次打出 3 面，最多能打出不同的信号有（）A3 种 B6 种 C1 种 D27 种 3,kN且40,k 则(50)(51)(52)(79)kkkk用排列数符号表示为（）A5079kkA B2979 kA C3079 kA D3050 kA 45 人站成一排照相，甲不站在排头的排法有（）A24 种 B72 种 C96 种 D120 种 5给出下列问题：有 10 个车站，共需要准备多少种车票？有 10 个车站，共有多少中不同的票价？平面内有 10 个点，共可作出多少条不

22、同的有向线段？有 10 个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？从 10 个同学中选出 2 名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？以上问题中，属于排列问题的是 （填写问题的编号）打印版 打印版 6若|,|4xxZx，|,|5yy yZy，则以(,)x y为坐标的点共有 个 7 从参加乒乓球团体比赛的 5 名运动员中选出 3 名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不同的方法？8从 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种植在不同土质的 3 块土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？9计算：（1）325454AA （2）12344444AAAA 10分别写出从,a b c d这

23、 4 个字母里每次取出两个字母的所有排列；11写出从,a b c d e f这六个元素中每次取出 3 个元素且必须含有元素a的所有排列 答案：1.C 2.B 3.C 4.B 5.6.63 7.60 8.24 9.348；64 10.共有2412A 个：ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc 11.共有235360C A 个，具体的排列略（二）1若!3!nx，则x （）()A3nA ()B3nnA ()C3nA ()D33nA 2与37107AA不等的是 （）()A910A ()B8881A ()C9910A ()D1010A 3若532mmAA，则m的值为 （）

24、()A5 ()B3 ()C6 ()D7 4计算：5699610239!AAA ；11(1)!()!nmmAmn 5若11(1)!242mmmA，则m的解集是 6（1）已知101095mA，那么m ；（2）已知9!362880，那么79A=；（3）已知256nA，那么n ；（4）已知2247nnAA，那么n 7一个火车站有 8 股岔道，停放 4 列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放 1 列火车）？8一部纪录影片在 4 个单位轮映，每一单位放映 1 场，有多少种轮映次序？答案：1.B 2.B 3.A 4.1,1 5.2,3,4,5,6 6.(1)6 (2)181440 (3)

25、8 (4)5 7.1680 8.24 （三）1将 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，没格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法（）种.A 6 B 9 C 11 D 23 2有 5 列火车停在某车站并排的五条轨道上，若快车 A 不能停在第三条轨道上，货车 B 不能停在第一条轨道上，则五列火车的停车方法有（）种.A78 B72 C120 D 96 3由 0，3，5，7 这五个数组成无重复数字的三位数，其中是 5 的倍数的共有多少个（）打印版 打印版 A9 B21 C 24 D42 4 从9,5,0,1,2,3,7七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程0a

26、xbyc的系数，则倾斜角为钝角的直线共有（）条.A 14 B30 C 70 D60 5从 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的 3 块土地上进行实验，有 _种不同的种植方法 69 位同学排成三排，每排 3 人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有 种。7（1）由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个无重复数字的正整数？（2）由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个无重复数字，并且比 13000 大的正整数？8学校要安排一场文艺晚会的 11 个节目的出场顺序，除第 1 个节目和最后 1 个节目已确定外，4 个音乐节目要求排在第 2、5、7、10 的位置，3 个舞蹈节

27、目要求排在第 3、6、9 的位置，2 个曲艺节目要求排在第 4、8 的位置，共有多少种不同的排法？9某产品的加工需要经过 5 道工序，（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少种排列加工顺序的方法？（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？10一天的课表有 6 节课，其中上午 4 节，下午 2 节，要排语文、数学、外语、微机、体育、地理六节课，要求上午不排体育，数学必须排在上午，微机必须排在下午，共有多少种不同的排法？11.由数字 0，1，2，3，4，（1）可组成多少个没有重复数字且比 20000 大的自然数？（2）2 不在千位，且 4 不在十位的五位

28、数有多少个？答案：1.B 2.A 3.B 4.C 5.24 6.166320 7.325；114 8.288 9.96；36 10.48 11.（1）143472A A,（2）（141312443322264A AA AA A）（四）1停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放方法数为（）A47A B37A C55A D5353AA 2五种不同商品在货架上排成一排，其中,A B两种必须连排，而,C D两种不能连排，则不同的排法共有（）A12 种 B20 种 C24 种 D48 种 36 张同排连号的电影票，分给 3 名教师与 3 名学生，若要求师生相间而坐，

29、则不同的分法有（）A3334AA B3333AA C3344AA D33332AA 4某人射出 8 发子弹，命中 4 发，若命中的 4 发中仅有 3 发是连在一起的，那么该人射出的 8 发，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有（）A720 种 B480 种 C24 种 D20 种 5设*,x yN且4xy，则在直角坐标系中满足条件的点(,)M x y共有 个 67 人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有 种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有 种 7一部电影在相邻 5 个城市轮流放映，每个城市都有 3 个放映点，如果规定必须在一个城市的各个放映点放映完以后才能转入另一个

30、城市，则不同的轮映次序有 种（只列式，不计算）打印版 打印版 8一天课表中，6 节课要安排 3 门理科，3 门文科，要使文、理科间排，不同的排课方法有 种；要使 3 门理科的数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同的排课方法有 种 9某商场中有 10 个展架排成一排，展示 10 台不同的电视机，其中甲厂 5 台，乙厂 3 台，丙厂 2 台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？10用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数，其中（1）三个偶数字连在一起的四位数有多少个？（2）十位数字比个位数字大的有多少个？11在上题中，含有 2 和 3 并

31、且 2 和 3 不相邻的四位数有多少个？答案：1.C 2.C 3.D 4.D 5.6 6.3600,3720 7.55353AA 8.72,144 9.53253222880A A A 10.30；15011.66 种 四、课堂小结 1对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：某些元素不能在或必须排列在某一位置；某些元素要求连排（即必须相邻）；某些元素要求分离（即不能相邻）2基本的解题方法：有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）；某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基。