福建省2022届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列三(三角函数存在问题及应对策略).pdf

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1、福建省 2022 届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列三 三角函数存在问题及应对策略 三角函数内容是高中数学中的基础内容、也是重要内容之一，历年来在数学科高考中都占有重要地位是高考考查数学思想方法和能力、考查核心素养的主要载体对三角函数考查，主要考查的核心知识为：三角函数的定义及公式的变用、三角图象的变化、解三角形的综合等三角函数部分在全国卷高考试题中呈现以下三个特点：一是考点的覆盖面广：考查的公式多：诱导公式、同角三角函数公式、二倍角公式、和差角公式、三角函数的周期公式、正、余弦定理等；三角函数图象、关系、恒等变换、正余弦定理解三角形，三角应用题；二是紧扣素养立意，考查能力。以基础题

2、，中档题为主，有一定的综合性；三是适当创新：添加特殊三角形，以图形直观、挖掘图形信息结合所学的三角函数图象性质解决问题，这是数学学科内部的重组创新解决数学问题 在文理不分科的全国卷的新高考试题中，三角函数部分是六大解答题之一，一般是一大两小，难度控制中等对三角函数的考查突出基础，体现综合，对恒等变形的要求和过去比有所下降，更多强调对公式的灵活运用，以三角函数作为背景的函数性质应用考查经常出现随着新课标的实施和高中课程与高考的综合改革，2020 年高考三角函数文科考了一道选择题和一道解答题，理科则考查了两道选择题和一道填空题，理填空题的压轴题是三角函数知识的综合应用主要考查推理论证能力，抽象概括

3、能力，运算求解能力；考查特殊与一般思想，函数与方程思想，化归与转化思想；考查数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养。下面对三角函数专题学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策 一、存在的问题及归因分析（一）概念理解不透彻 本专题中，概念理解不透彻主要表现在三角函数的定义、诱导公式；三角函数的复合变换和三角函数的性质（周期性、单调性、对称性）等【例 1】（2020 年全北京卷 10）2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（Day）历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数 n充分大时，计算单位圆的内接正 6n 边形的周长

4、和外切正 6n 边形（各边均与圆相切的正 6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 2的近似值按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是 A30303sintannnn B30306sintannnn C60603sintannnn D60606sintannnn【解析】内接正 6n 边形的边长为302sinan,外切正 6n 边形的边长为302tanbn,则66303026(sintan)2nanbnnn,即30303(sintan)nnn,故选 A【评析】本题解题关键在于从圆的内接正多边形和外切正多边形边长求法入手，运用圆的性质，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，可求得的近似值表达式，考察

5、数学中的文化.本题易错的主要原因：其一，对圆的内接正多边形和外切正多边形概念不清，从而无法解决问题；本题的另一个易错点是学生未能正确运算边长，导致错误.（二）整体意识较薄弱 在三角函数专题中，常常出现三角求值问题在求值过程中，整体意识薄弱，不能合理运用有关公式进行恒等变形，是导致失分的主要原因，主要包括：找不准已知式与待求式之间的差别与联系，无法将角进行合理的拆分；对角的结构特征分析不透，不能从整体的意识上去分析和思考问题等【例 2】（2020 年全国卷文 5）已知sinsin(+)13,则sin(+)6 A12 B33 C23 D22 【解析】sinsin(+)13,13sinsin+cos

6、122，3sin+16,3sin+63,故选 B.【评析】本题解题关键在于利用两角和差公式，将sin(+)3展开后，再用辅助角公式将函数化为sin()yAx的形式，“从角的关系出发分析问题”与“从（同角）三角函数值的代数运算关系出发分析问题”，是我们在解决同类问题时最常用的两种途径.本题易错的主要原因：面对这样的给值求值问题，学生整体的意识不强，没有发现角与角3及角6之间的联系，将已知条件复杂化，从而无法解决问题.（三）恒等变形欠灵活 化归与转化思想是三角恒等变形的主导思想在三角恒等变形中，学生存在的主要问题是对已知式中角的差异、函数名称的差异、式子结构的差异等分析不到位，识别、选择、应用三角

7、公式解决问题的能力不强，致使三角恒等变形转化不准确，造成后续求解繁琐或错误【例 3】（2020 年全国卷理 9）已知0,，且3cos 28cos5,则sin A53 B23 C13 D59 【解析】因为3cos 28cos5,得23(2cos1)8cos50,即23cos4cos40,解得cos2（舍去），或2cos3.因为0,又22sincos1，24cos9,又sin0，所以225sin133,故选 A【评析】与高中其他内容相比，三角函数知识的最大特点是公式多通过对公式的应用，重点考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力学生在学习的过程中，要重视对公式的灵活运用，抓住公式之间存在的联系同时，要

8、特别注意理解公式之间的相互转化和相互推导例如，诱导公式中角的周期性变化、正负取值，两角和与差公式中角的组合变化等 本题解题关键从二倍角公式入手，构造关于cos的二次方程，解出cos的值，再利用同角三角函数基本关系及的范围，求出sin.本题易错的主要原因：其一，学生对化归意识不强，不能将含有2的三角关系式转化为含有的三角关系式，从而无法解决问题；本题的另一个易错点是对三角恒等变形转化不准确，不能快速地识别、选择、应用三角公式22sin+cos1 灵活求得sin的值，导致错误.三角恒等变形的实质是消除两个式子的差异，认真观察、比较已知条件与待求式子之间的联系，选择适当途径，将已知式与待求式化异为同

9、，从而达到解题的目的（四）数形结合不灵巧 在本专题中，形数结合不灵巧主要表现在：对三角函数的图象与性质（周期性、单调性与对称性）的掌握情况不理想；对三角概念及三角函数三种表征的理解与变换不透彻；对三角函数的数形结合思想的运用以及基于三角函数的逻辑推理能力不强，尤其是识图、用图能力及利用三角公式进行三角恒变形的能力不强 【例 4】（2021 年武汉三调 8）设函数 2sin10f xx,若对于任意实数，f x在区间344，上至少有 2 个零点，至多有 3 个零点，则的取值范围是（）A8 163 3，B1643，C2043，D8 2033，【解析】令函数 0f x 得1sin=2x，根据正弦函数s

10、inyx的图象与性质，得出函数sinyx相邻 4 个零点满足的条件，求出相邻两零点的最大距离和相邻四个零点占区间长度的最小值，由此求得的取值范围 函数sinyx相邻 4 个零点1234,x x x x满足：214352663xxxx,31422xxxx,32312124233xxxxxx,41433128+233xxxxxx,所以相邻两零点最大距离12d,相邻四个零点占区间长度最短为283d,sin()yx是由sinyx图象变换得到的，当3,44x时，3,44x，区间长度为3442,122dd,即8223,解得1643,故选 B【评析】本题主要考查正弦三角函数图象与性质得应用问题，考察了数形结

11、合解题思想，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养画出函数图象，即可得出零点区间长度三角函数是一种比较特殊的函数，侧重奇偶性、单调性、最值、含绝对值图象变换等，同时又体现了三角的特殊性，如周期性三角函数的图象和性质几乎是每年高考必考的内容，此考点多结合三角公式设置综合问题，能够很好地体现数形结合的思想，考查学生的观察、分析和动手能力此考点题目多为中档难度试题在这部分内容的学习中要多利用图形解释、理解知识，这样能更好地理解比较抽象的概念，形成直观印象在教学与学习中，应该视为函数体系中的一部分因此，在三角函数的教学过程中，教师应该引导学生根据一般的函数研究思路对三角函数进行探究，即给出定义一画出图象研究

12、性质进行应用这样的研究思路可以使学生对三角函数有一个系统的认识，有利于深化学生对三角函数的理解 本题解题关键在于从相邻两零点的最大距离和相邻四个零点占区间长度最小值入手，从而求得的取值范围 本题易错的主要原因：其一，面对零点区间长度问题，学生有畏惧心态无从下手,从而无法解决问题；本题的另一个易错点是不能利用函数的性质进行应用，对函数的图象的变换的本质理解不够到位，不会正确作出用函数图象加以分析，导致错误.（五）定理应用欠思考 本专题的显著特点就是公式多、定理多学生对相关的概念、公式理解掌握不到位，导致解决相应的问题时，思维不顺畅，定理应用欠思考，如在应用诱导公式解三角函数问题时，常出现公式记忆

13、不准确，不注意角的范围和象限等；在解决有关sin()yAx的问题时，不能准确应用有关的三角函数性质，不注意所给的角或者参数的范围；在三角恒等变形中，选用公式不合理或转化不准确，造成后续求解繁琐或错误；在解决三角形问题时，忘记或不会应用三角形中的隐含条件，求边、角时忽略其范围，不能熟练掌握正、余定理的几种常见变形等，这些都是造成失分的主要原因【例 5】（2020 年山东 17）在3ac,sin3cA,3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且sin A

14、3sin B,6C,_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解析】解：3ac ABC 中，sin A3sin B,即33ba,3ac,所以3ca,2222222333cos222 33aaabcaCaba,所以3,1,1abc.sin3cA ABC 中，sinsinsin36cAaCa,所以6a.因为sin A3sin B,即3ab，所以2 3b.222236+123cos222 6 2 3abccCab,所以2 3c.3cb 因为sin A3sin B,即3ab，又因为3cb,所以2223coscos266abcCab,与已知条件6C相矛盾，所以问题中的三角形不存在【评析】本题以

15、结构不良试题形式考察解三角形，从命题思路上看，重点对正弦定理和余弦定理的识记和简单应用，考查学生分析问题和解决问题的能力这类求解题目中往往还综合了三角恒等变换、边角互化和代换消元等化归与转化思想和函数思想，综合性强、命题设置新颖灵活 本题解题关键在于从sin3sinAB入手，利用正弦定理化角为边，结合选择的条件，用余弦定理解出三角形.本题易错的主要原因：其一，ABC中，对边角互换关系不清楚，从而无法解决问题；本题的另一个易错点是选择条件的学生，解出3cos6C，但不会找矛盾，导致解题不完整.（六）知识交汇不顺畅 本专题的知识内容较多，高考对本专题的考查常常将众多知识进行交汇如在诱导公式和同角三

16、角函数关系的考查中，常与三角函数式求值、化简，和差公式及倍角公式等综合进行，容易产生错误；在研究函数sin()yAx问题时，不仅关注解析式及其图象，还关注周期性、对称性、单调性及最值等，综合度较大，要求较高，学生常因考虑不周而失分不仅如此，高考对本专题的考查，还常将三角函数与指数函数、对数函数、幂函数等进行交汇，考查函数的相关问题，综合性强，学生不容易得分 【例 6】（2021 年“八省联考”22）已知函数 esincos,esincosxxf xxx g xxx.（1）证明：当54x 时，0f x；（2）若 2g xax,求a.【解析】证明：（1）ecossinxfxxx,（）当5,42x

17、时，sincos0 xx，故 0f x；（）当,02x 时，cossin1xx，0fx，f x单调递减，而 0=0f，故 0f x；（）当0 x 时，0f x；（）当0,x时，1cossinxxx.设 e1xh xx,则当0,x，e10 xh x,故 h x单调递增，00h,所以 0f xh x.（2）设 2ecossinxk xg xaxgxaxxa，则 kxf x,由（1）知，当5,4x 时，0kx,k x在5,4单调递增,02ka.（）若2a,00k,ln10ka,故存在唯一00,ln1xa,使得 00k x.当00,xx时，0k x,2g xax 单调递减，而 0200ga ,故 00

18、20g xax；（）若02a,0k x,0k,故存在唯一1,0 x，使得 10k x,当1,0 xx时，0k x,2g xax 单调递增，而,0200ga ,故 1120g xax；（）若0a,2022ga;（）若2a,k x单调递增，00k.当5,04x 时,0k x,220g xx;当,2x 时,0k x,220g xx;当0,x时,0k x,022 00g ,故 220g xx.综上,=2a.【评析】本题的两问难度较大，考察三角函数的导数、证明不等式恒成立问题，构造函数、分类讨论单调区间、极值点和零点的概念，充分体现了在知识交汇处命题的意图同时，对知识的考查注重理解和应用，体现了新课程理

19、念，也重点考查了学生的学科素养 本题解题关键在于求出导函数 ecossinxfxxx，从讨论x的区间入手，判断 fx的符号，结合三角函数的有界性和不等式放缩求出 f x的范围，进而分类讨论参数a，求出a的值.本题易错的主要原因：其一，运算不过关具体表现在导数公式记忆出错、求导法则应用出错等，导致后面求解出现错误，从而无法解决问题；本题的另一个易错点是解题严谨性欠缺,对函数单调性的分类讨论不全面，从导函数的符号到函数的增减性分析不完整；数学思想方法掌握不到位在第（2）问中，无法找到对参数讨论的分界点、不会对参数进行讨论，导致错误.二、解决问题的思考与对策（一）重温概念的来龙去脉，理清知识网络，切

20、实掌握三角函数的概念与性质 高考对三角函数的考查，尤其是选择题、填空题对三角函数的考查，往往以三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系式、和差倍角公式等作为出发点，考查三角函数的求值问题；以三角函数的图象与性质为载体，考查三角函数的解析式、周期性、单调性、对称性、最值等复习过程中，要关注三角函数的定义，以此为基础掌握同角公式、诱导公式、和差倍角公式；要关注正弦函数、余弦函数和正切函数的图象的重要性，它们都是重要的解题辅助工具；要关注思想方法的渗透，特别是化归与转化思想，它是三角恒等变形的主导思想【例 7】（2020 年北京卷 14）若函数 sincosf xxx的最大值为 2，则常数的一个取

21、值为 【解析】解法 1：sincoscos sincossincoscossin1f xxxxxx 22cossin1sin x,其中,sin1tancos.由已知 f x的最大值为 2,所以 22cossin1=2,即sin=1,解得=+2,2kkZ.解法 2：因为sin1x,cos1x,当且仅当11=+2,2xkkZ,且22=2,xkkZ时，函数 f x的最大值为 2,故12=+22kk,即可取=+2,2kkZ.【评析】本题是开放性问题，主要考察两角和的正弦公式，辅助角公式的应用以及平方关系的应用，考察考生的数学运算能力。本题的解题关键在于从三角函数辅助角公式入手来求解，或者从三角函数的有

22、界性来求解.答案不唯一，符合2,2kkZ形式都正确.本题易错的主要原因：其一，学生忽略了是常数这个条件，从而没有应用辅助角公式解决问题；本题的另一个易错点对振幅理解不到位，导致无法解出.（二）强化学生三角函数公式的记忆，关注公式的正用、逆用与公式的变形，提高学生三角函数求值和三角恒等变换问题的解题能力 理清三角函数求值的常见类型，特别是给角求值、给值求值问题 给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相消，从而化为特殊角的三角函数；给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求

23、得的函数值代入，从而达到解题的目的【例 8】（2020 年课标文 13）若2sin3x ，则cos2x 【解析】由2sin3x ，又由22sincos1，所以25cos9，所以21cos22cos19 【评析】.三角恒等变换是高考对三角函数考查的重点内容在三角恒等变换中，一要熟悉公式正用、逆用，也要注意公式的变形，如21cos22cos，21cos22sin，1tantan()1tan4，tantantan()1tan等；二要注意拆角、拼角的方法和技巧，如()，2()()，2()()等；三要关注常用的解题思路，如“1”的代换、“正切为弦”、“化异为同”等 本题解题关键在于应用同角三角函数基本关

24、系，解出25cos9，由此可选择余弦函数二倍角公式的任一种形式解决问题.本题易错的主要原因：对二倍角公式在三角函数化简求值的应用不熟练，从而无法解决问题.【例 9】（2016 全国卷文 14）已知是第四象限角，且3sin()45，则tan()4 【解析】思路 1：考虑到()()442，令,=44，则2，因为是第四象限角，所以cos0，故4cos5，所以cos4tantan()2sin3 思路 2：考虑()44，运用两角和的正切公式令4，则4，因为是第四象限角，所以cos0，故4cos5，从而sin3tancos4，所以tantan()4tan1tan1 17，故tan14tan()41tan3

25、 思路 3：cos()tan1cossin44tan()41tansincos3sin()4 思路 4：展开3sin()45求出sin，运用两角和的正切公式因为3sin()45，所以3 2sincos5，7sincos50，因为是第四象限角，所以sin0，cos0，解得2sin10，7 2cos10，所以1tan7，故tan14tan()41tan3 思路 5：运用两角和的正弦公式求出sin，再运用两角和的正切公式因为3sin()45，是第四象限角，所以4cos()45，从而sinsin()44 22sin()cos()2424 2342()25510，7 2cos10，所以1tan7，故ta

26、n14tan()41tan3 【评析】本题解题关键在于从观察角4和4关系入手，进而运用两角和差的正弦、余弦或正切公式都可以解题.本题易错的主要原因：其一，没找出两角关系特点从而无法解决问题；本题的另一个易错点是两角和差公式计算错误.（三）重视函数三种表征的理解和应用，加强函数()sin()f xAxb图象与性质的研究 突破三角函数图象与性质问题的关键是识图、用图能力的形成以及利用三角公式进行三角恒等变换能力的培养高考复习中，要重视对正弦型三角函数概念及正弦型三角函数三种表征的理解与转换；重视对三角函数的数形结合思想的应用；重视基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力的培养【例 10】多选题（2

27、021 年“八省联考”12）函数cos2()2sin cosxf xxx，则 A f xf x B f x的最大值为12 C f x在,04 单调递增 D f x在0,4 单调递增【解析】思路1：A选项考察周期性.由cos2cos2cos20()2=22sincossin 2+4sin 24xxxf xxxxx，得()f x的几何意义为单位圆上动点sin 2,cos2xx与点4,0连线斜率的2倍来判断BCD选项,其中,B选项也可用辅助角公式：151115cos2sin 22,2sin 2cos22222xxxx,解得cos2()1sin 2+22xf xx的最大值故选AD.思路 2：由24 1

28、4sin 2()4sin 2xfxx，结合三角函数的零点、单调性、区间上的值域求解【评析】该题作为多项选择题的压轴题，需要学生能够梳理好解决问题的切入点，从选项中找到突破口题目中考查的知识点较为综合，难度较大，需要学生在复习备考中紧抓基础知识和基本技能，注重常规、常法，重在落实好数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养，不仅要学到知识更要形成适应社会发展的必备品格和关键能力，最终学会用数学的眼光观察世界 该题考察的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的性质，关系式和斜率的转换，主要考察学生的运算能力、转换能力及思维能力。从三角函数多个问题出发，以多项选择形式考查学生的基础知识和基本技能

29、 本题解题关键在于转换思想，()f x的几何意义为单位圆上动点sin 2,cos2xx与点4,0连线斜率的 2 倍入手来判断()f x的最大值及在区间,04上的单调性，从立意角度来看，多种途径均可解决问题，体现了对学生的人文关怀 本题易错的主要原因：其一，恒等变形是考生的易错点；本题的另一个易错点是学生的转换能力及对三角函数性质掌握不到位，导致漏选错误（四）强化正、余弦定理的合理应用，理清量与量之间的关系 在解决三角形问题时，要高度关注：充分挖掘三角形中的隐含条件；熟练掌握正、余定理及几种变形，合理选用公式；利用正、余弦定理求边角时，尤其要关注其范围的确定【例 11】（2020 年全国卷理 1

30、8）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 B150（1）若3ac,2 7b,求ABC 的面积；（2）若2sinA+3sinC2,求 C【解析】（1）思路 1：由余弦定理得2222cosbacacB，所以2223(3)+232 72ccc c ，即24c 解得2,2cc（舍去）所以2 3a，111sin2 323222ABCSacB 思路 2：利用正弦定理，得=4 7sinsinsinacbACB 因为3ac，所以sin3sin3sin()3sin()6ACABA，解得3tan5A，即3sin2 7A，2 3a,2c,所以1sin A32ABCSbc（2）2sin3sin2A

31、C,即2sin 1801503sin2CC,化简得132cossin222CC,得2sin302C,030,303060CC,30=45,15CC.【评析】解三角形的考查往往以三角形的面积问题、周长问题、外接圆半径问题等为载体，本题解题关键在于从正弦定理或余弦定理入手，计算求解三角形的边角关系，解出边长,a c,算出面积，根据三角形内角和180，得出角A与角C关系，利用辅助角公式算出C的度数，意在考查数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养 本题易错的主要原因是学生通常因为不具有较强的运算求解能力和逻辑推理能力而导致错误（五）重视知识的交融交汇，切实提高综合运用三角知识解决问题的能力 从高考对三

32、角函数考查的试题来看，每一个试题都考查多个的知识点，如以三角求值为载体，综合考查三角函数的定义、同角三角函数关系、诱导公式、三角恒等变换等基础知识和基本方法；以函数sin()yAx为依托，考查三角函数的三种表征，考查三角函数的周期性、单调性、对称性、最值等基础知识和基本方法内容高考复习中，要关注三角函数知识脉络，重视知识的交融交汇，既要重视三角函数间的知识交汇，也要重视三角函数与其他知识领域的交汇，如三角函数与平面向量、三角函数与平面几何、三角函数与指对数函数等知识的交融交汇等，让学生在原有的基础上有新的收获【例 12】（2021 年“八省联考”18）在四边形ABCD中，/AB CD，1ADC

33、DBD（1）若32AB，求BC；（2）若2ABBC，求cosBDC【解析】（1）思路 1：利用余弦定理计算得出cosABD,进而可得出cosBDC,在BCD中，利用余弦定理可计算出BC.思路 2：利用平几知识，分别过点D和B作AB和和CD边上的高，构造直角三角形，根据勾股定理列方程求BC.思路 3：先由平几知识作AB边上的高求cosABD，过D作BC边上的高，由二倍角公式和平方关系列方程求BC.思路 4：建立平面直角坐标系，用坐标法求BC.解法 1：在ABD中，由余弦定理可得2223cos24ABBDADABDAB BD，/CD AB，BDCABD，在BCD中，由余弦定理可得22212cos2

34、BCBDCDBD CDBDC,22BC.解法 2：分别过点D和B作ABDE，DCBF，垂足分别为E和F，依题意得，4321ABBE，又,DEBF BEDF，所以四边形DEBF是平行四边形，故34DFBE，222237144DEBDBEBF,114CFDF,222217244BCCFBF.解法 3：过点D分别作ABDE，BCDF，垂足分别为E和F，设BDC，依题意得，ABD，4321ABBE，则43cosBDBE,故43cos2sin212，解得422sin（负值舍去）,所以222sin2BC.（2）思路 1：设BCx，利用余弦定理结合BDCABD 可得出关于x的方程，解得x的值，即可求得cos

35、BDC.思路 2：利用平几知识，分别过点D和B作AB和和CD边上的高，作高后构造直角三角形，根据勾股定理列方程，求cosBDC；思路 3：先由平几知识过点D作AB边上的高，再过D作BC边上的高，再由二倍角公式和平方关系列方程求BC，即可求得cosBDC；思路 4：建立平面直角坐标系，用坐标法，结合向量的夹角公式求cosBDC。解法 1：设BCx，则2ABx，在ABD中，22224cos24ABBDADxABDxAB BDx，在BCD中，22222cos22BDCDBCxBDCBD CD，由（1）可知，BDCABD，所以，coscosBDCABD，即222xx,整理可得2220 xx，因为0 x

36、，解得31x，所以coscos3 1BDCABDx 解法 2：分别过点D和B作ABDE,DCBF,垂足分别为E和F,设BCx,则2ABx,因为,DEBF BEDF，所以四边形DEBF是平行四边形，故BEBFx，11CFDFx ，21BFx 由222BCCFBF得22211xxx，即2220 xx,因为0 x，解得31x,所以cos31BDCx 解法 3：过点D分别作ABDE，BCDF，垂足分别为E和F，设BDC，则ABDBDC,BCAB 21cos,22sinBC，2sin22sin21cos2，解得2132sin,从而cos31.【评析】本题解题关键在于利用余弦定理解三角形或从平几知识，构造

37、直角三角形，根据勾股定理列方程求BC，也可以建立平面直角坐标系，用坐标法，结合向量的夹角公式求解.本题考察三角函数关系式的变换,余弦定理的应用.本题易错的主要原因：在第（1）小题解答中，考生因作图出错，把四边形ABCD画成ABDC造成失分，计算仍是考生失分的主要原因;在第（2）小题解答中，考生因把BC和AB的关系弄混了，设ABx得出2BCx造成错误，部分考生解关于BC的方程时出错，或因没有作图，思路混乱，角弄错导致错误.公式教学中注重公式的推导和证明，弄清来龙去脉，强调条件和特例，提高学生应用公式的能力，对结构极为类似的公式要注意比较和鉴别.在解三角形的问题中，经常涉及平面几何的知识，引导学生

38、学会正确地作图，然后选择合适的三角形利用正弦或者余弦定理来求解三角形；若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，掌握变换原则.【例 13】（2020 年全国卷理 17）ABC中，222sinsinsinsinsinABCBC（1）求A；（2）若3BC，求ABC周长的最大值【解析】（1）设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知222sinsinsinsinsinABCBC，由正弦定理得：222abcbc，即2221cos22bcaAbc，因为0,A，所以23A.（2）思路 1：由正弦定理及（1）得2 3sinsinsinbcaBCA,2

39、 3sinbB,2 3sin2 3sin3cos3sincCABBB，所以33sin3cos32 3sin3abcBBB,又03B，所以当=6B时，ABC周长取得最大值 32 3.思路 2：由正弦定理得：229bcbc，229bcbc，所以22992bcbcbc，2394bc，所以2 3bc，当且仅当3bc时取等号，所以ABC周长取得最大值 32 3.【评析】本题考察三角形的正弦定理和余弦定理得运用及三角函数的恒等变换和图象与性质，给学生提供多种解决问题的路径，殊途同归，满足不同层次学生的需求 本题解题关键在于关注的是已知角和未知角之间的相互转化，运用正弦定理和三角函数的和差公式，结合正弦函数的图象和性质，可求得周长最大值，也可以运用余弦定理和基本不等式求解.正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的重要工具，两者并不矛盾，通常在同一道题中都可以解决问题 本题易错的主要因：其一，对齐二次式子222sinsinsinsinsinABCBC，没有转化成边的关系，从而无法解决问题；本题的另一个易错点是对基本不等式的变形运用求和或积的最值不明确，导致错误.