数学与软件科学学院.ppt

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1、数学简史主讲人：宁锐第第8章章微积分的发展微积分的发展主题主题：18世纪数学的发展世纪数学的发展1数学与软件科学学院数学与软件科学学院 数学简史数学简史分析时代分析时代问题导读问题导读？1.无限小算法推广的两条路线及其成果，两条路线的无限小算法推广的两条路线及其成果，两条路线的特点是什么？特点是什么？2.欧拉的主要数学贡献及其意义是什么？欧拉的主要数学贡献及其意义是什么？3.微积分深入发展的方向：积分技术与椭圆积分、微微积分深入发展的方向：积分技术与椭圆积分、微积分向多元函数的推广、无穷级数理论、函数概念积分向多元函数的推广、无穷级数理论、函数概念的深化、微积分的严格化的含义是什么？的深化、微

2、积分的严格化的含义是什么？4.18世纪微积分应用的发展特点，新分支形成过程及世纪微积分应用的发展特点，新分支形成过程及基本思想，比如常微分方程、偏微分方程、变分法基本思想，比如常微分方程、偏微分方程、变分法等是什么？等是什么？5.概述微分几何的发展、代数的发展、数论的发展。概述微分几何的发展、代数的发展、数论的发展。2数学与软件科学学院数学与软件科学学院 数学简史数学简史分析时代分析时代概述概述？本章重点介绍了微积分深入发展的方向，及本章重点介绍了微积分深入发展的方向，及在微积分的影响下的一些重要数学分的发展。在微积分的影响下的一些重要数学分的发展。主要内容主要内容？恩格斯说：恩格斯说：“人类

3、精神的最高胜利人类精神的最高胜利”。微积。微积分的产生推动了许多新的数学分支产生，形成了分的产生推动了许多新的数学分支产生，形成了“分析分析”这样一个在观念和方法具有鲜明特点的这样一个在观念和方法具有鲜明特点的数学领域。数学领域。1818世纪是分析的时代，也是向现代数世纪是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。学过渡的重要时期。3数学与软件科学学院数学与软件科学学院 数学简史数学简史一、无穷小算法发展的两条路线一、无穷小算法发展的两条路线无穷小算法发展的两条路线无穷小算法发展的两条路线一是英国一批数学家以牛顿的流数术为出发一是英国一批数学家以牛顿的流数术为出发点的微积分应用方向。二是欧洲大

4、陆一批数学点的微积分应用方向。二是欧洲大陆一批数学家沿着莱布尼茨路线的分析方向。家沿着莱布尼茨路线的分析方向。英国的优秀代表有：英国的优秀代表有：泰勒（泰勒公式，是微积分进一步发展的有泰勒（泰勒公式，是微积分进一步发展的有力工具）、麦克劳林（微积分的形式化努力，力工具）、麦克劳林（微积分的形式化努力，由于其几何传统没有成功，旋转椭球体的引力由于其几何传统没有成功，旋转椭球体的引力定理）、棣莫弗、斯特林等。他们获得了许多定理）、棣莫弗、斯特林等。他们获得了许多微积分算法的成果，并且也向微积分形式化方微积分算法的成果，并且也向微积分形式化方向但由于几何传统而不成功。向但由于几何传统而不成功。4数学

5、与软件科学学院数学与软件科学学院 数学简史数学简史一、无穷小算法发展的两条路线一、无穷小算法发展的两条路线欧洲大陆：欧洲大陆：新分析方向是在莱布尼茨的后继者推动下发新分析方向是在莱布尼茨的后继者推动下发展。雅各布展。雅各布.伯努利和约翰伯努利和约翰.伯努利，他们的工作伯努利，他们的工作构成了现在初等微积分的主要内容。构成了现在初等微积分的主要内容。18世纪微机世纪微机分最重要的贡献是欧拉作出的。欧拉（分最重要的贡献是欧拉作出的。欧拉（17071783），），无限小分析引论无限小分析引论、微分学微分学、积分学积分学是微积分学史里程碑式的工作，欧拉是微积分学史里程碑式的工作，欧拉引进了一批标准的符

6、号，对分析表述的规范化起引进了一批标准的符号，对分析表述的规范化起了很重要的作用。除此之外，了很重要的作用。除此之外，18世纪推进微积分世纪推进微积分的还有法国学派，代表人物又克莱洛、达朗贝尔、的还有法国学派，代表人物又克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯和勒让德等。拉格朗日、蒙日、拉普拉斯和勒让德等。5数学与软件科学学院数学与软件科学学院 数学简史数学简史二、微积分发展的几个方面：二、微积分发展的几个方面：（1）积分技术与椭圆积分：变量代换和部分分）积分技术与椭圆积分：变量代换和部分分式等方法；椭圆积分，它们不能用已知初等函式等方法；椭圆积分，它们不能用已知初等函数来表示，一般的形式为

7、：数来表示，一般的形式为：后来对椭圆函数的一般研究在后来对椭圆函数的一般研究在19世纪被阿贝世纪被阿贝尔和雅可比独立地发展成深刻的椭圆函数理论。尔和雅可比独立地发展成深刻的椭圆函数理论。6数学与软件科学学院数学与软件科学学院 数学简史数学简史二、微积分发展的几个方面：二、微积分发展的几个方面：（2）微积分向多元函数的推广：）微积分向多元函数的推广：（3）无穷级数理论：调和级数，欧拉常数，悖论，）无穷级数理论：调和级数，欧拉常数，悖论，级数收敛判别法则级数收敛判别法则（4）函数概念深化：函数在）函数概念深化：函数在17世纪引入，牛顿世纪引入，牛顿“生生成量成量”，莱布尼茨首先使用，莱布尼茨首先使

8、用“函数函数”（function），），这时函数堪称这时函数堪称“像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的量长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的量”，约，约翰翰.伯努利，函数概念公式化，欧拉将伯努利将函数解伯努利，函数概念公式化，欧拉将伯努利将函数解析化，他将函数定义为：变量的函数是一个由该变量析化，他将函数定义为：变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式。函数概念与一些常数以任何方式组成的解析表达式。函数概念大大丰富了，发现了一系列的超越函数，比如大大丰富了，发现了一系列的超越函数，比如 函数和函数和 函数。

9、函数。7数学与软件科学学院数学与软件科学学院 数学简史数学简史二、微积分发展的几个方面：二、微积分发展的几个方面：（5）微积分的严格化尝试：）微积分的严格化尝试：代表人物是：达朗贝尔、欧拉、拉格朗日。代表人物是：达朗贝尔、欧拉、拉格朗日。在严格化过程中，英国牛顿的后继者由于坚持几何在严格化过程中，英国牛顿的后继者由于坚持几何论证而显得软弱无力，而欧洲大陆数学家则力图以代数论证而显得软弱无力，而欧洲大陆数学家则力图以代数化来克服微积分基础的困难。欧拉和拉格朗日在分析中化来克服微积分基础的困难。欧拉和拉格朗日在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限

10、观点则为微积分的严格表述提供了合理内核。的严格表述提供了合理内核。（6）微积分的应用与新分支）微积分的应用与新分支微积分在物理上特别是力学上的应用是微积分在物理上特别是力学上的应用是18世纪数学世纪数学的主要特征之一，从而一系列的新分支发展起来。的主要特征之一，从而一系列的新分支发展起来。这些分支有如下：常微分方程，偏微分方程，变分这些分支有如下：常微分方程，偏微分方程，变分法。法。8数学与软件科学学院数学与软件科学学院 数学简史数学简史三、三、18世纪的几何与代数世纪的几何与代数18世世纪纪的的几几何何与与代代数数是是伴伴随随分分析析而而发发展展的的，可可以以说说18世世纪纪是是分分析析的的世世纪纪。微微分分几几何何的的形形成成，代代数数的的主主题题是是代代数数方方程程，当当然然分分析析的的深深化化也也是是在在代数方法下发展的。其方向表现在这几个方面：代数方法下发展的。其方向表现在这几个方面：（1）代数基本定理）代数基本定理（2）高次方程根式解）高次方程根式解（3）方程组理论）方程组理论（4）数的认识）数的认识1 微分几何微分几何2 代数代数3 数论数论9