线性代数第四章答案说课材料.pdf

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1、线性代数第四章答案证明 B 组能由 A 组线性表示 但 A 组不能由 B 组线性表示 4 4 7 9 2 0 5 7.12 11 3 2 6 8 0 312 1 o o O r 4 4 13 0 2 11 B)第四章向量组的线性相关性 1 设 V1(1 1 0)T V2(0 1 1)T V3(3 4 0)T 求 V1 V2 及 3vi 2v2 V3 解 V1 V2(1 1 0)T(0 1 1)T(1 0 1 1 0 1)T(1 0 1)T 3V1 2V2 V3 3(1 1 0)T 2(0 1 1)T(3 4 0)T(3 1 2 0 3 3 1 2 1 4 3 0 2 1 0)T(0 1 2)T

2、 2 设 3(a1 a)2(a2 a)5(a3 a)求 a 其中 a1(2 5 1 3)T a2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T 解由 3(a1 a)2(a2 a)5(a3 a)整理得 a 1(3a1 2a2 5a3)6 g3(2,5,1,3)T 2(10,1,5,10)T 5(4,1,1,1)T 6(1 2 3 4)T 3 已知向量组 A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)T B b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T 证明由 1 0 3 1 2 4 1 0 3 1 2 4 r 0 1 6 1 5

3、 7 r 0 1 6 1 5 7 0 0 20 5 15 25 0 0 4 1 3 5 0 0 4 1 3 5 0 0 0 0 0 0 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 知 R(A)R(A B)3 所以 B 组能由 A 组线性表示 由 4 10 2 10 2 4 0 2 2 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 3 0 1 1 0 0 0 知 R(B)2 因为 R(B)R(B A)所以 A 组不能由 B 组线性表示 4 已知向量组 A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T B b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T 证明 A 组与 B 组等价 证

4、明 由 1 1 3 0 1 r 1 3 0 1 r 1 3 1 (B,A)0 2 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 1 1 1 0 0 2 1 1 0 0 知 R(B)R(B A)2 显然在 A 中有 二阶非零子式 故 R(A)2 又 R(A)R(B A)2!所以 R(A)2 从而 R(A)R(B)R(A B)因此 A 组与 B 组等价 5 已知 R(a1 a2 a3)2 R(a2 a3 a4)3 证明(1)a1能由 a2 a3线性表示(2)a4不能由 a1 a2 a3线性表示 证明(1)由 R(a2 a3 a4)3 知 a2 a3 a4线性无关 故 a2 a3也线性无关 又由 R(

5、a1 a2 a3)2 知 a1 a2 a3线性相关 故 a1能由 a2 a3线性表示(2)假如 a4能由 a1 a2 a3线性表示 贝 V 因为 a1能由 a2 a3线性表示 故 a4能由 a2 a3线性表 示从而 a2 a3 a4线性相关 矛盾 因此 a4不能由 a1 a2 a3线性表示 6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关(1)(1 3 1)T(2 1 0)T(1 4 1)T 所以 R(A)2 小于向量的个数 从而所给向量组线性相关|B|(2 3 0)T(1 4 0)T(0 0 2)T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为 A 因为 1 2 1 r 1 2 1 r A 314 077 1

6、0 1 0 2 2 B 因为 22 0 所以 R(B)3 等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关 7 问 a 取什么值时下列向量组线性相关？ai(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为 A 由 a 1 1|A|1 a 1 1 1 a 如能使行列式等于 o,则此时向量组线性相关(具体看书后相应答案)8 设 a1 a2线性无关 a1 b a2 b 线性相关 求向量 b 用 a1 a2线性表示的表示式 解 因为 a1 b a2 b 线性相关 故存在不全为零的数 1 2使 1(a1 b)2 b)0 由此得 b 1 2 1 a1 2-a2 1 2

7、1 2-a1(1 1 2-)a2 1 2 设c 1 则 1 2 b ca1(1 c)a2 c R (3)若只有当i 2 m全为 0 时等式 iai mam i bi mbm 0 才能成立则 ai a2 am线性无关，bi b2 bm亦线性无关 解由于只有当i m全为 0 时等式 成立所以只有当i 由iai mam ibi mbm 0 m全为 0 时等式 i(ai bi)2(a2 b2)m(am bm)0 9 设 ai a2线性相关 bi b2也线性相关 问 ai bi a2 b2是否一定线性相关？试举例说明 之(也可看书后答案)解不一定 例如当 ai(1 2)T,a2(2 4)T,bi(1 1

8、)T,b2(0 0)T时有 ai bi(i 2)T bi(0 i)T,a2 b2(2 4)T(0 0)T(2 4)T 而 ai bi a2 b2的对应分量不成比例 是线性无关的 iO 举例说明下列各命题是错误的(1)若向量组 ai a2 am是线性相关的 则 ai可由 a2 am线性表示 解设 ai ei(i 0 0 0)a2 a3 am 0 贝 U ai a2 am线性相关 但 ai不能由 a2 am线性表示(2)若有不全为 0 的数i 2 m使 iai mam i bi mbm 0 成立则 ai a2 am线性相关，bi b2 bm亦线性相关 解有不全为零的数 i 2 m使 iai mam

9、 i bi mbm 0 原式可化为 i(ai bi)m(am bm)0 取 ai ei bi a2 e2 b2 am em bm其中 ei e2 em为单位坐标向量 则上式成立 而 ai a2 am和 bi b2 bm均线性无关 ii 设 bi ai a2 b2 a2 a3 b3 a3 a4 b4 a4 ai 证明向量组 bi b2 b3 b4线性相关 成立 因此 ai bi a2 b2 am bm线性无关 取 ai a2 am 0 取 bi bm为线性无关组 则它们满足以上条件 但 ai a2 am 线性相关(4)若 ai a2 am线性相关，bi b2 bm亦线性相关 则有不全为 0 的数

10、 i 2 使 iai mam 0 ibi mbm 0 同时成立 解 ai(i 0)T a2(2 0)T bi(0 3)T b2(0 4)T iai 2a2 0 i 2 2 i bi 2b2 0 i(3/4)2 i 2 0 与题设矛盾 证明由已知条件得 ai bi a2 a2 b2 a3 a3 b3 a4 a4 b4 ai 于是 ai bi b2 a3 bi b2 b3 a4 bi b2 b3 b4 ai 从而 bi b2 b3 b4 0 这说明向量组 bi b2 b3 b4线性相关 i2 设 bi ai b2 ai a2 br ai a2 ar且向量组 ai a2 ar线性无关证明向量 组 b

11、i b2 br线性无关 证明已知的 r 个等式可以写成 i i i(b!,b2,br)(ai,a2,ar)0 i i 0 0 i 4 3 U T 3 a 6)5 12 13 1 o o o 二 15 5 0 di 4 9 9 8 di 1 o o o 二 13 4 7 4 15 6 15 0 0 上式记为 B AK 因为|K|1 0 K 可逆所以 R(B)R(A)r 从而向量组 b1 b2 br线性无 关 13 求下列向量组的秩，并求一个最大无关组(1)a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T a3(2 4 2 8)T 解由 1 9 2 1 9 2 1 9 2/、2 100 4

12、 r 0 82 0 r 0 1 0(a1,a2,a3)1 10 2 0 19 0 0 0 0 4 4 8 0 32 0 0 0 0 知 R(a1 a2 a3)2 因为向量 a1与 a2的分量不成比例 故 a1 a2线性无关 所以 a1 a2是一个 最大无关组 知 R(aiT a2T a3T)R(ai a2 a3)2 因为向量 aiT与 a2T的分量不成比例 故 aiT a2T线性无关 所以 aiT a2T是一个最大无关组 14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组 25 31 17 43 75 94 53 132(1)75 94 54 134 25 32 20 48 解因为 (4

13、 T2 a 3)1 2 1 T 1 a 16 设 a1 a2 an是一组 n 维向量 已知 n 维单位坐标向量 e1 e2 en能由它们线性表 示证明 a1 a2 an线性无关 证法一记 A（a1 a2 an)E(e1 e2 en）由已知条件知 存在矩阵 K 使 25 31 17 43 2 31 25 31 17 43 25 31 17 43 75 94 53 132 r3 3r1 1 2 3 r43 2 75 94 54 134 B1 1 3 5 32 0 1 25 32 20 48 1 3 0 0 所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组 112 2 1 0 2 15 1(2)2 0 3

14、1 3 110 4 1 解因为 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 0 2 1 5 1/0 2 1 5 1 32 0 2 1 5 1 2 0 3 1 3 41 0 2 1 5 1 34 0 0 2 2 2 1 1 0 4 1 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组 （关于 14 的说明：14 题和书上的 14 题有些不同，答案看书后的那个）15 设向量组(a 3 1)T(2 b 3)T(1 2 1)T(2 3 1)T 的秩为 2 求 a b 解设 a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1

15、)T 因为 1 2 a 2 1 1 1 3 1 1 1 3(a3，a4,a1,a2)2 3 3 b 0 a 1 1 1 a 1 1 1 1 1 3 0 1 1 b 6 0 0 2 a b 5 而 R(a1 a2 a3 a4)2 所以 a 2 b 5 E AK 两边取行列式得 El|A|K|可见|A|0 所以 R(A)n 从而 ai a2 an线性无关 证法二 因为 ei e2 en能由 ai a2 an线性表示 所以 R(ei e2 en)R(ai a2 an)而 R(ei e2 en)n R(ai a2 an)n 所以 R(ai a2 an)n 从而 ai a2 an线性无 关 17 设 a

16、i a2 an是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是 任一 n 维向 量都可由它们线性表示 证明 必要性 设 a 为任一 n 维向量 因为 ai a2 an线性无关 而 ai a2 an a 是 n 1 个 n 维向量 是线性相关的 所以 a 能由 ai a2 an线性表示 且表示式是唯一的 充分性已知任一 n 维向量都可由 ai a2 an线性表示故单位坐标向量组 ei e2 en能由 ai a2 an线性表示于是有 n R(ei e2 en)R(ai a2 an)n 即 R(ai a2 an)n 所以 ai a2 an线性无关 I8 设向量组 ai a2 am线性相关 且 a

17、i 0 证明存在某个向量 ak(2 k m)使 ak能由 ai a2 ak i线性表示 证明 因为 ai a2 am线性相关 所以存在不全为零的数 i 2 m使 iai 2a2 mam 0 而且2 3 m不全为零这是因为如若不然 则iai 0 由 ai 0 知i 0 矛盾因此存在 k(2 km)使 k 0 k i k 2 m 0 于是 iai 2a2 kak 0 ak(i/k)(iai 2a2 k iak i)即 ak能由 ai a2 ak i线性表示 充分性 因为 R(K)r 所以存在可逆矩阵 C 使KC Er O 为 K 的标准形 于是(bi br)C(ai as)KC(ai ar)因为

18、C 可逆 所以 R(bi br)R(ai ar)r 从而 bi br线性无关 19 设向量组 B bi br能由向量组 A ai as线性表示为(bi br)(ai as)K 其中 K 为 s r 矩阵 且 A 组线性无关 证明 B 组线性无关的充分必 要条件是矩阵 K 的秩 R(K)r 证明 令 B(bi br)A(ai as)则有 B AK 必要性 设向量组 B 线性无关 由向量组 B 线性无关及矩阵秩的性质 有 r R(B)R(AK)min R(A)R(K)R(K)及 R(K)minr s r 因此 R(K)r 20 设 1 2 3 n 2 1 3 n n 1 2 3 n 1 证明向量组

19、 i 2 n 与向量组 1 2 n等价 证明将已知关系写成 0 1 1 1 1 1(i，2,n)(1,2,n)1 1 1 1 1 0 将上式记为 B AK 因为 0 1 1 1 0 1|K|110 1 1 1 所以 K 可逆故有 A BK 1 由 B AK 和 A BK 1可知向量组 n与向量组1 2 n可相互线性表示 因此向量组1 2 n与向量组1 2 n等价 1 1 1(1)n 1(n 1)0 0 21 已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 x 满足 A3X 3AX A2X且向量组 x Ax A2x 线性无关(1)记 P(X AX A2X)求 3 阶矩阵 B 使 AP PB 解因为 AP

20、 A(X AX A2X)(AX A2X A3X)(AX A2X 3AX A2X)0 0 0(X,AX,A2X)1 0 3 0 1 1 0 0 0 所以B 1 0 3 0 1 1 求 Al 解由 A3X 3AX A2X 得 A(3X AX A2X)0 因为 X AX A2X 线性无关 故 3X AX A2X 0 即方程 AX 0 有非零解 所以 R(A)3|A|0(从22题开始，凡涉及到基础解系问题的，答案都不是唯一 的，可以参考本文答案，也可以看书后的答案，不过以书后的答案 为主。每一题不再一一说明)22 求下列齐次线性方程组的基础解系 2 3 2 1 r 1 0 2/19 3 5 4 2 0

21、 1 14/19 8 7 6 3 0 0 0 1/19 7/19 0 x1 8x2 10X3 2X4 0(1)2凶 4x2 5x3 x4 0 3为 8x2 6X3 2x4 0 于是得 x1 4x3 X2(3/4必(1/4风 取(X3 X4)T(4 0)T 得(X1 X2)T(16 3)T 取(X3 X4)T(0 4)T 得(X1 X2)T(0 1)T 因此方程组的基础解系为 1(16 3 4 0)T 2(0 1 0 4)T 2 3X2 2X3 X4 0 3为 5x2 4X3 2X4 0 8为 7x2 6x3 3x4 0 于是得 1 8 10 2 r 1 0 4 A 2 4 5 1 0 1 3/

22、4 3 8 6 2 0 0 0 解对系数矩阵进行初等行变换 有 0 1/4 0 解对系数矩阵进行初等行变换 有 x1(2/19)卷(1/19)x4 x2(14/19)X3(7/19)x4 取(X3 X4)T(19 0)T 得(X1 X2)T(2 14)T 取(X3 X4)T(0 19)T 得(X1 X2)T(1 7)T 因此方程组的基础解系为 1(2 14 19 0)T 2(1 7 0 19)T因此所求矩阵为B 15 8 0 110 8 取 X1 1X2X3 取 X2 1 X1 X3 X4(3)nxi(n 1)X2 2xn 1 xn 0.解原方程组即为 Xn nX1(n 1)X2 2xn 1

23、Xn 1 0 得 Xn n Xn 1 0 得 Xn(n 1)n 1 取 Xn 1 1 X1 X2 Xn 2 0 得 Xn 2 因此方程组的基础解系为 1(1 0 0 2(0 1 0 0 0 n)n 1)T n 1(0 0 0 1 2)T 23 设A 2 9 2 5 1 3,求一个 4 2 矩阵 B,使 AB 0,且 2 8 R(B)2.解 显然 B 的两个列向量应是方程组 AB 0 的两个线性无关的解 因为 2 2 1 3 10 1/8 1/8 9 5 2 8 0 1 5/8 11/8 所以与方程组 AB 0 同解方程组为 X(1/8)X3(1/8)X X2(5/8)X3(11/8)X4 取(

24、X3 X4f(8 0)T 得(X1 X2)T(1 5)T 取(X3 X4)T(0 8)T 得(X1 X2)T(1 11)T 方程组 AB 0 的基础解系为 1(1 5 8 0)T 2(1 11 0 8)T 24 求一个齐次，使它的基础解系为 1(0 1 2 3)T 2(3 2 1 0)T 解显然原方程组的通解为 X1 X2 X3 X4 0 1 2 3 3 X1 32 i 2刚x2匕2&k2 1，即 x3 2k,&(k1 k2 R)消去 k1 k2得 2x1 3x2 X4 0 x1 3卷2冷0 25 设四兀齐次线性方程组 I 凶 X2 0 II X1 X2 X3 0 X2 x4 0 x2 X3

25、X4 0 求(1)方程 I 与 II 的基础解系 1 与 II 的公共解 x4 取(X3 X4)T(1 0)T 得(X1 X2)T(0 0)T 取(XX(0 1)T 得(XX)T(1 1)T 因此方程 I 的基础解系为 1(0 0 1 0)T 2(110 1)T 由方程11得:X4 X3 取(X3 X4f(1 0)T 得(X1 X2)T(0 1)T 取(X3 X4)T(0 1)T 得(X1 X2)T(1 1)T 因此方程 II 的基础解系为此即所求的齐次线性方程组 解(1)由方程1得：x4 1(0 1 1 0)T 2(1 1 0 1)T(2)I 与 II 的公共解就是方程 X!X2 0 III

26、 X2 X4 0 0 X!X2 X3 X2 X3 X 0 的解因为方程 组 III 的系数矩阵 1 1 0 0 1 0 0 1 A 0 1 0 1 0 1 0 1 A 1 1 1 0 0 0 1 2 0 1 1 1 0 0 0 0 所以与方程组 III 同解的方程组为 X1 X4 X2 X X3 2X4 取 X4 1 得(X1 X2 X3)T(1 1 2)T 方程组 III 的基础解系为(1 1 2 1)T 因此 1 与 II 的公共解为X c(1 1 2 1)T c R 26 设 n 阶矩阵 A 满足 A A E 为 n 阶单位矩阵，证明 R(A)R(A E)n 证明 因为 A(A E)A2

27、 A A A 0 所以 R(A)R(A E)n 又 R(A E)R(E A)可知 R(A)R(A E)R(A)R(E A)R(A E A)R(E)n 由此 R(A)R(A E)n 27 设 A 为 n 阶矩阵(n 2)A*为 A 的伴随阵 证明 n 当 R(A)n R(A*)1 当 R(A)n 1 0 当 R(A)n 2 (1)为 2x1 5Xx2 5 X2 X3 2x4 1 3x2 2x3 2x4 3 证明 当 R(A)n 时|A|0 故有|AA*|A|E|A|0 A*l 0 所以 R(A*)n 当 R(A)n 1 时|A|0 故有 AA*|A|E 0 即 A*的列向量都是方程组 Ax 0

28、的解 因为 R(A)n 1 所以方程组 Ax 0 的基础解系中只含 一个解向量即基础解系的秩为 1 因此 R(A*)1 当 R(A)n 2 时 A 中每个元素的代数余子式都为 0 故 A*O 从而 R(A*)0 28 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系 解对增广矩阵进行初等行变换 有 1 1 0 0 5 r 1 0 1 0 8 B 2 1 1 2 1 0 1 1 0 13 5 3 2 2 3 0 0 0 1 2 与所给方程组同解的方程为 x X3 8 x2 X3 13&2 当 X3 0 时得所给方程组的一个解(8 13 0 2)T 与对应的齐次方程组冋解的方程为 X1

29、X3 x2 X3 X4 0 当 X3 1 时得对应的齐次方程组的基础解系(1 1 1 0)T X1 5X2 2X3 3X4 11 5X(3X2 6X3 X4 1 2 4x2 2x3 x4 6 解对增广矩阵进行初等行变换 有 1 5 2 3 11 r 1 0 9/7 1/2 1 B 5 3 6 1 1 0 1 1/7 1/2 2 2 4 2 1 6 0 0 0 0 0 与所给方程组同解的方程为 X1(9/7)X3 2)X4 1 x2(1X(1/2)x4 2 当 X3 X4 0 时得所给方程组的一个解(1 2 0 0)T 与对应的齐次方程组同解的方程为 X1(9/7风(1/2)X4 X2(1/7)

30、X3(2)X4 分别取(X3 X4)T(1 0)T(0 1)T得对应的齐次方程组的基础解系 1(9 1 7 0)T 2(1 1 0 2)T 29 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3 已知1 2 3是它的三个解向量 1(2 3 4 5)T 2 3(1 2 3 4)T 求该方程组的通解 解 由于方程组中未知数的个数是 4 系数矩阵的秩为 3 所以对应的齐次线性方程组的 基础解系含有一个向量 且由于1 2 3均为方程组的解由非齐次线性方程组解的结构 性质得 2 1(2 3)(1 2)(1 3)(3 4 5 6)T 为其基础解系向量故此方程组的通解 X k(3 4 5 6)T(2 3 4 5)

31、T(k R)30 设有向量组 A ai(2 10)T a2(2 1 5)T a3(1 1 4)T 及 b(1 1)T 问 为何 值时(1)向量 b 不能由向量组 A 线性表示(2)向量 b 能由向量组 A 线性表示 且表示式唯一(3)向量 b 能由向量组 A 线性表示 且表示式不唯一一并求一般表示式 1 2 1 r 1 2 1 解(a3,a2,a1,b)1 1 2 0 11 1 4 5 10 1 004 3(1)当 4 0 时 R(A)R(A b)此时向量 b 不能由向量组 A 线性表示(2)当 4 时 R(A)R(A b)3 此时向量组 a1 a2 a3线性无关 而向量组 a1 a2 a3

32、b 线性 相关 故向量 b 能由向量组 A 线性表示 且表示式唯一(3)当 4 0 时 R(A)R(A b)2 此时向量 b 能由向量组 A 线性表示 且表示式不唯一 当 4 0 时 12 4 1 r 1 0 2 1(a3,a2,a1,b)1 1 2 0 0 1 3 1 4 5 10 1 0000 方程组(a3 a2 a”x b 的解为 人 2 1 2c 1 x2 c 3 1 3C 1 c R X3 1 0 c 因此 b(2c 1)a3(3c 1)a2 ca1 即 b ca1(3c 1)a2(2c 1)a3 c R 31 设 a(a1 a2 a3)T b(b1 b2 b3)T c(C1 C2

33、C3)T 证明三直线 11 a1x b1y C1 0 12 a2x b2y C2 0(ai2 bi2 0 i 1 2 3)13 a3x b3y C3 0 相交于一点的充分必要条件为 向量组 a b 线性无关 且向量组 a b c 线性相关 有唯一解上述方程组可写为 xa yb c 因此三直线相交于一点的充分必要条件为 C能由 证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组 a b 唯一线性表示 而 c 能由 a b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组 a b 线性无关 且 向量组 a b c 线性相关 32 设矩阵 A(ai a2 a3 a4)其中 a2 a3 a4线性无关 ai 2a2 a3向量

34、 b ai a2 a3 a4求 方程 Ax b 的通解 解由 b ai a2 a3 a4知(1 1 1 1)T是方程 Ax b 的一个解 由 ai 2a2 a3得 ai 2a2 a3 0 知(1 2 1 0)T 是 Ax 0 的一个解 由 a2 a3 a4线性无关知 R(A)3 故方程 Ax b 所对应的齐次方程 Ax 0 的基础解系中含一 个解向量 因此(1 2 1 0)T是方程 Ax 0 的基础解系 方程 Ax b 的通解为 x c(1 2 1 0)T(1 1 1 1)T c R 33 设*是非齐次线性方程组 Ax b 的一个解，12 nr是对应的齐次线性方程组 的一个基础解系，证明(1)

35、*1 2 n r线性无关(2)*1*2*n r线性无关 证明(1)反证法，假设*1 2 n r线性相关 因为1 2 n r线性无关 而*1 2 n r线性相关 所以*可由1 2 n r线性表示 且表示式是唯一的 这说明*也 是齐次线性方程组的解 矛盾 显然向量组*1*2*n r与向量组*1 2 n r可以相互表示 故 这两个向量组等价 而由知向量组*1 2 n r线性无关 所以向量组*1*2*n r也线性无关 qx q 0 a1x Qy Qy c2 0即 a2x dy dy c3 0 asx dy Ci C2 C3 设 x 为 Ax b 的任意解 则 x 1为 Ax 0 的解故 x 1可由1

36、2 x 1 k2 1 k3 2 kn r 1 n r k2(2 1)k3(3 1)kn r 1(n r 1 1)x 1(1 k2 k3 kn r 1)k 2 2 k3 3 k n r 1 n r 1 k1 1 k2 k3 kn r 1 则 k1 k2 k3 kn r 1 1 于是 n r线性表出设 n r 1是它的 n r 1 个线 34 设 1 2 s是非齐次线性方程组 Ax b 的 s 个解 k：1 k2 ks为实数满足 k1 ks 1.证明 x k1 1 k2 2 ks s 也是它的解 证明因为1 2 s都是方程组 Ax b 的解所以 A i b(i 1 2 s)从而 A(k1 1 k2

37、 2 ks s)k1A 1 k2A 2 ksA s (k1 k2 ks)b b 因此 x k1 1 k2 2 ks s也是方程的解 35 设非齐次线性方程组 Ax b 的系数矩阵的秩为 r 1 2 性无关的解试证它的任一解可表示为 x k1 1 k2 2 kn r 1 n r 1(其中 k1 k2 kn r 1 1).证明 因为1 2 n r 1均为 Ax b 的解所以12 12 3 1 nr n r 1 1 均为 Ax b 的解 用反证法证 1 2 n r线性无关 设它们线性相关 则存在不全为零的数 1 2 n r 使得 1 1 2 2 nr n r 0 即 1(2 1)2(3 1)n r(

38、n r 1 1)0 亦即(1 2 n r)1 1 2 2 3 n r n r 1 0 由1 2 n r 1线性无关知 (1 2 n r)1 2 n r 0 矛盾 因此 1 2 n r线性无关 1 2 n r 为 Ax b 的一个基础解系 x kl 1 k2 2 kn r 1 Vi x(xi X2 Xn)T|XXn R 满足 X1 X2 Xn 0 V2 X(Xi X2 Xn)T|X1 Xn R 满足 X1 X2 Xn 1 有 a1 a2 an)T V1(b1 b2 bn)T V1 R an 0 b1 b2 bn 0 从而(a1 b1)(a2 b2)(an bn)所以(a1 a2 a1 a2(a1

39、 b1(a1 a2 V2不是向量空间(a1 a2 有 a1 a2 b2 an)(b1 an(a1 a2 a2 b2 an)T 因为任取 an)T V1 an 1 an bn)T V1(b1 b2 V1 bn)0 an)0 bn)T V1 b1 b2 bn 1 从而(a1 b1)(a2 b2)(an bn)(a1 a2 所以 an)(b1 b2 bn)2(a1 b1 a2 b2 an bn)T V2 a2 a3 所 36 设 问 V1 V2是不是向量空间？为什么?解 V1是向量空间因为任取 37 试证 由 a1(0 1 1)T a2(1 0 1)T a3(1 1 0)T所生成的向量空间就是 R3

40、.证明 设 A(a1 a2 a3)由 0 1 1|A|10 1 2 0 1 1 0 知 R(A)3 故 a1 a2 a3线性无关 所以 a1 a2 a3是三维空间 R3的一组基，因此由 a1 生成的向量空间就是 R3.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢21证明 设 A(a1 a2)B(b1 b2)显然 R(A)R(B)2 又由(A,B)112 0 1 1 10 11 0 1 0 1 3 1 0 0 0 1 3 1 0 0 2 0 3 1 0 0 0 0 知 R(A B)2 所以 R(A)R(B)R(A B)从而向量组 a1 a2与向量组 b1 b2等价因为向量组 x1 x2 x3 0

41、38 由 ai(1 1 0 0)T a2(1 0 1 1)T所生成的向量空间记作 Vi,由 bi(2 1 3 3)T b2(0 1 1 1)T所生成的向量空间记作 V2,试证 V1 V2.a1 a2与向量组 b1 b2等价 所以这两个向量组所生成的向量空间相同 即 V1 V2.39 验证 a1(1 1 0)T a2(2 1 3)T a3(3 1 2)T 为 R3 的一个基,并把 V1(5 0 7)T V2(9 8 13)T用这个基线性表示 解设 A(a1 a2 a3)由 1 2 3|G,a2,a3)|1 1 1 6 0 0 3 2 知 R(A)3 故 a1 a2 a3线性无关 所以 a1 a2

42、 a3为 R3的一个基.设 X1a1 X2a2 X3a3 V1 贝 V 片 2x2 3x3 5 3x2 2x3 7 解之得 X1 2 X2 3 X3 1 故线性表示为 V1 2a1 3a2 a3 设 X1a1 X2a2 X3a3 v2 贝 V x1 2x2 3x3 X1 X2 3x2 2x3 X3 8 13 解之得 X1 3 X2 3 X3 2 故线性表示为 V2 3a1 3a2 2a340 已知 R3的两个基为 ai(1 1 1)T a2(1 0 1)T a3(1 0 1)T bi(1 2 1)T b2(2 3 4)T b3(3 4 3)T 求由基 a1 a2 a3到基 b1 b2 b3的过渡矩阵 P 解 设 e1 e2 e3是三维单位坐标向量组 则 1 1 1 佝包)(e1,e2,e3)1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 6,0)(厲包鸟)1 0 0 1 1 1 1 2 3 于是(S t2,d)G,e2,e3)2 3 4 1 4 3 1 1 1 1 1 2 3(a1,a2,a3)1 0 0 2 3 4 1 1 1 1 4 3 由基 a1 a2 a3到基 b1 b2 b3的过渡矩阵为 1 1 1 1 1 2 3 2 3 4 P 1 0 0 2 3 4 0 1 0 1 1 1 1 4 3 1 0 1