2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准文档版.pdf

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1、2016 年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5 月 8 日上午8：30 11：00）一、选择题（每小题6 分，共36 分）1若集合2120Ax xx，101xBxx，Cx xAxB且，则集合C（）A 311 4，B311 4，C311 4，D 311 4，【答案】D 【解答】依题意，21203 4Ax xx ，10(1 1)1xBxx，。由xA，知34x；xB，知1x 或1x。所以，31x 或14x，即 311 4C ，。2已知直线1l：(2)310mxmy 与直线2l：(2)(2)40mxmy（0m）相互垂直，垂足为P，O为坐标原点，则线段OP的长为（）A5 B 2 C3

2、 D2【答案】D 【解答】由12ll知，(2)(2)(2)30mmmm，结合0m，得2 30mm，12m。1l方 程 为531022xy，即5320 xy；2l方 程 为：354022xy，即3580 xy。由53203580 xyxy，得11xy。因此，(1 1)P ，线段OP长为2。3如图，在三棱锥PABC中，PAB，PBC均为等边三角形，且ABBC。则二面角APCB的余弦值为（）A23 B33 C63 D13【答案】B 【解答】如图，取AC中点O，PC中点D，连结OP，OB，OD，DB。不妨设2AB，则由条件知，2PAPC，2 2AC。P AP C，122OPACOC。ABCPABCPO

3、D（第3 题）O DP C。又BDPC，故BDO是二面角APCB的平面角。在BOD中，由2OB，1OD，3BD，得90BOD，13cos33ODBDOBD。二面角APCB的余弦值为33。4若函数2243()2log3axxxf xxx，（0a，且1a）的值域为3，则实数a的取值范围为（）A1 3，B(1 3)，C(3)，D3，【答案】A 【解答】3x 时，函数22()24(1)3f xxxx的值域为3，3x 时，2log3ax，即3x 时，log1logaaxa。1a，且3x 时，xa恒成立。13a，a的取值范围为1 3，。5 如图，在四面体PABC中，已知PA、PB、PC两两互相垂直，且3P

4、APBPC。则在该四面体表面上与点A距离为2 3的点形成的曲线段的总长度为（）A3 B3 3 C5 32 D3 32【答案】D 【解答】如图，设2 3AEAFAG（E在AB上，F在PB上，G在PC上）。由PAPB，PAPC，PBPC，3PAPBPC，知3PFPG，6PAF，4612EAF。在面PAB内与点A距离为2 3的点形成的曲线段（图中弧EF）长为32 3126。同理，在面PAC内与点A距离为2 3的点形成的曲线段长为36。又在面ABC内与点A距离为2 3的点形成的曲线段长为2 32 333。ACBP（第5 题）在面PBC内与点A距离为2 3的点形成的曲线段（图中弧FG）长为3322。四面

5、体表面上与点A距离为2 3的点形成的曲线段的总长度为 332 333 366322。6()f x是定义在R上的函数，若(0)1f，且对任意xR，满足(2)()2f xf x，(6)()6f xf x，则(2016)f（）A 2013 B 2015 C 2017 D 2019【答案】C 【解答】对任意xR，满足(2)()2f xf x，(6)()(6)(4)(4)(2)(2)()6f xf xf xf xf xf xf xf x。又(6)()6f xf x。因此，(6)()6f xf x，(6)()6f xf x。(6)()6f xkf xk，*kN。(2016)(06 336)(0)6 336

6、120162017fff 。二、填空题（每小题6 分，共36 分）7已知实数x，y满足226440 xyxy，记2224xyxy的最大值为M，最小值为m，则Mm 。【答案】72 【解答】设()P x y，由226440 xyxy知，22(3)(2)9xy。因此，点P在以1(32)C，为圆心，3 为半径的圆上。又222224(1)(2)5xyxyxy，设2(1 2)C ，则225C P。2max2134 23C PC C，2min2134 23C PC C。2(4 23)5M，2(4 23)5m，72Mm。注：本题也可以三角换元法。由22(3)(2)9xy，设3 3cosx，23siny ，代入

7、后求最值。8过直线2yx上一点P作圆C：225(3)(1)4xy的切线PA、PB，A、B为切点。若直线PA、PB关于直线2yx对称，则线段CP的长为 。【答案】5【解答】由切线PA、PB关于直线PC关于对称，以及切线PA、PB关于直线2yx对称知，直线2yx与直线PC与重合或垂直。由点C不在直线2yx上知，PC与直线2yx垂直。设(2)P tt，则21132tt，1t。(1 2)P，5CP。9已知正四棱锥PABCD的底面边长为6，侧棱长为5，I为侧面PCD的内心，则四棱锥IABCD的体积为 。【答案】9 72【解答】如图，取BC中点E，连结PE，由条件知在PCD中，5PCPD，6CD。I在线段

8、PE上，且53PIPCIECE。38IEPE。2223319 765(3 2)8832IABCDP ABCDVV。10已知()f x是偶函数，0 x 时，()f xxx（符号 x表示不超过x的最大整数），若关于x的方程()f xkxk（0k）恰有三个 不相等的实根，则实数k的取值范围为 。【答案】1 13 2，【解答】作出函数()yf x与ykxk的草图（如图所示）。易 知 直 线ykxk恒 过 点(1 0)，1x 是方程()f xkxk的一个根。从图像可知，当1 01 02(1)1(1)k ，即1132k时，两个函数的图像恰有三个不同的交点。k的取值范围为1 13 2，。11方程2(1)(1

9、)1xyxyz（xy）的正整数解()x y z，为 。（写出所有可能的情况）OECADBPI【答案】(1 35)，(3 7 3)，【解答】依题意，2221xyxyxyz。(2221)x yx yxy，(221)xyxy，221xyxy。由xy，知1xy，因此，2214xyy。4x，1x，2，3。若1x，则(23)yy，3y，3y。将1x，3y 代入题中方程，得153z，5z。若2x，则2(25)yy，25y。由2y 知，y不存在。若3x，则3(27)yy。所以，327yy，又3y，因此，4y，5，6，7。经验证只有7y 符合3(27)yy。将3x，7y 代入题中方程，得6321z，3z。符合条

10、件的正整数解有()(1 3 5)x y z，或(3 7 3)，。12已知0a，0b，0c，则5823232bcacbcabbcca的最小值为 。【答案】6【解答】设abx，23bcy，2caz，则0 x，0y，0z。且4237xyza，3237xyzb，227xyzc。5bcxyz ，82424acxyz，3bcxyz。5823424232bcacbcxyzxyzxyzmabbccaxyz 当且仅当4yxxy，zxxz，4zyyz，即2yx，zx，2yz，即2yx，zx时等号成立。（如7xz，14y，即3a，4b，2c 时等号成立）。5823232bcacbcabbcca的最小值为6。三、解答

11、题（第13、14、15、16 题每题16 分，第17 题 14 分，满分78 分）13已知()lnf xx，2()241g xxaxa。（1）若函数()f g x在区间1 3，上为单调函数，求实数a的取值范围；（2）若函数()g f x在区间31 e，上的最小值为2，求实数a的值。【答案】（1）依题意，2()ln(241)f g xxaxa。由()f g x在区间1 3，上为单调函数，知()g x在区间1 3，上是单调函数，且()0g x。1(1)1 24120agaaa 或3(3)9641820agaaa。4 分 01a或34a。实数a的取值范围是 0 13 4，。8 分 （2）2()ln2

12、 ln41g f xxaxa。设ln xt，则03t，222()241()41g f xtatataaa。设 22()()41h ttaaa，03t 12 分 则0a 时，()h t的最小值为(0)41ha。由412a ，得14a ，符合要求。03a时，()h t的最小值为2()41h aaa。由2412aa ，得25a，不符合要求，舍去。3a 时，()h t的最小值为(3)964182haaa。由822a，得5a，符合要求。综合，得14a 或5a。16 分 14已知2()(2)f xxaxa（aR）。（1）若()0f x 在区间(3 1)，内有两个不同的实数根，求实数a的取值范围；（2）若1

13、x 时，()0f x 恒成立，求实数a的取值范围。【答案】（1）依题意，有22(2)4402312(3)93(2)230(1)1(2)320aaaafaaafaaa。4 分 解得3322a。a的取值范围为33()22，。8 分 （2）1x 时，()0f x 恒成立，1x 时，2(2)0 xaxa，即2(1)2xaxx恒成立。1x 时，221xxax恒成立。12 分 设1tx，则2t，222111xxttxtt。由1ytt 在(2)，上为增函数，知1ytt 的值域为3()2，。32a，即a的取值范围为32，。16 分 另解：由（1）知，22(2)440aaa，()0f x 总有两个不相等的实根。

14、设方程()0f x 的两根为1x，2x（12xx）。1x 时，()0f x 恒成立222412aax。12 分 244aa，22404(4)aaa。解得，32a。a的取值范围为32，。16 分 15如图，圆O的圆心在坐标原点，过点(0 1)P，的动直线l与圆O相交于A，B两点。当直线l平行于x轴时，直线l被圆O截得的线段长为2 3。（1）求圆O的方程；（2）在平面直角坐标系xOy内，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAPAQBPB恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1）设圆O半径为r，依题意有222(3)1r。24r，圆O方程为224xy。4 分 （2）设符合条件的

15、点Q存在。当直线l平行于x轴时，PAPB，由此可得QAQB。又此时A、B关于y轴对称，因此，点Q在y轴上。设(0)Qt，。当lx轴时，(0 2)A，(02)B，。由QAPAQBPB，得2123tt，4t 或1t（舍去）。（当(02)A，(0 2)B，时，同理可得4t）因此，若点Q存在，则点Q只能为(0 4)Q，。8 分 下面证明点(0 4)Q，符合要求。当直线AB斜率不存在或为0 时，由前面讨论可知点(0 4)Q，符合要求。当直线AB斜率存在且不为0 时，设AB方程为1ykx。由2214ykxxy，得22(1)230kxkx。设11()A xy，22()B xy，则12221kxxk，1223

16、1x xk。12121212441414QAQByykxkxkkxxxx （第15题）21212122211123()232322031kxxkkkkkkxxx xk 。AQOBQO。12 分 QP平分AQB，由角平分线性质定理知，QAPAQBPB。综上可知，符合条件的点Q存在，其坐标为(0 4)Q，。16 分 16如图，O、I分别为ABC的外心、内心，连结CI并延长交ABC的外接圆O于点H。D、E分 别 在ABC的 边AB、AC上，且 满 足DBBCCE。（1）求证：HBHI；（2）求证：IHOEBD。【证明】（1）依题意，H为弧AB的中点，HCBHBA。连结BI，由I为ABC的内心知，IB

17、CABI，H I BH C BI B CH B AA B I 。H BH I。4 分 （2）设BE与CH的交点为F，则由CECB以及CF平分BCA，知F为BE中点，且HFFB。设OH与AB的交点为G，则G为AB中点，且HGGB。H、G、F、B四点共圆，IHOEBD。8 分 连结OB，由H为弧AB的中点知，ECBHOB。又OHOB，CECB。H O BE C B。12 分 H BE BH OE C。结合HBHI，ECBD。因此，IHEBHOBD。I H OE B D。16 分 17已知集合1 2 32016M L，求最大的正整数k，使得存在集合M的k元子集A，满足集合A中任何一个数都不等于其余任

18、意两个不同数的积。【解答】设A为集合M的一个k元子集。考虑集合M的下列43 个子集（每个子集中恰有3 个数）：（第16题）CHEDIOBACFGHEDIOBA22 87 2 87M，33 86 3 86M，44 85 4 85M，4343 46 43 46M，4444 45 44 45M，。若1973k，则由201643k知，集合A一定包含上述43 个子集中的某一个。由此可知，集合A中存在互不相同的三个数a，b，c（abc），使得cab。因此，集合A不满足：集合A中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。所以，当集合A元素个数多于1973，即1973k 时，集合A不满足题意要求。所以，1973k。5 分 另一方面，令1 45 462016AL，（从集合M删去2，3，4，44 这 43 个数）。设a，b（ab）是A中任意两个不同的数。若1a，则abb，ab不可能等于A中第3 个不同于1 和b的数。10 分 若1a，则45a，45 462070ab，显然它不在集合A中。因此，集合A满足：集合A中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。可见，存在集合M的一个1973 元子集A，满足集合A中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。所以，正整数k的最大值为1973。14 分