概率论与数理统计期末考试之置信区间与拒绝域(含答案).pdf

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1、.0/8 概率论与数理统计期末 置信区间问题 八1、从某同类零件中抽取 9 件,测得其长度为 单位：mm ：6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设零件长度X服从正态分布N.求的置信度为 0.95 的置信区间.0.050.050.025(9)=2.262,(8)=2.306,1.960)ttU已知：解：由于零件的长度服从正态分布,所以(0,1)/xUNn0.025|0.95P Uu 所以的置信区间为0.0250.025(,)xuxunn 经计算 91916iixx 的置信度为 0.95 的置信区间为 1133(6 1.96,61.96)即 八2、某车间生产滚珠

2、,其直径X N,从某天的产品里随机抽出 9 个量得直径如下单位：毫米 ：14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 14.8 15.0 14.7 若已知该天产品直径的方差不变,试找出平均直径的置信度为 0.95 的置信区间.解：由于滚珠的直径 X 服从正态分布,所以(0,1)/xUNn0.025|0.95P Uu 所以的置信区间为：0.0250.025(,)xuxunn 经计算 919114.911iixx 的置信度为 0.95 的置信区间为 0.050.0533(14.9111.96,14.9111.96)即 八3、工厂生产一种零件,其口径X服从正态分布2(,)N,现从某日生

3、产的零件中随机抽出9 个,分别测得其口径如下:14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.7 已知零件口径X的标准差0.15,求的置信度为 0.95 的置信区间.1/8 解：由于零件的口径服从正态分布,所以(0,1)/xUNn0.025|0.95P Uu 所以的置信区间为：0.0250.025(,)xuxunn 经计算 919114.9iixx 的置信度为 0.95 的置信区间为 0.150.1533(14.91.96,14.91.96)即 八4、随机抽取某种炮弹 9 发做实验,测得炮口速度的样本标准差S=3,设炮口速度服从正态分布,求这种炮弹的炮口速

4、度的方差2的置信度为 0.95 的置信区间.因为炮口速度服从正态分布,所以 2的置信区间为：22220.0250.975(1)(1),11nSnSnn 2的置信度 0.95 的置信区间为 8 98 9,17.535 2.180 即4.106,33.028 八5、设某校女生的身高服从正态分布,今从该校某班中随机抽取 9 名女生,测得数据经计算如下：162.67,4.20 xcm scm.求该校女生身高方差2的置信度为 0.95 的置信区间.解：因为学生身高服从正态分布,所以222(1)(1)nSWn220.0250.975(8)(8)0.95PW 2的置信区间为：22220.0250.975(1

5、)(1),11nSnSnn2的置信度 0.95 的置信区间为 228 4.28 4.2,17.5352.180 即8.048,64.734 八6、一批螺丝钉中,随机抽取 9 个,测得数据经计算如下：16.10,2.10 xcm scm.设螺丝钉的长度服从正态分布,试求该批螺丝钉长度方差2的置信度为 0.95 的置信区间.解：因为螺丝钉的长度服从正态分布,所以 2的置信区间为：22220.0250.975(1)(1),11nSnSnn 2的置信度 0.95 的置信区间为 228 2.108 2.10,17.5352.180 即2.012,16.183.2/8 八 7、从水平锻造机的一大批产品随机

6、地抽取 20 件,测得其尺寸 的平均值32.58x,样本方差20.097S.假定该产品的尺寸X服从正态分布2(,)N,其中2与均未知.求2的置信度为 0.95 的置信区间.22220.0250.9750.0250.975(20)34.17,(20)9.591(19)32.852,(19)8.907)已知：；解：由于该产品的尺寸服从正态分布,所以 2的置信区间为：22220.0250.975(1)(1),11nSnSnn 2的置信度 0.95 的置信区间为 19 0.097 19 0.097,32.8528.907 即0.056,0.207 八 8、已知某批铜丝的抗拉强度X服从正态分布2(,)N

7、.从中随机抽取 9 根,经计算得其标准差为 8.069.求2的置信度为 0.95 的置信区间.22220.0250.9750.0250.975(9)19.023,(9)2.7(8)17.535,(8)2.180已知：，解：由于抗拉强度服从正态分布所以,2的置信区间为：22220.0250.975(1)(1)(,)11nSnSnn 2的置信度为 0.95 的置信区间为228 8.0698 8.069,17.5352.180 ,即 29.705,238.931 八 9、设总体X 2(,)N,从中抽取容量为 16 的一个样本,样本方差20.07S,试求总体方差的置信度为 0.95 的置信区间.222

8、20.0250.9750.0250.975(16)28.845,(16)6.908(15)27.488,(15)6.262)已知：；解：由于 X2,N,所以222(1)(1)nSWn220.0250.975(15)(15)0.95PW 2的置信区间为：22220.0250.975(1)(1)(,)11nSnSnn 2的置信度 0.95 的置信区间为 15 0.07 15 0.07,27.4886.262,即0.038,0.168.3/8 八10、某岩石密度的测量误差X服从正态分布2(,)N,取样本观测值 16 个,得样本方差20.04S,试求2的置信度为 95%的置信区间.22220.0250

9、.9750.0250.975(16)28.845,(16)6.908(15)27.488,(15)6.262)已知：；解：由于 X 2,N,所以222(1)(1)nSWn220.0250.975(15)(15)0.95PW 2的置信区间为：22220.0250.975(1)(1)(,)11nSnSnn 2的置信度 0.95 的置信区间为：15 0.04 15 0.04,27.4886.262 即0.022,0.096 拒绝域问题 九1、某厂生产铜丝,生产一向稳定,现从其产品中随机抽取 10 段检查其折断力,测得1021287.5,()160.5iixxx.假定铜丝的折断力服从正态分布,问在显著

10、水平0.1下,是否可以相信该厂生产的铜丝折断力的方差为 16？解：待检验的假设是 20:16H 选择统计量 22(1)nSW 在0H成立时 2(9)W 取拒绝域w=16.92,3.33WW 由样本数据知2(1)160.5nS160.510.0316W 16.9210.033.33 接受0H,即可相信这批铜丝折断力的方差为 16.九2、已知某炼铁厂在生产正常的情况下,铁水含碳量X服从正态分布,其方差为 0.03.在某段时间抽测了10炉铁水,测得铁水含碳量的样本方差为0.0375.试问在显著水平0.05下,这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异?解：待检验的假设是 20:0.0

11、3H 选择统计量 22(1)nSW 在0H成立时 2(9)W 取拒绝域w=19.023,2.700WW .4/8 由样本数据知 22(1)9 0.037511.250.03nSW 接受0H,即可相信这批铁水的含碳量与正常情况下的方差无显著差异.九3、某厂加工一种零件,已知在正常的情况其长度服从正态分布2(,0.9)N,现从一批产品中抽测 20 个样本,测得样本标准差 S=1.2.问在显著水平0.1下,该批产品的标准差是否有显著差异？解：待检验的假设是 0:0.9H 选择统计量 22(1)nSW 在0H成立时 2(19)W 取拒绝域w=30.114,10.117WW 由样本数据知 2222(1)

12、19 1.233.7780.9nSW33.77830.114 拒绝0H,即认为这批产品的标准差有显著差异.九4、已知某炼铁厂在生产正常的情况下,铁水含碳量X服从正态分布2(4.55,0.11)N.现抽测了 9 炉铁水,算得铁水含碳量的平均值4.445x,若总体方差没有显著差异,即220.11,问在0.05显著性水平下,总体均值有无显著差异?解：待检验的假设是 0:4.55H 选择统计量 /XUn 在0H成立时 (0,1)UN 0.025|0.05P Uu 取拒绝域 w=|1.960U 由样本数据知 4.4454.552.8640.11/3/XUn1.960U 拒绝0H,即认为总体均值有显著差异

13、.九5、已知某味精厂袋装味精的重量X2(,)N,其中=15,20.09,技术革新后,改用新机器包装.抽查 9 个样品,测定重量为单位：克 14.7 15.1 14.8 15.0 15.3 14.9 15.2 14.6 15.1 已知方差不变.问在0.05显著性水平下,新机器包装的平均重量是否仍为 15？解：待检验的假设是 0:15H 选择统计量 /XUn 在0H成立时 (0,1)UN.5/8 0.025|0.05P Uu 取拒绝域 w=|1.960U 经计算 919114.967iixx14.967150.330.3/3/XUn1.960U 接受0H,即可以认为袋装的平均重量仍为 15 克.九

14、6、某手表厂生产的男表表壳在正常情况下,其直径服从正态分布N.在某天的生产过程中,随机抽查 4 只表壳,测得直径分别为:19.5 19.8 20.0 20.5.问在0.05显著性水平下,这天生产的表壳的均值是否正常?解：待检验的假设为 0:H20 选择统计量xUn 当0H成立时,U0,1N 取拒绝域 w=|1.960U 经计算 41119.954iixx19.95200.1121.960UU 接受0H,即认为表壳的均值正常.九 7、某切割机在正常工作时,切割得每段金属棒长服从正态分布,且其平均长度为 10.5cm,标准差为 0.15cm.今从一批产品中随机抽取16段进行测量,计算平均长度为x=

15、10.48cm.假设方差不变,问在0.05显著性水平下,该切割机工作是否正常?解：待检验的假设为 0:H10.5选择统计量xUn 当0H成立时,U 0,1N0.025|0.05P Uu 取拒绝域 w=|1.960U 由已知10.48 10.580.5330.151541.960 xUnU 接受0H,即认为切割机工作正常.九 8、某厂生产某种零件,在正常生产的条件下,这种零件的周长服从正态分布,均值为 0.13 厘米.如果从某日生产的这种零件中任取 9 件测量后得x=0.146 厘米,S=0.016 厘米.问该日生产的零件的平均轴长是否与往日一样？.6/8 0.050.050.0250.05,(

16、9)2.262,(8)2.306,1.96ttu已知：解：待检验的假设为 0:H0.13选择统计量xTSn 当0H成立时,Tt 0.05|(8)0.05P Tt 取拒绝域 w=|2.306T 由已知 0.1460.1330.01632.306xTSnT 拒绝0H,即认为该生产的零件的平均轴长与往日有显著差异.九、某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是 1120 小时,现从一批新生产的灯泡中抽取 9 个样本,测得其平均寿命为1070 小时,样本标准差109S 小时.问在0.05显著性水平下,检测灯泡的平均寿命有无显著变化？解：待检验的假设为 0:H1120 选择统计量xTSn 当0H成立时,Tt 0.05

17、|(8)0.05P Tt 取拒绝域 w=|2.306T 由已知 1070 11201.37610932.306xTSnT 接受0H,即认为检测灯泡的平均寿命无显著变化.九、正常人的脉搏平均为 72 次/分,今对某种疾病患者 9 人,测得其脉搏为次/分：68 65 77 70 64 69 72 62 71 设患者的脉搏次数X服从正态分布,经计算得其标准差为 4.583.试在显著水平=0.05 下,检测患者的脉搏与正常人的脉搏有无显著差异？0.050.050.025(8)=2.306,(9)=2.262,1.960)ttU已知：解：待检验的假设为 0:H72 选择统计量xTSn 当0H成立时,T 8t.7/8 取拒绝域 w=|2.306T 经计算91168.6679iixx 68.667722.1824.58332.306xTSnT 接受0H,检测者的脉搏与正常的脉搏无显著差异.