共形映射学习.pptx

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1、1一、重点与难点重点：重点：难点：难点：分式线性变换及其映射特点分式线性变换与初等函数相结合，求一些简单区域之间的映射第1页/共33页2二、内容提要共形映射共形映射分式线性映射分式线性映射一一对应性一一对应性保角性保角性保圆性保圆性几个初等几个初等函数构成函数构成的映射的映射分分式式线线性性映映射射的的确确定定对对确确定定区区域域的的映映射射保对称性保对称性 幂幂函函数数指指数数函函数数第2页/共33页3 1.1.的几何意义正向之间的夹角.第3页/共33页4的一条有向光滑曲线之间的夹角之间的夹角.第4页/共33页5 2)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.3)保角性保角性方向不变的性质

2、方向不变的性质,此性质称为保角性此性质称为保角性.夹角在其大小和方向上都等同于经过第5页/共33页6 4）伸缩率方向无关.所以这种映射又具有伸缩率的不变性伸缩率的不变性.第6页/共33页72.共形映射（保角映射）共形映射（保角映射）也称为也称为第一类共形映射第一类共形映射.仅保持夹角的绝对值不变而方向相反的映射,称为第二类共形映射第二类共形映射质质:(1)保角性保角性;(2)伸缩率不变性伸缩率不变性.第7页/共33页8称为称为分式线性映射分式线性映射.任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的分式映射复合而成:3.分式线性映射第8页/共33页9 分式线性映射的性质1）分式线性映射在扩充复平面上

3、一一对应）分式线性映射在扩充复平面上一一对应.2）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性.第9页/共33页10 2.如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周;如果有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线.分式线性映射将扩充分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射平面上的圆周映射成成扩充扩充w平面上的圆周平面上的圆周,即具有保圆性即具有保圆性.3）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性注意：注意：1.此时把直线看作是经过无穷远点的圆周.第10页/共33页11 4）分式线性映射具有保对称性.这一

4、性质称为保对称性保对称性.第11页/共33页124.唯一决定分式线性映射的条件交比不变性第12页/共33页13判别方法判别方法:对确定区域的映射对确定区域的映射 在分式线性映射下,C的内部不是映射成方法1 在分式线性映射下,如果在圆周C内任取 若绕向相反,则C方法2第13页/共33页14圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所2)当二圆周上有一点映射成无穷远点时,这二围成的区域.3)当二圆交点中的一个映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.1)当二圆周上没有点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域.分式线性映射对圆弧边界区域的映射分式线性映射对圆弧

5、边界区域的映射:第14页/共33页15 5.几个初等函数所构成的映射映射特点映射特点:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成为原来的 n 倍.第15页/共33页16特殊地特殊地:因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利用幂函数 所构成的共形映射.0第16页/共33页1700如果要把带形域映射成角形域如果要把带形域映射成角形域,常利用指数函数常利用指数函数.0特殊地:0映射特点映射特点:第17页/共33页18三、典型例题解解1 1 利用分式线性映射不变交比和对称点利用分式线性映射不变交比和对称点第18页/共33页19 由交比不变性知第19页/共33页20 解2由对称点的不

6、变性知，利用不变对称点利用不变对称点第20页/共33页21解3 3将所求映射设为利用典型区域映射公式利用典型区域映射公式第21页/共33页22例例2 2 求一个分式线性映射 它将圆 映成圆 ,且满足条件 解解因 映成 的映射为第22页/共33页23第23页/共33页24例例3 3 求一个分式线性映射 它将圆 映成圆 ，且满足条件 解解第24页/共33页25与 互为反函数，第25页/共33页26故第26页/共33页27 解解第27页/共33页28例例5 5 试证明在映射 下,互相正交的直线族 与 依此映射成互相正交的直线族与圆族 证证第28页/共33页29由于过原点的直线与以原点为心的圆正交，故命题得证.证毕第29页/共33页30 例6 6 试将如图所示的区域映射到上半平面试将如图所示的区域映射到上半平面.由分式线性映射的保圆性知：将铅直带形域第30页/共33页31为所求映射.第31页/共33页32放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.第32页/共33页33感谢您的观看。第33页/共33页