曲线积分重修.pptx

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1、会计学1曲线积分重修曲线积分重修2.定义定义 设设L为为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数面内的一条光滑曲线弧，函数 f(x，y)在在L上有界。若对上有界。若对L的任意分割和对局部的任意取点，的任意分割和对局部的任意取点，乘积的和式乘积的和式 的极限总存在，的极限总存在，则则称此极限为函数称此极限为函数f(x,y)在曲线弧在曲线弧L上对弧长的曲线积分上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作或第一类曲线积分，记作 其中其中f(x，y)叫做被积函数，叫做被积函数，L叫做积分弧段。叫做积分弧段。依上定义，有依上定义，有 第1页/共36页3几点说明几点说明（3）如）如L是光滑的或分段光滑的简单闭曲线，常

2、记作：是光滑的或分段光滑的简单闭曲线，常记作：（2）定义可推广到空间的曲线）定义可推广到空间的曲线上的曲线积分上的曲线积分（1）f(x，y)在在L上连续，上连续，第2页/共36页4对弧长的曲线积分的性质对弧长的曲线积分的性质（1）关于被积函数的线性性质）关于被积函数的线性性质（2）对于路径的可加性）对于路径的可加性（3）无方向性）无方向性其中其中L=L1+L2第3页/共36页（4）对称性）对称性 1)如如L关于关于y轴对称，轴对称，L1是是L的右半支，则的右半支，则当当L关于关于x轴对称时有类似的结论。轴对称时有类似的结论。第4页/共36页5.对弧长的曲线积分的计算方法对弧长的曲线积分的计算方

3、法 1)定理定理 设设L的参数方程为的参数方程为 :计算方法：化为对参数的定积分，计算方法：化为对参数的定积分，“一代一代”：将：将x=(t),y=(t),代入被积函数代入被积函数f(x，y)；“三定限三定限”：下限小上限大。：下限小上限大。“二换二换”：将：将ds换成换成“一代二换三定限一代二换三定限”第5页/共36页2)几种变形几种变形如如L：y=y(x)，axb则则如如L：x=x(y)，cyd则则如如 第6页/共36页3)举例举例 例例1.1.计计算算其中其中 L 是抛物线是抛物线与点与点 B(1,1)之间的一段弧之间的一段弧.解解:上点上点 O(0,0)第7页/共36页解：解：ds=a

4、d aOxy第8页/共36页A(0,1,1)，B(1,3,1)解：解：的的参参数数方方程程为为x=t，y=1+2t，z=12t。(0t1)第9页/共36页例例4 填空填空 L的长度为的长度为a解解(1)：又又L关于关于x轴对称，而轴对称，而sin(xy)关于关于y为奇函数，所以为奇函数，所以 于是于是 I=12a。即即3x2+4y2=12，所以，所以第10页/共36页例例5.设设 C 是下列曲线是下列曲线所围区域的边界所围区域的边界,求求解解:分段积分分段积分第11页/共36页IIII、对、对坐标的曲线积分坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质 1对坐

5、标的曲线积分的定义对坐标的曲线积分的定义 定定义义 设设L为为xOy面面内内从从点点A到到点点B的的一一条条有有向向光光滑滑曲曲线弧，函数线弧，函数P(x，y)、Q(x，y)在在L上有界。上有界。总存在，则称此极限为函数总存在，则称此极限为函数P(x，y)在有向曲线弧在有向曲线弧L上对坐标上对坐标x的曲线积分，记作的曲线积分，记作 若对若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点的任意分割和在局部弧段上任意取点,极限极限第12页/共36页则称此极限为函数则称此极限为函数Q(x，y)在有向曲线弧在有向曲线弧L上对坐标上对坐标y的曲线积分，记作的曲线积分，记作 其中其中P(x,y)、Q(x,y)叫做

6、被积函数，叫做被积函数，L叫做积分弧段。叫做积分弧段。即即 以上两个积分也称为第二类曲线积分。以上两个积分也称为第二类曲线积分。第13页/共36页2几点说明几点说明（1）可积性）可积性（2）组合型）组合型（3）可推广到空间曲线的情形）可推广到空间曲线的情形第14页/共36页第15页/共36页3性质性质（2）关于曲线积分路径的可加性）关于曲线积分路径的可加性其中其中L=L1+L2（方向一致）（方向一致）（3）方向性）方向性（1）关于被积函数的线性性质）关于被积函数的线性性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.第16页/共36页二、对坐标的曲线积分的计算方法二、对

7、坐标的曲线积分的计算方法 1.设设L的参数方程为的参数方程为当当参参数数t单单调调地地由由变变到到时时，点点M(x，y)从从L的的起起点点A沿沿L运动到终点运动到终点B。计算方法：化为对参数的定积分，计算方法：化为对参数的定积分，“一代二定限一代二定限”“一代一代”：将：将x=(t),y=(t)代入被积式。代入被积式。“二定限二定限”：下限：下限起点，上限起点，上限终点，不一定终点，不一定有有 第17页/共36页2几种变形几种变形（1）L由由y=y(x)给出时，将给出时，将x视作参数视作参数a对应对应L的起点，的起点，b对应对应L的终点。的终点。（2）L由由x=x(y)给出时，将给出时，将y视

8、作参数。视作参数。（3）对于空间曲线）对于空间曲线第18页/共36页其中其中L为抛物线为抛物线y2=x上从点上从点A(1，1)到点到点B(1，1)的一段弧（如图）的一段弧（如图）第第二二种种方方法法：将将所所给给积积分分化化为为对对y的定积分来计算。的定积分来计算。解：第一种方法：将所给积分化为对解：第一种方法：将所给积分化为对x的定积分来计的定积分来计算算.A(1，1)B(1，1)xyO第19页/共36页例例2解解第20页/共36页例3.计算计算其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解解:(1)原式(2)原式(3)原式第21页/共36页III、格林公式及其应用格林公式及其应用

9、一一、格林公式、格林公式 1单连域与复连域单连域与复连域 设设D为平面区域，如果为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部内任一闭曲线所围的部分都属于分都属于D，则称，则称D为平面单连通区域，否则称为复为平面单连通区域，否则称为复连通区域。连通区域。D的边界曲线的边界曲线L的正向规定如下：当观察者沿的正向规定如下：当观察者沿L的这的这个方向行走时，个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在它的内在他近处的那一部分总在它的左边。左边。单连域单连域DDDD复连域复连域DLDLl第22页/共36页2格林公式格林公式 设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成，函数围成，函数P（x，y）及）及

10、Q（x，y）在）在D上具有一阶连续偏导上具有一阶连续偏导数，则有数，则有第23页/共36页3格林公式的应用举例格林公式的应用举例当当D的边界曲线由参数方程得出时，由（的边界曲线由参数方程得出时，由（4）式可求式可求D的面积。的面积。例例1（4）例如例如 椭圆椭圆(1).(1).计算平面面积计算平面面积第24页/共36页(2).(2).简化曲线积分简化曲线积分第25页/共36页 L：y=sinx从从O（0，0）到）到A（，0）。）。解解：可直接化为对可直接化为对x的定积分，但计算量的定积分，但计算量较大。这里用格林公式。较大。这里用格林公式。OA（第26页/共36页解解xyoL第27页/共36页

11、yxo第28页/共36页例例6取取适适当当的的l：x2+y2=r2，使使其其位位于于圆圆L内内，取取逆逆时时针方向针方向,则则第29页/共36页小结：小结：（1）L是是D的边界，的边界，可应用格林公式计算可应用格林公式计算（2）L不封闭时，采取不封闭时，采取“补线补线”的方法：的方法：其中其中l是包围点是包围点(x0，y0)的与的与L同向的光滑的简单闭曲线同向的光滑的简单闭曲线（3）如在）如在D上上P、Q一阶偏导连续，且处处有一阶偏导连续，且处处有 则则如如D内除点内除点M0(x0，y0)外均有外均有 第30页/共36页二二、曲线积分与路径无关的条件、曲线积分与路径无关的条件 1什么叫曲线积分

12、与路径无关什么叫曲线积分与路径无关 GyxoBA如果在区域如果在区域G内有内有显然曲线积分显然曲线积分沿沿G内任意闭曲线内任意闭曲线C的曲线积分的曲线积分在在G内与路径无关内与路径无关第31页/共36页2曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件 设开区域设开区域G是一个单连通域，函数是一个单连通域，函数P(x,y),Q(x,y)在在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 在在G内恒成立。内恒成立。的充分必要条件是等式的充分必要条件是等式在在G内与路径无关（或沿内与路径无关（或沿G内闭曲线内闭曲线的曲线积分为零）的曲线积分为零）第32页/共36页解解：例例111OACxyB（1，2）所以所以,曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关第33页/共36页例例2第34页/共36页 与与路路径径无无关关，仅仅与与起起点点 A(x1，y1)终终点点B(x2，y2)的的坐坐标标有有关关，其其中中L是是G内内以以A为为起起点点，B为为终终点点的的任任意意光光滑滑或或分分段段光光滑滑的的曲线。曲线。此时可记此时可记(x1，y1)先积先积x(x2，y1)(x2，y2)后积后积y后积后积x(x1，y2)先积先积y第35页/共36页