因子分析因子分析.pptx

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1、会计学1因子分析因子分析因子分析因子分析2 称 是不可观测的潜在因子。24个变量共享这三个因子，但是每个变量又有自己的个性，不被包含的部分，称为特殊因子。因子分析(factoranalysis)是一种数据简化的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量，而假想变量是不可观测的潜在变量，称为因子。第1页/共96页3 为了客观评价全国各地区的竞争能力水平，现选择了8项竞争力评价指标。它们是X1：城镇居民人均全年家庭可支配收入（元）X2：财政收入（万元）X

2、3：地区生产总值（亿元）X4：城市用水普及率（%）X5：城市燃气普及率（%）X6：每万人拥有公共汽车车辆（标台）X7：人均城市道路面积（平方米）X8：人均公园绿地面积（平方米）。利用因子分析法对全国31个地区的竞争力水平进行综合评价。数据文件“竞争力”第2页/共96页4 因子分析与回归分析不同，因子分析中的因子是一个比较抽象的概念，而回归因子有非常明确的实际意义；主成分分析分析与因子分析也有不同，主成分分析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因子模型。主成分分析:原始变量的线性组合表示新的综合变量，即主成分；因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量的线性组合表示原始变量。因子分析（探索）与结构方程

3、模型（验证）第3页/共96页5第二节第二节第二节第二节 因子分析的数学模型因子分析的数学模型因子分析的数学模型因子分析的数学模型 一、数学模型一、数学模型一、数学模型一、数学模型 1.R型因子分析数学模型（按列）设 个变量，如果表示为第4页/共96页6 称为 公共因子，是不可观测的变量，他们的系数称为因子载荷。是特殊因子，是不能被前m个公共因子包含的部分。并且满足：，即不相关；即 互不相关，方差为1。第5页/共96页7即互不相关，方差不一定相等，。第6页/共96页8 2.Q型因子分析数学模型(按行）设 个样品，如果表示为第7页/共96页9 称为 公共因子，是不可观测的变量，他们的系数称为因子载

4、荷。是特殊因子，是不能被前m个公共因子包含的部分。并且满足：即不相关；即 互不相关，方差为1。第8页/共96页10即互不相关，方差不一定相等，。第9页/共96页11 二、因子分析中的几个统计特征二、因子分析中的几个统计特征 1 1、因子载荷的统计意义、因子载荷的统计意义 因子载荷 是第i个变量与第j个公共因子的相关系数模型为 在上式的左右两边乘以,再求数学期望 根据公共因子的模型性质，有 （载荷矩阵中第i行，第j列的元素）反映了第i个变量与第j个公共因子的相关重要性。绝对值越大，相关的密切程度越高。第10页/共96页12 2 2、变量共同度的统计意义、变量共同度的统计意义定定义义：变量 的共同

5、度是因子载荷矩阵的第i行的元素的平方和。记为统计意义统计意义：两边求方差 所有的公共因子和特殊因子对变量 的贡献为1。如果 非常靠近1，非常小，则因子分析的效果好，从原变量空间到公共因子空间的转化性质好。第11页/共96页13 3 3、公共因子、公共因子 方差贡献的统计意义方差贡献的统计意义因子载荷矩阵中各列元素的平方和 称为 对 的方差贡献和。衡量 的相对重要性。第12页/共96页14（三）因子分析模型的性（三）因子分析模型的性质质1、原始变量、原始变量X的协方差矩阵的分解的协方差矩阵的分解D的主对角线上的元素值越小，则公共因子共享的成分越多。第13页/共96页152 2、模型不受计量单位的

6、影响、模型不受计量单位的影响、模型不受计量单位的影响、模型不受计量单位的影响 将原始变量X做变换X*=CX,这里 Cdiag(c1,c2,cn),ci0。第14页/共96页16原始变量变换后的因子也满足条件因子模型的条件第15页/共96页17 3 3、因子载荷不是惟一的、因子载荷不是惟一的、因子载荷不是惟一的、因子载荷不是惟一的 设T为一个pp的正交矩阵，令A*=AT，F*=TF，则模型可以表示为第16页/共96页18新的因子也满足条件因子模型的条件第17页/共96页19第三节第三节第三节第三节 因子载荷矩阵的估计方法因子载荷矩阵的估计方法因子载荷矩阵的估计方法因子载荷矩阵的估计方法 设随机向

7、量设随机向量 的均值为的均值为 ，协方差为，协方差为 ,为为 的特征根，的特征根，为对应的为对应的标准化特征向量。标准化特征向量。一、主成分法一、主成分法第18页/共96页20 上式给出的上式给出的 表达式是精确的，然而它实际上是毫表达式是精确的，然而它实际上是毫无价值的，因为我们的目的是寻求用少数几个公共因无价值的，因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子解释。考虑到后面的特征根均非常小，故略去后面子解释。考虑到后面的特征根均非常小，故略去后面的的p-mp-m项的贡献。项的贡献。第19页/共96页21 第20页/共96页22 例 假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率，失业率，相关系数矩阵为试用

8、主成分分析法求因子分析模型。第21页/共96页23 特征根为特征根为：第22页/共96页24 可取前两个因子可取前两个因子F1F1和和F F2 2为公共因子，第一公因子为公共因子，第一公因子F F1 1物价就业因子，对物价就业因子，对X X的贡献为的贡献为1.551.55。第一公因子。第一公因子F F2 2为投资因子，对为投资因子，对X X的贡献为的贡献为0.850.85。第23页/共96页25二、主因子法二、主因子法二、主因子法二、主因子法 主因子方法是对主成分方法的修正，假定我们首先对变量进行标准化变换。则 R=AA+D R*=AA=R-D称R*为约相关矩阵，R*对角线上的元素是 ,而不是

9、1。即第24页/共96页26第25页/共96页27我们在前面已经讨论了因子载荷矩阵A的列平方和是第26页/共96页28 称Sj为Fj对所有的Xi（i=1，2，p)的方差贡献，用来衡量Fj的相对重要性。因此我们希望先求出贡献大的因子，然后在依次求出贡献相对较小的因子。由因子模型可知R*=AA,即即 为为R*=AA中中的的元元素素,ai(i=1，2，p)是载荷矩阵的第是载荷矩阵的第i行。行。第27页/共96页29 设设使使S S1 1最最大大的的向向量量为为 ，显显然向量必须满足然向量必须满足p p2 2个约束条件，个约束条件，因因此此这这是是一一个个条条件件极极值值的的问问题题，用用拉拉格格朗朗

10、日日乘乘数数法有目标函数法有目标函数第28页/共96页30 可以证明，使目标函数T最大的S S1 1是R*=AA的最大的特征根，其单位特征向量为u1，有 即列平方和是第一个最大的特征根。类推，在不同的约束条件下，可以求的载荷矩阵的其他列，一次为按降幂排列的特征根，其列为 。第29页/共96页31 若 ，。而有非零特征根对应得特征向量分别为第30页/共96页32直接求R*的前p个特征根和对应的正交特征向量。得如下的矩阵：第31页/共96页33第32页/共96页34 当特殊因子当特殊因子 的方差的方差已知，问题非常好解决。第33页/共96页35第34页/共96页36 在在实实际际的的应应用用中中，

11、个个性性方方差差矩矩阵阵一一般般都都是是未未知知的的，可可以以通通过过一一组组样样本本来来估估计计。估估估估计的计的计的计的方法有如下几种：方法有如下几种：方法有如下几种：方法有如下几种：首先，求 的初始估计值，构造出1）取 ，在这个情况下主因子解与主成分解等价；第35页/共96页372）取，为xi与其他所有的原始变量xj的复相关系数的平方，即xi对其余的p-1个xj的回归方程的判定系数，这是因为xi与公共因子的关系是通过其余的p-1个xj的线性组合联系起来的；3）取 ,这意味着取xi与其余的xj的简单相关系数的绝对值最大者；4）取 ，其中 是 的对角元素。第36页/共96页38 假定某地固定

12、资产投资率假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率，通货膨胀率 ，失业率，失业率 ，相关系数矩阵为相关系数矩阵为试用主因子分析法求因子分析模型。假定用试用主因子分析法求因子分析模型。假定用代替初始的代替初始的 ，。第37页/共96页39特征根为：对应的非零特征向量为：第38页/共96页40第39页/共96页41 第四节第四节第四节第四节 因子旋转（正交变换）因子旋转（正交变换）因子旋转（正交变换）因子旋转（正交变换）建建立立了了因因子子分分析析数数学学目目的的不不仅仅仅仅要要找找出出公公共共因因子子以以及及对对变变量量进进行行分分组组，更更重重要要的的要要知知道道每每个个公公共共因因子子的的意意义

13、义，以以便便进进行行进进一一步步的的分分析析，如如果果每每个个公公共共因因子子的的含含义义不不清清，则则不不便便于于进进行行实实际际背背景景的的解解释释。由由于于因因子子载载荷荷阵阵是是不不惟惟一一的的，所所以以应应该该对对因因子子载载荷荷阵阵进进行行旋旋转转。目目的的是是使使因因子子载载荷荷阵阵的的结结构构简简化化，使使载载荷荷矩矩阵阵每每列列或或行行的的元元素素平平方方值值向向0 0和和1 1两两极极分分化化。有有三三种种主主要要的的正正交交旋旋转转法法。四四次次方方最最大大法法、方方差差最最大大法法和和等等量量最最大大法。法。一、为什么要旋转因子一、为什么要旋转因子第40页/共96页42

14、图1因素载荷图图2坐标轴旋转载荷图直角坐标系由两个因子张成。x1x2x5x9x4x3x7x8x10 x6第41页/共96页43 因素旋转的目的是想通过改变坐标轴的位置，重新分配各个因素所解释变异的比例，使因素结构更为简单，更易于解释。因素旋转不会改变模型对数据的拟合程度，也不会改变每个变量的共通性，但却会改变因素的变异数贡献。所谓简单的因素结构是指每个变量在尽可能少的因素上有比较高的负荷。以因素为轴，因素负荷为坐标而做图，则每个变量是该空间中的一个点，该图称为因素负荷图。如图1和图2所示。第42页/共96页44 百米跑成绩 跳远成绩 铅球成绩 跳高成绩 400米跑成绩 百米跨栏 铁饼成绩 撑杆

15、跳远成绩 标枪成绩 1500米跑成绩奥运会十项全能运动项目奥运会十项全能运动项目得分数据的因子分析得分数据的因子分析第43页/共96页45第44页/共96页46 因子载荷矩阵可以看出，除第一因子在所有的变量在公共因子上有较大的正载荷，可以称为一般运动因子。其他的3个因子不太容易解释。似乎是跑和投掷的能力对比，似乎是长跑耐力和短跑速度的对比。于是考虑旋转因子，得下表第45页/共96页47第46页/共96页48 通过旋转，因子有了较为明确的含义。百米跑，跳远和 400米跑，需要爆发力的项目在 有较大的载荷，可以称为短跑速度因子；铅球，铁饼和 标枪在 上有较大的载荷，可以称为爆发性臂力因子；百米跨栏

16、，撑杆跳远，跳远和为 跳高在 上有较大的载荷，爆发腿力因子；长跑耐力因子。第47页/共96页491 1、变换后因子的共同度、变换后因子的共同度、变换后因子的共同度、变换后因子的共同度设设 正交矩阵，做正交变换，正交矩阵，做正交变换，正交矩阵，做正交变换，正交矩阵，做正交变换，B B是新的载荷矩阵是新的载荷矩阵是新的载荷矩阵是新的载荷矩阵（二）旋转方法（二）旋转方法ai是A第i行，rj是 的第j列。第48页/共96页50变换后因子的共同度没有发生变化！变换后因子的共同度没有发生变化！第49页/共96页512 2、变换后因子贡献、变换后因子贡献、变换后因子贡献、变换后因子贡献设 正交矩阵，做正交变

17、换正交矩阵，做正交变换变换后因子的贡献发生了变化！变换后因子的贡献发生了变化！第50页/共96页52 方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一列方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一列出发，使载荷矩阵每列的元素向两极（出发，使载荷矩阵每列的元素向两极（0 0或或1 1）分划，或等价的使载荷矩阵每列的元素）分划，或等价的使载荷矩阵每列的元素平方的方差最大。因为当只有少数几个变量平方的方差最大。因为当只有少数几个变量在某个因子上又较高的载荷时，对因子的解在某个因子上又较高的载荷时，对因子的解释最简单。释最简单。（1）方差最大法）方差最大法3、旋转方法第51页/共96页53第52页/共96页54第53页/共9

18、6页55第54页/共96页56第55页/共96页57第56页/共96页58 四次方最大旋转是从简化载荷矩阵的行出发，四次方最大旋转是从简化载荷矩阵的行出发，四次方最大旋转是从简化载荷矩阵的行出发，四次方最大旋转是从简化载荷矩阵的行出发，通过旋转初始因子，使每个变量只在一个因子上又较通过旋转初始因子，使每个变量只在一个因子上又较通过旋转初始因子，使每个变量只在一个因子上又较通过旋转初始因子，使每个变量只在一个因子上又较高的载荷，而在其它的因子上尽可能低的载荷。如果高的载荷，而在其它的因子上尽可能低的载荷。如果高的载荷，而在其它的因子上尽可能低的载荷。如果高的载荷，而在其它的因子上尽可能低的载荷。

19、如果每个变量只在一个因子上又非零的载荷，这是的因子每个变量只在一个因子上又非零的载荷，这是的因子每个变量只在一个因子上又非零的载荷，这是的因子每个变量只在一个因子上又非零的载荷，这是的因子解释是最简单的。解释是最简单的。解释是最简单的。解释是最简单的。四次方最大法通过使因子载荷矩阵中每一行的因四次方最大法通过使因子载荷矩阵中每一行的因四次方最大法通过使因子载荷矩阵中每一行的因四次方最大法通过使因子载荷矩阵中每一行的因子载荷平方的方差达到最大。子载荷平方的方差达到最大。子载荷平方的方差达到最大。子载荷平方的方差达到最大。(2)四次方最大旋转四次方最大旋转第57页/共96页59第58页/共96页6

20、0 等量最大法把四次方最大法等量最大法把四次方最大法和方差最大法结合起来求和方差最大法结合起来求Q Q和和V V的的加权平均最大。加权平均最大。权数等于m/2，与因子数有关。(3)等量最大法 最终的简化规则为：最终的简化规则为：第59页/共96页61(4)旋转的步骤旋转的步骤 当公共因子数当公共因子数m2m2时，我们可以逐次对每两个公共时，我们可以逐次对每两个公共因子进行上述的旋转，一轮两列配对，旋转共因子进行上述的旋转，一轮两列配对，旋转共m(m-m(m-1)/21)/2次，记旋转矩阵为次，记旋转矩阵为T T1 1。然后进行第二轮，记旋转。然后进行第二轮，记旋转矩阵为矩阵为T T2 2。如此

21、类推记下第如此类推记下第s s轮的因子旋转矩阵，如轮的因子旋转矩阵，如果记果记V Vs s是每轮的各列元素平方的相对方差之和，则是每轮的各列元素平方的相对方差之和，则必然有，必然有，V V1 1 V V2 2 V Vs s1 1 当当V Vs s 收敛了，或稳定了，则旋转停止了。旋转矩收敛了，或稳定了，则旋转停止了。旋转矩阵阵 则是这矩阵则是这矩阵T T1 1，T T2 2，T Ts s1 1和和 T Ts s 的乘积。的乘积。第60页/共96页62第i列和第j列的旋转矩阵第61页/共96页63 第五节第五节第五节第五节 因子得分因子得分因子得分因子得分 （一）因子得分的概念（一）因子得分的概

22、念（一）因子得分的概念（一）因子得分的概念 前前面面我我们们主主要要解解决决了了用用公公共共因因子子的的线线性性组组合合来来表表示示一一组组观观测测变变量量的的有有关关问问题题。如如果果我我们们要要使使用用这这些些因因子子做做其其他他的的研研究究，比比如如把把得得到到的的因因子子作作为为自自变变量量来来做做回回归归分分析析，对对样样本本进进行行分分类类或或评评价价，这这就就需需要要我我们们对对公公共共因因子子进进行行测测度度，即给出公共因子的值。即给出公共因子的值。第62页/共96页64 人人均均要要素素变变量量因因子子分分析析。对我国31个省市自治区的要素状况作因子分析。指标体系中有如下指标

23、：X1：人口（万人）X2：面积（万平方公里）X3：GDP（亿元）X4：人均水资源（立方米/人）X5：人均生物量（吨/人）X6：万人拥有的大学生数（人）X7：万人拥有科学家、工程师数（人）Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 -0.21522 -0.27397 0.89092 X2 0.63973 -0.28739 -0.28755 X3 -0.15791 0.06334 0.94855 X4 0.95898 -0.01501 -0.07556 X5 0.97224 -0.06778 -0.17535 X6 -0.11416 0.98

24、328 -0.08300 X7 -0.11041 0.97851 -0.07246第63页/共96页65高载荷指标因子命名因子1X2；面积（万平方公里）X4:人均水资源（立方米/人）X5:人均生物量（吨/人）自然资源因子因子2X6：万人拥有的大学生数（人）X7：万人拥有的科学家、工程师数（人）人力资源因子因子3X1;人口（万人）X3:GDP(亿元)经济发展总量因子 X1=-0.21522F1-0.27397F2+0.89092F3 X2=0.63973F1-0.28739F2-0.28755F3 X3=-0.15791F1+0.06334F2+0.94855F3 X4=0.95898F1-0.

25、01501F2-0.07556F3 X5=0.97224F1-0.06778F2-0.17535F3 X6=-0.11416F1+0.98328F2-0.08300F3 X7=-0.11041F1+0.97851F2-0.07246F3第64页/共96页66 Standardized Scoring Coefficients Standardized Scoring Coefficients FACTOR1FACTOR1 FACTOR2 FACTOR2 FACTOR3FACTOR3 X1 X1 0.057640.05764 -0.06098-0.06098 0.503910.50391 X2

26、X2 0.227240.22724 -0.09901-0.09901 -0.07713-0.07713 X3 X3 0.146350.14635 0.129570.12957 0.597150.59715 X4 X4 0.479200.47920 0.112280.11228 0.170620.17062 X5 X5 0.455830.45583 0.074190.07419 0.101290.10129 X6 X6 0.054160.05416 0.486290.48629 0.040990.04099 X7 X7 0.057900.05790 0.485620.48562 0.048220

27、.04822F1=0.05764X1+0.22724X2+0.14635X3+0.47920X4+0.45583X5+0.05416X6+0.05790X7F1=0.05764X1+0.22724X2+0.14635X3+0.47920X4+0.45583X5+0.05416X6+0.05790X7F2=-0.06098X1-0.09901X2+0.12957X3+0.11228X4+0.07419X5+0.48629X6+0.48562X7F2=-0.06098X1-0.09901X2+0.12957X3+0.11228X4+0.07419X5+0.48629X6+0.48562X7F3=0

28、.50391X1-0.07713X2+0.59715X3+0.17062X4+0.10129X5+0.04099X6+0.04822X7F3=0.50391X1-0.07713X2+0.59715X3+0.17062X4+0.10129X5+0.04099X6+0.04822X7第65页/共96页67REGION FACTOR1FACTOR2FACTOR3beijing-0.081694.23473-0.37983tianjin-0.474221.31789-0.87891hebei-0.22192-0.358020.86263shanxi1-0.48214-0.32643-0.54219ne

29、imeng0.54446-0.66668-0.92621liaoning-0.205110.463770.34087jilin-0.214990.10608-0.57431heilongj 0.10839-0.11717-0.02219shanghai-0.200692.38962-0.04259前三个因子得分第66页/共96页68 因子分析的数学模型为：原变量被表示为公共因子的线性组合，当载荷矩阵旋转之后，公共因子可以做出解释，通常的情况下，我们还想反过来把公共因子表示为原标量的线性组合。因子得分函数：可见，要求得每个因子的得分，必须求得分函数的系数，而由于pm，所以不能得到精确的得分，只能

30、通过估计。第67页/共96页73 2 2、回归、回归、回归、回归方法方法方法方法 1)思想第72页/共96页74 则，我们有如下的方程组：第73页/共96页75j=1,2,m第74页/共96页76第75页/共96页77第76页/共96页81国民生活质量的因素分析 国国家家发发展展的的最最终终目目标标，是是为为了了全全面面提提高高全全体体国国民民的的生生活活质质量量，满满足足广广大大国国民民日日益益增增长长的的物物质质和和文文化化的的合合理理需需求求。在在可可持持续续发发展展消消费费的的统统一一理理念念下下，增增加加社社会会财财富富，创创自自更更多多的的物物质质文文明明和和精精神神文文明明，保保

31、持持人人类类的的健健康康延延续续和和生生生生不不息息，在在人人类类与与自自然然协协同同进进化化的的基基础础上上，维维系系人人类类与与自自然然的的平平衡衡，达达到到完完整整的的代代际际公公平平和和区区际际公公平平(即即时时间间过过程程的的最最大大合理性与空间分布的最大合理化合理性与空间分布的最大合理化)。从从19901990年年开开始始，联联合合国国开开发发计计划划署署(UYNP)(UYNP)首首次次采采用用“人人文文发发展展系系数数”指指标标对对于于国国民民生生活活质质量量进进行行测测度度。人人文文发发展展系系数数利利用用三三类类内内涵涵丰丰富富的的指指标标组组合合，即即人人的的健健康康状状况

32、况(使使用用出出生生时时的的人人均均预预期期寿寿命命表表达达)、人人的的智智力力程程度度(使使用用组组合合的的教教育育成成就就表表达达)、人人的的福福利利水水平平(使使用用人人均均国国民民收收入入或或人人均均GDPGDP表表达达)，并并且且特特别别强强调调三三类类指指标标组组合合的的整整体体表表达达内内涵涵，去去衡衡量量一一个个国国家家或或地地区区的的社社会会发发展展总总体体状状况况以以及及国国民民生生活活质量的总水平。质量的总水平。第80页/共96页82在这个指标体系中有如下的指标：在这个指标体系中有如下的指标：X X1 1预期寿命预期寿命X X2 2成人识字率成人识字率X X3 3综合入学

33、率综合入学率X X4 4人均人均GDPGDP（美圆）（美圆）X X5 5预期寿命指数预期寿命指数X X6 6教育成就指数教育成就指数X X7 7人均人均GDPGDP指数指数第81页/共96页83 旋转后的因子结构旋转后的因子结构 Rotated Factor Pattern Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 0.38129 0.41765 X1 0.38129 0.41765 0.817140.81714 X2 0.12166 X2 0.12166 0.848280.84828 0

34、.45981 0.45981 X3 0.64803 X3 0.64803 0.618220.61822 0.22398 0.22398 X4 X4 0.904100.90410 0.20531 0.34100 0.20531 0.34100 X5 0.38854 0.43295 X5 0.38854 0.43295 0.808480.80848 X6 0.28207 X6 0.28207 0.853250.85325 0.43289 0.43289 X7 X7 0.900910.90091 0.20612 0.35052 0.20612 0.35052 FACTOR1FACTOR1为经济发展因

35、子为经济发展因子 FACTOR2FACTOR2为教育成就因子为教育成就因子 FACTOR3FACTOR3为健康水平因子为健康水平因子第82页/共96页84 被每个因子解释的方差和共同度被每个因子解释的方差和共同度 Variance explained by each factorVariance explained by each factor FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 2.439700 2.276317 2.009490 2.439700 2.276317 2.009490 Final Communality Estima

36、tes:Total=6.725507 Final Communality Estimates:Total=6.725507 X1 X2 X3 X4 X5 X1 X2 X3 X4 X5 0.987530 0.945796 0.852306 0.975830 0.992050 0.987530 0.945796 0.852306 0.975830 0.992050 X6 X7X6 X7 0.994995 0.976999 0.994995 0.976999 第83页/共96页85 Standardized Scoring Coefficients Standardized Scoring Coef

37、ficients标准化得分系数标准化得分系数 FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 -0.18875 -0.34397 0.85077 X1 -0.18875 -0.34397 0.85077 X2 -0.24109 0.60335 -0.10234 X2 -0.24109 0.60335 -0.10234 X3 0.35462 0.50232 -0.59895 X3 0.35462 0.50232 -0.59895 X4 0.53990 -0.17336 -0.10355 X4 0.53990 -0.17336 -0.10355

38、X5 -0.17918 -0.31604 0.81490 X5 -0.17918 -0.31604 0.81490 X6 -0.09230 0.62258 -0.24876 X6 -0.09230 0.62258 -0.24876 第84页/共96页86生育率的影响因素分析生育率的影响因素分析生育率的影响因素分析生育率的影响因素分析 生育率受社会、经济、文化、计划生育政策等很多生育率受社会、经济、文化、计划生育政策等很多因素影响，但这些因素对生育率的影响并不是完全独立因素影响，但这些因素对生育率的影响并不是完全独立的，而是交织在一起，如果直接用选定的变量对生育率的，而是交织在一起，如果直接用选

39、定的变量对生育率进行多元回归分析，最终结果往往只能保留两三个变量，进行多元回归分析，最终结果往往只能保留两三个变量，其他变量的信息就损失了。因此，考虑用因子分析的方其他变量的信息就损失了。因此，考虑用因子分析的方法，找出变量间的数据结构，在信息损失最少的情况下法，找出变量间的数据结构，在信息损失最少的情况下用新生成的因子对生育率进行分析。用新生成的因子对生育率进行分析。选择的变量有：多子率、综合节育率、初中以上文化选择的变量有：多子率、综合节育率、初中以上文化程度比例、城镇人口比例、人均国民收入。下表是程度比例、城镇人口比例、人均国民收入。下表是19901990年中国年中国3030个省、自治区

40、、直辖市的数据。个省、自治区、直辖市的数据。第85页/共96页87第86页/共96页88EigenvalueDifferenceProportionCumulative3.249175972.034642910.64980.64981.214533060.962968000.24290.89270.251565070.067433970.05030.94310.184131090.083536290.03680.97990.100594800.02011.0000特征根与各因子的贡献特征根与各因子的贡献第87页/共96页89Factor1Factor2x1-0.760620.55316x20.

41、56898-0.76662x30.891840.25374x40.870660.34618x50.890760.36962没有旋转的因子结构没有旋转的因子结构第88页/共96页90Factor1可解释方差Factor2可解释方差2.99754292.1642615各旋各旋转后的共同度后的共同度0.884540230.911439980.859770610.877894530.93006369第89页/共96页91在这个例子中我们得到了两个因子，第一个因子是社会经济发展水平因子，第二个是计划生育因子。有了因子得分值后，则可以利用因子得分为变量，进行其他的统计分析。Factor1Factor2x1

42、-0.35310-0.87170 x20.077570.95154x30.891140.25621x40.922040.16655x50.951490.15728Factor1Factor2x1-0.05897-0.49252x2-0.058050.58056x30.330420.03497x40.35108-0.02506x50.36366-0.03493方差最大旋转后的因子结构方差最大旋转后的因子结构标准化得分函数标准化得分函数第90页/共96页92第六节第六节第六节第六节 因子分析的步骤和建议因子分析的步骤和建议因子分析的步骤和建议因子分析的步骤和建议 计算所选原始变量的相关系数矩阵计算

43、所选原始变量的相关系数矩阵计算所选原始变量的相关系数矩阵计算所选原始变量的相关系数矩阵 相关系数矩阵描述了原始变量之间的相关关系。可以相关系数矩阵描述了原始变量之间的相关关系。可以帮助判断原始变量之间是否存在相关关系，这对因子分帮助判断原始变量之间是否存在相关关系，这对因子分析析是非常重要的，因为如果所选变量之间无关系，做因子是非常重要的，因为如果所选变量之间无关系，做因子分分析是不恰当的。并且相关系数矩阵是估计因子结构的基析是不恰当的。并且相关系数矩阵是估计因子结构的基础。础。选择分析的变量选择分析的变量用定性分析和定量分析的方法选择变量，因子分析的前提条件是观测变量间有较强的相关性，因为如

44、果变量之间无相关性或相关性较小的话，他们不会有共享因子,所以原始变量间应该有较强的相关性。一、因子分析通常包括以下五个步骤第91页/共96页93 提取公共因子提取公共因子提取公共因子提取公共因子 这一步要确定因子求解的方法和因子的个数。需要这一步要确定因子求解的方法和因子的个数。需要根据研究者的设计方案或有关的经验或知识事先确根据研究者的设计方案或有关的经验或知识事先确定。因子个数的确定可以根据因子方差的大小。只定。因子个数的确定可以根据因子方差的大小。只取方差大于取方差大于1(1(或特征值大于或特征值大于1)1)的那些因子，因为方的那些因子，因为方差小于差小于1 1的因子其贡献可能很小；按照

45、因子的累计的因子其贡献可能很小；按照因子的累计方差贡献率来确定，一般认为要达到方差贡献率来确定，一般认为要达到6060才能符合才能符合要求；要求；因子旋转因子旋转因子旋转因子旋转 通过坐标变换使每个原始变量在尽可能少的因子之通过坐标变换使每个原始变量在尽可能少的因子之间有密切的关系，这样因子解的实际意义更容易解间有密切的关系，这样因子解的实际意义更容易解释释,并为每个潜在因子赋予有实际意义的名字。并为每个潜在因子赋予有实际意义的名字。第92页/共96页94 计算因子得分计算因子得分 求出各样本的因子得分，有了因子得分值，则可以在许多分析中使用这些因子，例如以因子的得分做聚类分析的变量，做回归分

46、析中的回归因子。第93页/共96页95 二、建议二、建议二、建议二、建议 在因子分析研究中，必须做出许多决策。大概最重在因子分析研究中，必须做出许多决策。大概最重要的决策是选择公共因子数要的决策是选择公共因子数mm。最为常见的是，。最为常见的是，mm最后最后的选定基于下述考虑的综合：的选定基于下述考虑的综合：(1)(1)所解释的样本方差的比例；所解释的样本方差的比例；(2)(2)题材知识；题材知识；(3)(3)结论的结论的“合理程度合理程度”。第94页/共96页96 因子分析是十分主观的，在许多出版的资料中，因子分析模型都用少数可阐述因子提供了合理解释。实际上，绝大多数因子分析并没有产生如此明确的结果。不幸的是，评价因子分析质量的法则尚未很好量化，质量问题只好依赖一个“哇”准则 如果在仔细检查因子分析的时候，研究这能够喊出“哇，我明白这些因子”的时候，就可看着是成功运用了因子分析方法。第95页/共96页