质心学习教程.pptx

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1、1抛手榴弹的过程C COXY 质质点点系系的的质质量量中中心心，简简称称质质心心。具具有有长长度度的的量量纲纲，描描述述与与质质点点系系有有关关的的某某一一空间点的位置。空间点的位置。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。二、二、质心质心 (center of mass)(center of mass)第1页/共46页2xzyOm2r2m1r1crcmirirNmN对于对于N个质点组成的质点系个质点组成的质点系：直角坐标系中直角坐标系中第2页/共46页3直角坐标系直角坐标系下下xzyOcrcdmr面分布面分布体分布体分布线分布线分布 对于质量连续分布的物体对于

2、质量连续分布的物体第3页/共46页4注意：注意：质心的位矢与参考系的选取有关。质心的位矢与参考系的选取有关。刚体的质心相对自身位置确定不变。刚体的质心相对自身位置确定不变。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质心与重心质心与重心(center of gravity)不一样，物体尺寸不一样，物体尺寸不十分大时，不十分大时，质心与重心位置重合。质心与重心位置重合。第4页/共46页5例题例题2-12-1求腰长为求腰长为a a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。这个结果和熟知的三角形重心位置一致。三角形质心坐标三角形质心坐标x xc

3、c是xdxOxya解解:建立图示坐标,由于面积元的高度为2 2y，所以其面积为2 2yd dx=2=2xd dx。设薄板每单位面积的质量为 则此面积元的质量在离原点x处取宽度为d dx的面积元，第5页/共46页6*例例 一一段段均均匀匀铁铁丝丝弯弯成成半半圆圆形形，其其半半径径为为R R,求求此此半半圆圆形铁丝的质心。形铁丝的质心。任取一小段铁丝，其长度为dl，质量为dm，以表示铁丝的线密度解：建立如图坐标系第6页/共46页7*例 确定半径为R的均质半球的质心位置。解：建立如图所示坐标已知薄圆盘的质心位于圆心，取厚度为dy的薄圆盘为质量微元。RxyOdy质 心 在 距 球 心3R/8处。第7页

4、/共46页8 设设有有一一个个质质点点系系，由由 个个质质点点组组成成，它它的的质质心的位矢是：心的位矢是：质心的速度为质心的速度为三、三、质心运动定理质心运动定理第8页/共46页9质心的加速度质心的加速度为由牛顿第二定律由牛顿第二定律得第9页/共46页10对于内力质心运质心运动定理动定理不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在物体不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全部的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质点的运动一样。个质点的运动一样。第10页/

5、共46页11第11页/共46页122-2 2-2 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律牛顿第二定律的微分形式牛顿第二定律的微分形式考虑一过程，时间从考虑一过程，时间从t t1 1-t t2 2，两端积分两端积分一、一、动量定理动量定理(theorem of momemtum)左侧积分表示力对时间的累积量，叫做左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量冲量(impulse)(impulse)。于是得到积分形式于是得到积分形式第12页/共46页13 这这就就是是质质点点的的动动量量定定理理：物物体体在在运运动动过过程程中中所所受受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。到的合外力的冲量，等于该物

6、体动量的增量。动量定理的几点说明：动量定理的几点说明：(1)(1)冲量的方向：冲量的方向：冲量 的方向一般不是某一瞬时力 的方向，而是所有元冲量 的合矢量 的方向。(2)(2)在直角坐标系中在直角坐标系中第13页/共46页14(3)(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。打打击击或或碰碰撞撞，力力 的的方方向向保保持持不不变变，曲曲线线与与t t轴轴所所包包围围的的面面积积就就是是t t1 1到到t t2 2这这段段时时间间内内力力 的的冲冲量量的的大大小小，根根据据改改变变动动量量的的等等效效性性，得到平均力。得到平均力。将积分用平将积分用平均力

7、代替均力代替动量定动量定理写为理写为平均力写为平均力写为平均力大小：平均力大小：第14页/共46页15例 动量定理解释了“逆风行舟”船前进方向风吹来取一小块风dm为研究对象初末由牛顿第三定律前进方向风对帆的冲量大小方向与 相反第15页/共46页16例例题题2-22-2 质质量量m m=3t=3t的的重重锤锤，从从高高度度h h处处自自由由落落到到受受锻锻压压的的工工件件上上，工工件件发发生生形形变变。如如果果作作用用的的时时间间(1)(1)t t，(2)(2)t t=0.01s=0.01s。试求锤对工件的平均冲力。试求锤对工件的平均冲力。解：解：以重锤为研究对象，分析受力，作受力图以重锤为研究

8、对象，分析受力，作受力图：解解法法一一：锤锤对对工工件件的的冲冲力力变变化化范范围围很很大大，采采用用平平均均冲冲力力计计算算，其其反作用力用平均支持力代替。反作用力用平均支持力代替。在竖直方向利用动量定理，取竖直在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。向上为正。初状态动量为初状态动量为末状态动量为末状态动量为0 0第16页/共46页17得得到到解得解得代入代入m m、h h、t t的值，求得：的值，求得：(1)(1)(2)(2)第17页/共46页18 解解法法二二：考考虑虑从从锤锤自自由由下下落落到到静静止止的的整整个个过程，动量变化为零。过程，动量变化为零。重力作用时间重力作用时间为为支持

9、力的作用时间为支持力的作用时间为t t根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，得到解法一相同的结果得到解法一相同的结果即即第18页/共46页19例例题题2-3 2-3 一一绳绳跨跨过过一一定定滑滑轮轮，两两端端分分别别拴拴有有质质量量为为m m及及的的mm物物体体A A和和B B，mm大大于于m m。B B静静止止在在地地面面上上，当当A A自自由由下下落落距距离离h h后后，绳绳子子才才被被拉拉紧紧。求求绳绳子子刚刚被被拉紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。拉紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。mmBAh解解：以以物物体体A A和和B B为为系

10、系统统作作为为研研究究对对象象，采采用用隔隔离离法法分分析析受受力力，作出绳拉紧时的受力图：作出绳拉紧时的受力图：AB 绳绳子子刚刚好好拉拉紧紧前前的的瞬瞬间间，物体物体A A的速度为：的速度为：取竖直向上为正方向。取竖直向上为正方向。第19页/共46页20 绳绳子子拉拉紧紧后后，经经过过短短暂暂时时间间的的作作用用，两两物物体体速速率相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：率相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：忽略重力，考虑到绳不可伸长，有：忽略重力，考虑到绳不可伸长，有：解得：解得：当物体当物体B B上升速度为零时，达到最大高度上升速度为零时，达到最大高度第20页/共46页21例题2-

11、42-4 矿砂从传送带矿砂从传送带A A落到另一传送带落到另一传送带B B，其速度，其速度v v1 1=4m/s=4m/s，方向与竖直方向成，方向与竖直方向成3030角，而传送带角，而传送带B B与水与水平成平成1515角，其速度角，其速度v v2 2=2 m/s=2 m/s如传送带的运送量恒如传送带的运送量恒定，设为定，设为k k=20 kg/s=20 kg/s，求落到传送带，求落到传送带B B上的矿砂在落上上的矿砂在落上时所受到的力时所受到的力解解:设在某极短的时间设在某极短的时间t t内落在传送带上矿砂的质量内落在传送带上矿砂的质量为为m m，即，即m m=k kt t，这些矿砂动量的增

12、量为，这些矿砂动量的增量为第21页/共46页22于是于是其量值可用矢量差方法求得其量值可用矢量差方法求得 设这些矿砂在设这些矿砂在tt时间内的平均作用力为时间内的平均作用力为F F，根，根据动量定理，据动量定理，作用力作用力F F的方向与的方向与(mv)(mv)的方向相同，图的方向相同，图(b)(b)中的中的角可由下式求得：角可由下式求得：第22页/共46页232.2.2.2.变质量物体的运动方程变质量物体的运动方程变质量物体的运动方程变质量物体的运动方程 物物体体m与与质质元元dm在在t时时刻刻的的速速度度以以及及在在t+dt时时刻刻合并后的共同速度如图所示：合并后的共同速度如图所示：mdm

13、m+dm 把把物物体体与与质质元元作作为为系系统统考考虑虑，初初始始时时刻刻与与末末时时刻的动量分别为：刻的动量分别为：初始时刻初始时刻末时刻末时刻动量定理动量定理第23页/共46页24变质量问题变质量问题对系统利用动量定理对系统利用动量定理略去二阶小量，两端除略去二阶小量，两端除dt变质量物体运动微分方程 值值得得注注意意的的是是，dm可可正正可可负负，当当dm取取负负时时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，为尾气推力。为尾气推力。第24页/共46页25变质量问题变质量问题用火箭发射卫星用火箭发射卫星第25页/共46页26变质量问题变质量问题例*

14、一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若用手握住链条的一端，以加速度a从静止匀加速上提。当链条端点离地面的高度为x时，求手提力的大小。解：解：以以链链条条为为系系统统，向向上上为为X X正正向向，地地面面为为原原点点建建立立坐标系。坐标系。t时刻，系统总动量时刻，系统总动量OX第26页/共46页27变质量问题变质量问题t t时刻，系统受合外力时刻，系统受合外力OX系统动量对时间的变化率为：系统动量对时间的变化率为：根据动量定理，得到根据动量定理，得到第27页/共46页28例2-5 质量为m的匀质链条，全长为L，手持其上端，使下端离地面为h.然后放手

15、让它自由下落到地面上，如图所示.求链条落到地上的长度为l时，地面所受链条作用力的大小.解：此题可用变质量物体运动微分方程求解，用链条为系统，向下为x正向，x t时刻，落地面链段ml速度为零，即u=0，空中链段（m-ml）速度为v，受力如图。x 由变质量物体运动微分方程可得第28页/共46页29因在自由下落中 ，所以上式化简为 或因 ,又 所以 地面所受链条的作用力的大小第29页/共46页30三、动量守恒定律三、动量守恒定律 若系统所受的合外力0系统总动量守恒第30页/共46页31分量式分量式系统x方向动量守恒系统y方向动量守恒系统z方向动量守恒第31页/共46页32说明：说明：（1 1）系统的

16、总动量守恒并不意味着系统内各个）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点的动量不变，而是指系统动量总和不变质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。（2 2）当外力作用远小于内力作用时，可近似认）当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞，打击等）为系统的总动量守恒。（如：碰撞，打击等）（3 3）动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍）动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的定律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合的定律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。微观领域。第32页/共46页33例题2-6 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为M和m，炮

17、弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。解:把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上的外力有重力 和地面支持力 ，而且 ，在发射过程中 并不成立（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守恒。vmM第33页/共46页34经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度 ，按速度变换定理为它的水平分量为为于是，炮弹在水平方向的动量为m(vcos -V)，而炮车在水平方向的动量为-MV。根据动量守恒定理有由此得炮车的反冲速度为 第34页/共46页35解解 物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，

18、它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍等于零，即等于零，即例题例题2-7 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向）。度（大小和方向）。所以，这三个动量必处于所以，这三个动量必处于同一平面内，且第三块的动量同一平面内，

19、且第三块的动量必和第一、第二块的合动量大必和第一、第二块的合动量大小相等方向相反，如图所示。小相等方向相反，如图所示。因为因为v v1 1和和v v2 2相互垂直所以相互垂直所以m3v3m2v2m1v1 动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律第35页/共46页36由于由于 和和 所成角所成角 由下式决定：由下式决定：因因所以所以即即 和和 及及 都成都成 且三者都在同一平面内且三者都在同一平面内由于由于 ,所以所以 的大小为的大小为动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律第36页/共46页37 例题例题3-10 质量为质量为m1 和和m2的两个小孩，在光滑水平冰面的两个小孩，

20、在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将在。问他们将在何处相遇？何处相遇？解解 把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力，此方向的动量守恒。受外力，此方向的动量守恒。建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右为为x轴为正方向。设开始时质量为轴为正方向。设开始时质量为m1 的小孩坐标为的小孩坐标为x10,质量为质量为m2的小孩坐标为的小孩坐标为x20，他们在任意时刻的速度分，他们在任意时刻的速度分别别v1为为v2,相应坐标为相应坐标为x1和和x2由运动

21、学公式得由运动学公式得Cm2m1x10 x20 xO动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律第37页/共46页38(1)(2)在相遇时，在相遇时，x1=x2=xc，于是有，于是有即即(3)因动量守恒，所以因动量守恒，所以 m1v1+m2v2=0代入式（代入式（3）得）得动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律第38页/共46页39代入式（代入式（1）,并令并令x1=xc得得(4)上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定律求出律求出动量守恒定律动

22、量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律第39页/共46页40第40页/共46页41由此得移项得又d为船的质心向左偏移的距离。所以得第41页/共46页42*四、四、四、四、火箭飞行原理火箭飞行原理火箭飞行原理火箭飞行原理 设设在在某某一一瞬瞬时时 ，火火箭箭的的质质量量为为 ，速速度度为为 ，在在其其后后 到到 时时间间内内，火火箭箭喷喷出出了了质质量量为为 的的气气体体，是是质质量量 在在 时时间间内内的的增增量量，喷喷出出的的气气体体相相对对于于火火箭箭的的速速度度为为 ，使使火火箭的速度增加了箭的速度增加了 。喷气前总动量为：喷气前总动量为：喷气后火箭的动量为：喷气后火箭的动量为：所喷出燃气的

23、动量为：所喷出燃气的动量为：Mt时刻t+dt时刻M-dmdm第42页/共46页43 由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不变。由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不变。根据动量受恒定律根据动量受恒定律设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量化简化简火箭飞行火箭飞行火箭飞行火箭飞行第43页/共46页44 设火箭开始飞行的速度为零，质量为设火箭开始飞行的速度为零，质量为 ，燃，燃料烧尽时，火箭剩下的质量为料烧尽时，火箭剩下的质量为 ，此时火箭能达到，此时火箭能达到的速度是的速度是火箭的质量比多级火箭多级火箭第第i i级火箭喷气速率级火箭喷气速率第第i i级火箭质量比级火箭质量比火箭飞行火箭飞行火箭飞行火箭飞行第44页/共46页45作业作业:P102P1021 1、3 3、5 5、8 8第45页/共46页46感谢您的观看！第46页/共46页