正弦稳态响应.pptx

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1、 首先建立首先建立t0电路的微分方程如下路的微分方程如下:对应齐次微分方程的通解次微分方程的通解uCh(t)为 微分方程特解微分方程特解uCp(t)的形式与的形式与电流源相同，流源相同，为同一同一频率的正弦率的正弦时间函数，函数，即即 第1页/共22页 为了确定了确定UCm和和u，可以将上式代入微分方程中，可以将上式代入微分方程中 求解得到求解得到 第2页/共22页 微分方程的完全解微分方程的完全解为 可以求得可以求得 最后得到最后得到电容容电压uC(t)的全响的全响应为 第3页/共22页 本本电路路的的初初始始条条件件为零零，属属于于零零状状态响响应，所所画画出出的的波波形形如如图所所示示。

2、曲曲线1表表示示通通解解，它它是是电路路的的自自由由响响应，当当RC0的的条条件件下下，它它将将随随着着时间的的增增加加而而按按指指数数规律律衰衰减减到到零零，称称为暂态响响应。曲曲线2表表示示特特解解，它它按按照照正正弦弦规律律变化化，其其角角频率率与与激激励励电源源的的角角频率率相相同同，当当暂态响响应衰衰减减完完后后，它它就就是是电路路的的全部响全部响应，称，称为正弦正弦稳态响响应。图 10-10第4页/共22页二、二、用相量法求微分方程的特解用相量法求微分方程的特解 求解正弦求解正弦电流激励流激励电路全响路全响应的关的关键是求微分方程的特解是求微分方程的特解。假如能用相量。假如能用相量

3、来表示正弦来表示正弦电压电流，就可以将常系数微分方程流，就可以将常系数微分方程转变为复系数的代数方程，便复系数的代数方程，便于使用各种于使用各种计算工具。算工具。现将将这种相量法介种相量法介绍如下：如下：代入微分方程代入微分方程 第5页/共22页 取取实部与微分运算的次序交部与微分运算的次序交换 由于方程在任何由于方程在任何时刻相等，其方程的复数部分刻相等，其方程的复数部分应该相等，由此得到一个相等，由此得到一个复系数的代数方程复系数的代数方程 求解此代数方程得到求解此代数方程得到电容容电压相量相量为 第6页/共22页 电容容电压的振幅和初相分的振幅和初相分别为 这与式与式(108)和和(10

4、9)完全相同。完全相同。计算出算出电容容电压的振幅和初相，就能的振幅和初相，就能够写出写出稳态响响应 第7页/共22页 从从以以上上叙叙述述可可知知，用用相相量量表表示示正正弦弦电压电流流后后，可可将将微微分分方方程程转换为复复系系数数代代数数方方程程，求求解解此此方方程程得得到到特特解解的的相相量量后后，易易于于写写出出正正弦弦稳态响响应的的瞬瞬时值表达式。表达式。我我们可以将以上求特解的方法推广到一般情况，可以将以上求特解的方法推广到一般情况，对于由正弦信号激励的于由正弦信号激励的任意任意线性性时不不变动态电路，路，先写出先写出n阶常系数微分常系数微分电路，再用相量表示同路，再用相量表示同

5、频率率的各正弦的各正弦电压电流，将微分方程流，将微分方程转变为复系数代数方程，再求解代数方程得到复系数代数方程，再求解代数方程得到电压电流相量，就能写出特解的瞬流相量，就能写出特解的瞬时值表达式表达式。第8页/共22页例例10-4 图10-9所示所示电路中，已知路中，已知R=1,C=2F,iS(t)=2cos(3t+45)A,试用相量法求解用相量法求解电容容电压uC(t)的特解。的特解。解：写出解：写出电路的微分方程路的微分方程 图 10-9第9页/共22页 将正弦将正弦电流用相量表示流用相量表示 可以得到复系数代数方程可以得到复系数代数方程 代入微分方程中代入微分方程中第10页/共22页 求

6、解此代数方程得到求解此代数方程得到电容容电压相量相量 由此得到由此得到电容容电压的瞬的瞬时值表达式表达式 这是是图109所示所示电路中路中电容容电压uC(t)的特解，也是的特解，也是电容容电压的正弦的正弦稳态响响应。第11页/共22页例例10-5 图1011所示所示RLC串串联电路中，已知路中，已知 uS(t)=2cos(2t+30)V,R=1,L=1H,C。试用相量法求用相量法求电容容电压uC(t)和和电感感电流流iL(t)的特解。的特解。解：以解：以电容容电压为变量列出量列出电路的微分方程路的微分方程 图 10-11第12页/共22页 将方程中的将方程中的uS(t)=2cos(2t+30)

7、V和和uC(t)用相量表示用相量表示 对方程先求方程先求导，再取，再取实部部 得到复系数代数方程得到复系数代数方程为 第13页/共22页 求解代数方程，注意到求解代数方程，注意到=2rad/s和和j2=-1，得到，得到电容容电压相量相量 根据根据=2rad/s得到得到电容容电压的瞬的瞬时值表达式表达式 代入代入R=1,L=1H,C得到得到 第14页/共22页 求得求得电容容电流和流和电感感电流的瞬流的瞬时值表达式表达式 由于此二由于此二阶电路的两个固有路的两个固有频率都具有率都具有负实部，部，暂态响响应将随着将随着时间的增的增加而衰减到零，以上加而衰减到零，以上计算的算的电容容电压和和电感感电

8、流的特解，也就是流的特解，也就是电路的正弦路的正弦稳态响响应。图 10-11第15页/共22页三、正弦三、正弦稳态响响应 s1、s2、sn是是n阶动态电路的固有路的固有频率。率。如果全部固有如果全部固有频率具有率具有负实部部(即即处于左半开复平面上于左半开复平面上)，则对于任何初始条件，在具有相同于任何初始条件，在具有相同频率率的正弦的正弦电压源和源和电流源激励下，流源激励下，电路中全部路中全部电压和全部和全部电流随着流随着t将按指数将按指数规律律趋于相同于相同频率率的正弦波形。当的正弦波形。当这种情况种情况发生生时，称，称电路路处于正弦于正弦稳态。现在将上面的在将上面的讨论推广到一般推广到一

9、般动态电路。具有相同路。具有相同频率率的一个或几个正的一个或几个正弦信号激励的弦信号激励的线性性时不不变动态电路，我路，我们感感兴趣的响趣的响应为x(t)，则x(t)可表可表为如如下形式：下形式：第16页/共22页 相量法求微分方程特解的方法与步相量法求微分方程特解的方法与步骤如下：如下：1.用用KCL，KVL和和VCR写出写出电路方程路方程(例如例如2b方程，网孔方程，方程，网孔方程，结点方程点方程等等)，以感，以感兴趣的趣的电压电流流为变量，写出量，写出n阶微分方程。微分方程。2.用相量表示同一用相量表示同一频率的各正弦率的各正弦电压电流，将流，将n阶微分方程微分方程转换为复系数复系数代数

10、方程。代数方程。3.求解复系数代数方程得到所感求解复系数代数方程得到所感兴趣趣电压或或电流的相量表达式。流的相量表达式。第17页/共22页 4.根据所得到的相量，写出正弦根据所得到的相量，写出正弦电压或或电流的瞬流的瞬时值表达式。表达式。以上步以上步骤中，列出以某个中，列出以某个电压或或电流流为变量的量的n阶微分方程，并将它微分方程，并将它转换为复系数代数方程是最困复系数代数方程是最困难工作，工作，电路越复路越复杂，工作量越大。，工作量越大。为此，我此，我们可以先画出可以先画出电路的相量模型，用相量形式的路的相量模型，用相量形式的KCL、KVL和元和元件件VCR直接列出复数的直接列出复数的电路

11、方程。路方程。第18页/共22页 用相量法求解用相量法求解电路正弦路正弦稳态响响应的方法和步的方法和步骤如下：如下：1.画出画出电路的相量模型，用相量形式的路的相量模型，用相量形式的KCL，KVL和和VCR直接列出直接列出电路路的复系数代数方程的复系数代数方程。2.求解复系数代数方程得到所感求解复系数代数方程得到所感兴趣的各个趣的各个电压和和电流的相量表达式。流的相量表达式。3.根据所得到的各个相量，写出相根据所得到的各个相量，写出相应的的电压和和电流的瞬流的瞬时值表达式。表达式。第19页/共22页 用相量法分析正弦用相量法分析正弦稳态响响应的的优点有：点有：1.不需要列出并求解不需要列出并求解电路的路的n阶微分方程。微分方程。2.可以用分析可以用分析电阻阻电路的各种方法和路的各种方法和类似公式来分析正弦似公式来分析正弦稳态电路。路。3.读者采用所熟悉的求解者采用所熟悉的求解线性代数方程的方法，就能求得正弦性代数方程的方法，就能求得正弦电压电流流的相量以及它的相量以及它们的瞬的瞬时值表达式。表达式。4.便于便于读者使用者使用计算器和算器和计算机等算机等计算工具来算工具来辅助助电路分析。路分析。第20页/共22页2002年春节摄于成都人民公园必作习题：第441页第十章：10 11、10 12 第21页/共22页感谢您的观看！第22页/共22页