第十四课矩阵的特征值与特征向量精选PPT.ppt

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1、第十四课第十四课 矩阵的特矩阵的特征值与特征向量征值与特征向量第1页，此课件共41页哦一一.方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量1.特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的定义定义定义1:设设 是是 阶方阵，阶方阵，若数若数 和和 维非零列向量维非零列向量 ，使得，使得成立，则称成立，则称 是方阵是方阵 的一个的一个特征值，特征值，为方阵为方阵 的对应于特征值的对应于特征值 的一个的一个特征向量。特征向量。1.定义定义2.求法求法3.性质性质第2页，此课件共41页哦Ax 4x注：注：是方阵是方阵（2）特征向量）特征向量 是非零列向量是非零列向量（4）一个特征向量只能属于一个特征值）一个

2、特征向量只能属于一个特征值（3）方阵）方阵 的与特征值的与特征值 对应的特征向量不唯一对应的特征向量不唯一第3页，此课件共41页哦从从几几何何上上来来看看，特特征征向向量量x x 的的方方向向经经过过线线性性变变换换后后，保保持持在在同同一一条条直直线线上上，这这时时或或者者方方向不变向不变 或者方向相反或者方向相反 ,至至于于 时时，特特征征向向量量就就被被线线性性变变换换变成变成0.0.第4页，此课件共41页哦2.特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法或或已知已知所以齐次线性方程组有非零解所以齐次线性方程组有非零解或或定义定义2：数数是关于是关于 的一个多项式，称为矩阵的一个多项式，

3、称为矩阵 的的特征多项式。特征多项式。第5页，此课件共41页哦称为矩阵称为矩阵 的的特征方程。特征方程。第6页，此课件共41页哦求特征值、特征向量的求解过程：求特征值、特征向量的求解过程：求出求出 即为特征值即为特征值;把得到的特征值把得到的特征值 代入上代入上 式，式，求齐次线性方程组求齐次线性方程组的非零解的非零解即为所求特征向量。即为所求特征向量。齐次线性方程组齐次线性方程组的通解的通解（去掉零解）即为与（去掉零解）即为与对应的全部特征向量。对应的全部特征向量。第7页，此课件共41页哦解：解：第一步：写出矩阵第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值的特征方程，求出特征值.例例1：求矩阵求

4、矩阵的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量.特征值为特征值为第二步：对每个特征值第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组代入齐次线性方程组求非零解。求非零解。第8页，此课件共41页哦齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，系数矩阵系数矩阵自由未知量自由未知量:令令 得基础解系得基础解系:常数常数)是对应于是对应于的全部特征向量。的全部特征向量。第9页，此课件共41页哦齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，得基础解系得基础解系常数常数)是对应于是对应于的全部特征向量。的全部特征向量。第10页，此课件共41页哦例例 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解第11页，此课

5、件共41页哦第12页，此课件共41页哦得基础解系为：得基础解系为：第13页，此课件共41页哦思考：对角阵的特征值是什么？思考：对角阵的特征值是什么？第14页，此课件共41页哦三角形矩阵的特征值是什么？三角形矩阵的特征值是什么？第15页，此课件共41页哦第16页，此课件共41页哦第17页，此课件共41页哦例题例题证明：一个特征向量只能对应一个特征值证明：一个特征向量只能对应一个特征值.证证 假设假设 是是 A 的一个特征向量，其对应的特征值有两个的一个特征向量，其对应的特征值有两个 和和 .移项移项则则第18页，此课件共41页哦所以齐次线性方程组所以齐次线性方程组AX o有非零解有非零解X1。例

6、例3 3试证：试证：n 阶矩阵阶矩阵 A 是奇异矩阵的充分必要条件是是奇异矩阵的充分必要条件是A有有一个特征值为零。一个特征值为零。证：必要性：证：必要性：如果如果A A是奇异矩阵，是奇异矩阵，充分性充分性 ：设：设A有一个特征值为有一个特征值为0 0，对应的特征向量为，对应的特征向量为X1。|0E-A|则则|A|0 0。|-|-A|(-1)(-1)n n|A|0 0，即即0 0是是A的一个特征值。的一个特征值。由特征值的定义，有由特征值的定义，有 AX1 0X1 o o (X1 o)，由此可知由此可知|A|0，即即A为奇异矩阵。为奇异矩阵。第19页，此课件共41页哦第20页，此课件共41页哦

7、三、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的性质 【性质】性质】设设A为为n阶矩阵，则阶矩阵，则A与与AT有相同的特征值。有相同的特征值。【性质【性质2 2】如果如果n阶方阵阶方阵A的全部特征值为的全部特征值为l l1，l l2，l ln，（k k重特征值算作重特征值算作k k个特征值个特征值），则），则|A-l lE|=|(A-l lE)T|=|AT-l lE|第21页，此课件共41页哦 l l1l l2 l ln|A|第22页，此课件共41页哦第23页，此课件共41页哦证明证明 由性质由性质2 2可知，若可知，若A A是可逆矩阵，即是可逆矩阵，即|A|，则的，则的任一个特征值都不为零任

8、一个特征值都不为零则则，因而，因而即即-是是A A-的特征值，的特征值，x也是也是A A-的对应于的对应于-的特征向量的特征向量.【性质【性质3 3】若是的属于特征值若是的属于特征值的特征向量，的特征向量，第24页，此课件共41页哦第25页，此课件共41页哦第26页，此课件共41页哦【性质【性质4】第27页，此课件共41页哦即即 若若f(x)是一个多项式，是一个多项式，是是A的特征值则的特征值则f()是是f(A)的特征值的特征值,且对应特征向量相同且对应特征向量相同.第28页，此课件共41页哦证明证明第29页，此课件共41页哦对应特征向量是对应特征向量是:对应特征向量也是对应特征向量也是:第3

9、0页，此课件共41页哦第31页，此课件共41页哦第32页，此课件共41页哦第33页，此课件共41页哦解解 由例例7 7 已知矩阵已知矩阵 的的3个特征值为个特征值为 ，得得解之解之求求 x，y.第34页，此课件共41页哦概念练习：概念练习：4、方程、方程(l lE-A)x o的解都是特征值的解都是特征值l l的特征向量吗？的特征向量吗？1、设、设A是是n阶方阵，如果数阶方阵，如果数l l和和n维非零列向量维非零列向量x满足满足_，则则称称l l为为A的的特特征征值值，x称称为为A的的对对应应于于特特征征值值l l的的特征向量。特征向量。Axlx 2、数、数l l为为A的特征值的特征值 l l满

10、足满足_。|lE-A|0 3、向量、向量x为为A的对应于特征值的对应于特征值l l的特征向量的特征向量 x满足满足_。(lE-A)xo 5、矩阵、矩阵 l lE-A 称为称为 _，7、方程、方程|l lE-A|0 称为称为_。6、l l 的的 n 次多项式次多项式|l lE-A|称为称为_.A 的特征矩阵A 的特征多项式A 的特征方程第35页，此课件共41页哦课堂练习题课堂练习题一、单选题一、单选题可逆矩阵与矩阵（可逆矩阵与矩阵（）有相同的特征值）有相同的特征值 ；为为n n阶方阵，则（阶方阵，则（）结论成立）结论成立 可逆，则矩阵属于特征值可逆，则矩阵属于特征值的特征向量的特征向量 也是也是

11、属于属于的特征向量；的特征向量；的特征向量既为方程的特征向量既为方程 （）的全部解；）的全部解；特征向量的线性组合仍是特征向量特征向量的线性组合仍是特征向量 与与特征向量相同特征向量相同 第36页，此课件共41页哦课堂练习题课堂练习题一、单选题一、单选题答案：答案：；;3.;3.设是一个可逆矩阵，则其特征值中（设是一个可逆矩阵，则其特征值中（）有零特征值有零特征值 有二重特征值零有二重特征值零 可能有也可能无零特征值可能有也可能无零特征值 无零特征值无零特征值第37页，此课件共41页哦二、填空题二、填空题课堂练习题课堂练习题已知三阶方阵的三个特征值为，则已知三阶方阵的三个特征值为，则|A|A|

12、（），），的特征值为（的特征值为（），），的特征值为（的特征值为（），），的特征值为（的特征值为（）设设k=0，k是正整数，则的特征值为（是正整数，则的特征值为（）若若，则的特征值为（，则的特征值为（），-1/2,1/3，4,1,1600,1第38页，此课件共41页哦二、填空题二、填空题课堂练习题课堂练习题4设设A是是3阶方阵，已知方阵，阶方阵，已知方阵，都不可逆，则的特征值为（都不可逆，则的特征值为（）已知三阶矩阵已知三阶矩阵A的特征值为，的特征值为，则（则（）。）。1,-1,3-72第39页，此课件共41页哦第40页，此课件共41页哦会求方阵的特征值和特征向量会求方阵的特征值和特征向量熟记特征值和特征向量的性质熟记特征值和特征向量的性质作业：作业：P29：2，4，5，6,7,8要求：要求：第41页，此课件共41页哦