D104对面积曲面积分.pptx

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1、定义定义:设 为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中 f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积函数,叫做积分曲面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共23页则对面积的曲面积分存在.对积分域的可加性.则有 线性性质.在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.积分的存在性.若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共23页定理:设有光滑曲面f

2、(x,y,z)在 上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算二、对面积的曲面积分的计算法法 则曲面积分证明:由定义知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共23页二、曲面的面积二、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素)则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共23页而(光滑)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共23页说明:可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS 的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.(见本节后面的例4,

3、例5)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共23页例例1.计算曲面积分计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共23页思考思考:若 是球面被平行平面 z=h 截出的上下两部分,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共23页例例2.计算计算其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:设上的部分,则与 原式=分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共23页例例3.设计算解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的投影域为则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共23页机动

4、目录 上页 下页 返回 结束 思考:若例3 中被积函数改为计算结果如何?另外能否用球坐标做？第11页/共23页如图所示如图所示,在球面坐标系中体积元素在球面坐标系中体积元素为为因此有其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共23页例例4.计算计算解:取球面坐标系,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共23页例例5.计计算算其中 是介于平面之间的圆柱面分析:若将曲面分为前后(或左右)则解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共23页例例6 求

5、椭圆柱面求椭圆柱面位于 xoy 面上方及平面 z=y 下方那部分柱面 的侧面积 S.解:取机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共23页内容小结内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性简化计算的技巧.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共23页P158 题题4(1).在 xoy 面上的投影域为这是 的面积!机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共23页P159 题题7.如图所示,有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共23页P184 题题2.设设一卦限中的部分,则有().(2000 考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共23页备用题备用题 1.已知曲面已知曲面壳壳求此曲面壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量 M.解:在 xoy 面上的投影为 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共23页2.设设 是四面体是四面体面,计算解:在四面体的四个面上同上平面方程投影域机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共23页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共23页感谢您的欣赏！第23页/共23页