第3章静态场的边值问题及解的唯一性定理ppt课件.ppt

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1、 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理前前面面讨讨论论了了静静电电场场、恒恒定定电电场场和和稳稳恒恒磁磁场场，得得到到了了这这些些场场的的位位函函数数满满足足的的微微分分方方程程和和边边界界条条件件；并并且且在在均均匀匀线线性性媒媒质质中中，对一些简单的场源分布情况求出了场的解。对一些

2、简单的场源分布情况求出了场的解。但但在在工工程程中中通通常常会会遇遇到到更更复复杂杂的的情情况况，此此时时求求解解场场的的问问题题就就须须要要解解场场的的二二阶阶偏偏微微分分方方程程，并并满满足足一一定定的的边边界界条条件件，即即通通常常所说的边值问题。本节讨论静态场边值问题解法。所说的边值问题。本节讨论静态场边值问题解法。求求解解边边值值问问题题的的方方法法通通常常有有解解析析和和数数值值法法。解解析析法法包包括括镜镜像像法法、变变量量分分离离法法、格格林林函函数数法法、复复变变函函数数法法等等；数数值值法法包包括括有有限限差差分分法法、矩矩量量法法、有有限限元元法法等等。本本章章主主要要讨

3、讨论论几几种种经经典典的的解解析法。析法。1 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型边边值值问问题题包包括括位位方方程程（拉拉普普拉拉斯斯方方程程或或泊泊松松方方程程）和和边边界界条条件，根据在场域件，根据在场域V的边界的边界S上的边界条件，边值问题类型有：上的边界条件，边值问题类型有：第一类边值问题：给定整个边界上的

4、位函数值第一类边值问题：给定整个边界上的位函数值如果如果f1(S)=0称为称为齐次边界条件齐次边界条件狄里赫利问题狄里赫利问题第第三三类类边边值值问问题题：给给定定一一部部分分边边界界上上每每一一点点的的电电位位，同同时时给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。纽曼问题纽曼问题混合边值问题混合边值问题第二类边值问题：给定边界上每一点位函数的法向导数第二类边值问题：给定边界上每一点位函数的法向导数2 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供

5、商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用涉及不同介质时，还有介质分界面处的边界条件。涉及不同介质时，还有介质分界面处的边界条件。3.4.23.4.2 解的唯一性定理解的唯一性定理对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。解的解的存在性存在性是指在给定的定解条件下，方程是否有解。是指在给定的定解条件下，方程是否有解。解的解的稳定性稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。否会发生很

6、大的变化。解的解的唯一性唯一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。自然边界条件自然边界条件 如果场域伸展到无限远处，必须提出所谓无限远处的边界如果场域伸展到无限远处，必须提出所谓无限远处的边界条件。对于场源分布在有限区域的情况，在无限远处应有条件。对于场源分布在有限区域的情况，在无限远处应有它表明在无限远处位函数取值为零。它表明在无限远处位函数取值为零。电磁场是客观存在的，因此位函数的微分方程的解的存在确电磁场是客观存在的，因此位函数的微分方程的解的存在确信无疑。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得信无疑。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定

7、性在数学中已经得到证明。下面证明电位微分方程解也是惟一的。到证明。下面证明电位微分方程解也是惟一的。3 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用静电场唯一性定理的表述静电场唯一性定理的表述 对于三类边值问题中的任何一类，在满足泊松方程（或拉普拉斯方程）和边界条件下，无论用什么方法所得的解都是正确的，且是唯一的。静电场唯一性定理的证明静电场唯一性定理的证明设有两

8、个解1和2，分别满足方程则在V内令在格林第一恒等式中，令 则 4 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用对于第一类和第二类边值问题，在边界对于第一类和第二类边值问题，在边界S上分别有上分别有对于第三类边值问题，可以得到同样的结论。对于第三类边值问题，可以得到同样的结论。1 1、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；2

9、2、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。唯一性定理的意义：唯一性定理的意义：5 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 3.5 镜镜 像像 法法 依据：依据：唯一性定理，若能找到一个函数既满足该问题的微分方程，又满足该问题的边界条件，则它一定是场的真解，且唯一。关键

10、和原则关键和原则：确定像电荷（像电流）的位置、个数和电量大小以及电流的流向等，但必须满足场区域的边界条件且像电荷（或像电流）只能置于求解区域外。3.5.1接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像 例例1 1、求求置置于于无无限限大大接接地地平平面面导导体体上上方方，距导体面为距导体面为h h 处的点电荷处的点电荷q q 的电位。的电位。基本思想：基本思想：在研究的区域外，用一些假想电荷（电流）代替边界面处复杂的、未知的感应电荷、极化电荷或电流。用假想电荷（电流）与原有电荷（电流）一起产生的场来满足原来的边界条件，那么它们的电位（磁矢位）的叠加就是解6 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈

11、行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用在导体上方，在导体上方，（除点电荷所在位置）（除点电荷所在位置）在导体表面处在导体表面处，分析：分析：导体平面上空的电场是由点电荷导体平面上空的电场是由点电荷 和导体表面的感应电和导体表面的感应电荷共同产生。但感应电荷分布非均匀，且未知，直接求解困荷共同产生。但感应电荷分布非均匀，且未知，直接求解困难。难。设在导体下方与点电荷对称的位置处有一点电荷设在导体下方与点电

12、荷对称的位置处有一点电荷 （像电（像电荷），用该像电荷代替导体上的感应电荷，即引入荷），用该像电荷代替导体上的感应电荷，即引入 后，后，就像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。就像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。7 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用用一个处于镜像位置的点电荷代替导体边界的影响，则z0空间任一点 P 的电位由 q 及

13、q 共同产生，即 解：解：即像电荷q与原点电荷q电量相等，电性相反；用q代替了导体上的感应电荷。在z0区域内，P点的电位为8 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用导体表面总的感应电荷：在z0区域内，电场为9 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经

14、营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用电场线与等位面的分布特性与前述的电偶极子的上半部分完全相同。电场线与等位面的分布特性与前述的电偶极子的上半部分完全相同。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。说说明明：应应用用镜镜像像法法时时仅仅针针对对导导体体平平面面的的上上半半空空间间成成立立，因因为为在在上上半半空空间间中中，源及边界条件未变。源及边界条件未变。例例2、求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为求置于无限大接地平

15、面导体上方，距导体面为h 处的长直处的长直线电荷的电位。线电荷的电位。10 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用lzx=hl-h显然可将感应电荷的作用用位于h处的镜像线电荷ll替代。显然，满足边界条件。所以，原问题不变，所得的解是正确的。RR考察原问题是否得到满足：由于像电荷位于z a)，求球外任一点的电位。分分析析：球外电场是电荷q与导体球面感应电荷产生

16、的，但感应电荷未知。PqarRd 球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。q应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷q与球心的连线上，距球心为d。则有 14 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用接地导体球面上任一点电位 在上式中q和d是待求量。解得 总的感应电荷取球面上的A、B 两点，得可确定q,d 的两个方程：15 第第 3 3 章章经营者提供商品或

17、者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用讨论：讨论：1 1）导体球不接地：）导体球不接地：导体球面为等位面但电位不为0；球面上存在正、负感应电荷,但感应电荷总量为0。处理方法：电位叠加原理：处理方法：电位叠加原理：1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为q 的感应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定 。2、为了满足电荷守恒原理。断开接地线，将电量为-q的电荷加到导体球面上，使这些电荷均匀分布在

18、球面上，使导体球为等势体，且表面总电荷为零。3、对于均匀分布在球面上的-q电荷，可用另一个镜像电荷q=-q 代替，但必须位于球心。16 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用结论：点电荷结论：点电荷q q对非接地导体球面的镜像电荷有两个：对非接地导体球面的镜像电荷有两个：镜像电荷1：电量：位置：镜像电荷2：电量：位置：位于球心。位于球心。球外空间某点电位为：

19、球面上电位为：17 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图1.点电荷与接地导体的电场图2.点电荷与不接地导体的电场2 2）若导体球不接地，且带电荷Q，求球外的电场。像电荷q位置和大小同上，像电荷q的位置也在球心，但q=Q+qa/d。18 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购

20、买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用3 3）若一点电荷q 位于一个半径为a的接地导体球面内，距球心d 处（d a)用电轴法求解。设两个导体圆柱单位长带电分别为 ，等效电轴（两线电荷）相距原点均为b，有几何关系为 两个导体面的电位分别为两个导体面的电位分别为两导体圆柱间的电压为两导体圆柱间的电压为两导体圆柱间的单位长度电容为两导体圆柱间的单位长度电容为27 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购

21、买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用3.5.4、介质平面的镜像、介质平面的镜像 设两种介电常数分别为1、2的介质充填于z0及z0的半空间，在介质2中点(h,0,0)处有一点电荷q,如图所示，求空间各点的电位分布。原问题原问题：除点电荷在的位置，满足分析：分析：电荷q产生的电场将使两介质极化，从而在分界面上产生不均匀的极化电荷。极化电荷对两个区域中的电位都有贡献。空间电位由极化电荷和电荷q共同产生。解决方法：解决方法：镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。1、点电荷对电介质分

22、界面的镜像、点电荷对电介质分界面的镜像28 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用为求上半空间的场可将整个空间填充满1的均匀介质，边界上的极化电荷可用原点电荷q的镜像电荷q等效代替。q的大小未知.区域1的电位由q和位于区域2中的镜像电荷q共同产生，则29 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿

23、的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用但，必须使所求得的场符合原先的边界条件，即为求下半空间的场可整个空间填充以2的均匀介质，边界上极化电荷可用原点电荷处的镜像电荷q等效代替。q的大小未知，区域2的电位由q和位于镜像电荷q共同产生注意：若为真空与介质分界面，则将对应介质介电常数代换为注意：若为真空与介质分界面，则将对应介质介电常数代换为 即可。即可。30 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的

24、金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图图1 1 线电流与磁介质线电流与磁介质分界平面分界平面图图2 2 磁介质磁介质1 1的镜像线的镜像线电流电流特点：特点：在直线电流I 产生的磁场作用下，磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流分布，空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生。问题问题：如图1所示，磁导率分别为 和 的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，在磁介质1中有一根无限长直线电流平行于分界平面，且与分界平面相距为h。分析方法：分析方法：在计算磁介质1中的磁场时，

25、用置于介质2中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图2所示。2 2、线电流、线电流与无限大磁介质平面的镜像与无限大磁介质平面的镜像 31 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 因为电流沿轴方向流动，所以矢量磁位只有y分量，则磁介质1和磁介质2中任一点的矢量磁位分别为图图3 3 磁介质磁介质2 2的镜像的镜像线电

26、流线电流 在计算磁介质2中的磁场时，用置于介质1中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图3所示。32 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用相相应应的磁的磁场场可由可由 求得。求得。可得到故利用矢量磁位满足的边界条件33 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损

27、失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1）为为满满足足原原方方程程，镜镜像像（电电荷荷或或电电流流）应应选选择择在在所所讨讨论论的的区区域以外域以外2）镜像（电荷或电流）的选择应保持原边界条件不变）镜像（电荷或电流）的选择应保持原边界条件不变3）镜像（电荷或电流）只对所讨论的区域有效）镜像（电荷或电流）只对所讨论的区域有效4)局局限限性性：仅仅仅仅对对于于某某些些特特殊殊的的边边界界以以及及特特殊殊分分布布的的电电荷荷才才有有 可能确定其镜像电荷。

28、可能确定其镜像电荷。总结：总结：34 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用求解思路：求解思路：将偏微分方程中含有将偏微分方程中含有n n个自变量的待求函数表示成个自变量的待求函数表示成n n个函数（只含个函数（只含一个变量）的乘积，把偏微分方程分解成一个变量）的乘积，把偏微分方程分解成n n个常微分方程，求出个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线

29、性叠加起来，使其满足给定的各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，使其满足给定的边界条件。边界条件。3.6 分分 离离 变变 量量 法法理论依据：理论依据：分离变量法的理论依据是唯一性定理，因为分离后的解既满足分离变量法的理论依据是唯一性定理，因为分离后的解既满足微分方程，又满足边界条件，故其是真解。微分方程，又满足边界条件，故其是真解。分离变量法是求解边值问题最经典的方法，它属于解析法，可分离变量法是求解边值问题最经典的方法，它属于解析法，可给出解的精确表达式。但由于采用正交坐标系，要求边界应与某给出解的精确表达式。但由于采用正交坐标系，要求边界应与某一正交坐标系的坐标面重合，分离变量法的

30、应用范围有限。一正交坐标系的坐标面重合，分离变量法的应用范围有限。35 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1、直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法设设 可以表示为两个函数的乘积可以表示为两个函数的乘积 代人上式得 用用fg fg 除左式除左式 令令式中 称为分离常数，待定量。它们可以是实数或虚数，但不可全为实数或虚数。他们并不是独立的，它们必

31、须满足在直角坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为36 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用由此，将拉普拉斯方程的求解问题分解为两个分别仅与x、y变量有关的常微分方程组的求解由上可见，经过变量分离后，二维偏微分方程式被简化为二个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且二个常微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。下面以关于x的微分方

32、程 为例，说明当分离变数取不同值时的特征解 1）当 时2)当 时 37 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用或或 3)当当 时时 的解的解 其中a0,b0,a1,b1,a2,b2,a3,b3为待定常数。如何确定分离常数？由边界条件来确定，方法如下：1）若某些坐标面(x=0)上的边界条件可看成周期性的，则该坐标的分离常数(kx)为实数；其解为三角函数；2）若

33、位函数与某一坐标变量无关，则该坐标的分离常数必须为零；其解为常数；3）若在某些坐标面上，边界条件是非周期性的，则该坐标的分离常数为虚数；其解为双曲函数或者衰减函数。有界区域为双曲函数，无界区域为衰减函数。38 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用对于含变量y 的常微分方程，其解具有完全相同的形式。当各坐标变量的解确定后，它们的乘积就是原微分方程的一个特解。

34、如该特解满足所有边界条件，则该解就是边界问题的真解；否则必须将所有可能的特解叠加起来，并使其满足边界条件；再确定待定的组合系数，最后得到边值问题的真解例例1 1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为板电位为 ，金属槽接地，横截面如下图所示，试计算此导体槽，金属槽接地，横截面如下图所示，试计算此导体槽内的电位分布。内的电位分布。解：该问题的的数学模型：39 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品

35、或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用再考虑到x=0和x=a的槽壁上电位 为零，故可认为沿x方向作周期性的变化，为非零实数。所以很明显，金属槽中的电位很明显，金属槽中的电位 与与z z无关，故无关，故 ，满足，满足二维拉普拉斯方程40 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 取不同

36、的取不同的n n 值对应的值对应的 叠加，通解为叠加，通解为 其中其中 上式左右两边同乘以上式左右两边同乘以sin(mx/a)并在区间并在区间(0，a)积分，有积分，有 41 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用得到待求区域的电位为得到待求区域的电位为 利用三角函数的正交性，有利用三角函数的正交性，有42 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为

37、的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图图2 2 接地金属槽内的等位线接地金属槽内的等位线图图1 1 接地金属槽接地金属槽43 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例

38、2 2、矩形导体长槽，上下底面（即、矩形导体长槽，上下底面（即y=0y=0与与y=by=b平面）是两无限平面）是两无限大接地导体平面。侧面（大接地导体平面。侧面（x=ax=a处）是电位为处）是电位为U U0 0导体平面，且四条导体平面，且四条棱线间绝缘，如图示，试求矩形长槽内的电位函数。棱线间绝缘，如图示，试求矩形长槽内的电位函数。解解：槽中电位与z无关，只是x、y的函数。在区域 0 x a、0 y b内，边界条件为：x=0,=0；x=a,(a,y)=u0；y=0,(x,0)=0；y=b,(x,b)=0 设设 ，利用，利用分离变量法求解分离变量法求解由边界条件知由边界条件知g(y)具有周期性，

39、故具有周期性，故44 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 取不同的取不同的n n 值对应的值对应的 叠加，通解为叠加，通解为 其中其中 45 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其

40、受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用上式左右两边同乘以上式左右两边同乘以 ，并在区间，并在区间(0(0，b)b)对对y y积分，有积分，有 46 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2 2、圆柱坐标系中的分离变量法、圆柱坐标系中的分离变量法 运用分离变量法，令运用分离变量法，令，代入上式，代入上式 当电位与坐标变量当电位与坐标变

41、量z z无关时，上式第三项为零，此时电位满足无关时，上式第三项为零，此时电位满足47 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用式中k为分离常数，它可以是实数或虚数。通常变量 的变化范围为 ，且(r,)与(r,)为空间同一位置，因此场量随 的变化一定是以 2 为周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，令当n0式中A,B 为待定常数。相应地，相应地，欧拉方程

42、欧拉方程,其通解其通解 48 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用将关于坐标变量r，的函数乘积起来，并线性组合，再利用给定的边界条件确定分离常数和组合系数后，得电位 的通解为上式对n的求和考虑到以上各种情况，电位微分方程的解可取下列一般形式 若所讨论的静电场又与变量 无关，则 n=0。那么，电位微分方程:,其解为 49 第第 3 3 章章经营者提供商品或者

43、服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例1 1、在无限大的均匀电场中放一根无限长、半径为、在无限大的均匀电场中放一根无限长、半径为a a 的接地导体圆柱，电的接地导体圆柱，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求放入导体圆柱后的场分布。场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求放入导体圆柱后的场分布。解解：选取圆柱坐标系，令z 轴为圆柱轴线，电场强度的方向与x 轴一致，即 放入导体前空间任一

44、点的电位（设O点位零电位）导体柱是一个等位体，且接地，在柱内(ra),;圆柱外电位 分布与z 无关，故满足二维拉普拉斯方程。本例的边界条件是：r，柱外电场E2E0ex，r=a，导体柱内、外电位连续，即 。50 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用由于,且电位关于x轴对称，于是，同时，所以，圆柱外任一点的电位为下面由边界条件确定常数Cn、Dn、和n的取值由r

45、=a时 得 要使上式成立，n只能取1，故51 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用这样原问题的解为 则圆柱外电场强度为xyaE0电场线电场线等位面等位面圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如右图所示。52 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费

46、用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例2 2、若若在在电电场场强强度度为为E E0 0的的均均匀匀静静电电场场中中放放入入一一个个半半径径为为a a的的电电介介质质圆圆柱柱，柱柱的的轴轴线线与与电电场场互互相相垂垂直直，介介质质柱柱的的介介电电常数为常数为，柱外为真空，如图所示，求柱内、外的电场。，柱外为真空，如图所示，求柱内、外的电场。53 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提

47、供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解解:设设柱柱内内电电位位为为1，柱柱外外电电位位为为2，1和和2与与z无无关关。取取坐坐标原点为电位参考点，边界条件如下：标原点为电位参考点，边界条件如下：r,2=-E0rcos r=0,1=0 r=a,1=2 r=a,54 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购

48、买商品的价款或接受服务的费用于是，柱内、柱外电位的通解为于是，柱内、柱外电位的通解为:考考虑虑本本题题的的外外加加电电场场、极极化化面面电电荷荷均均关关于于x轴轴对对称称，柱柱内内、柱外电位解只有余弦项，即柱外电位解只有余弦项，即:于是于是根据边界条件 r=0,1=0，可知Cn=o r,2=-E0rcos,可知n=1，且An=-E055 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价

49、款或接受服务的费用由边界条件由边界条件和和，可得可得:其中，r=/0，是介质圆柱的相对介电常数。56 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用于是柱内、外的电位为于是柱内、外的电位为 57 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有

50、欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用3、球坐标系中的分离变量法、球坐标系中的分离变量法 当仅与坐标（当仅与坐标（）有关时，为）有关时，为令令 ，代入上式，并用，代入上式，并用 乘该式的两边，乘该式的两边，得得 58 第第 3 3 章章经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用上上式式的的第第一一项项只只是是r的