工程力学静力学与材料力学弯曲刚课件.pptx

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1、范钦珊教育与教学工作室范钦珊教育与教学工作室范钦珊教育与教学工作室范钦珊教育与教学工作室20232023年年2 2月月1414日日工程力学工程力学(静力学与材料力学静力学与材料力学）清华大学清华大学 范钦珊范钦珊课堂教学软件课堂教学软件课堂教学软件课堂教学软件(4)(4)返回总目录第1页/共114页第8章弯曲刚度工程力学工程力学（静力学与材料力学）（静力学与材料力学）第二篇材料力学返回总目录第2页/共114页 上上上上一一一一章章章章的的的的分分分分析析析析结结结结果果果果表表表表明明明明，在在在在平平平平面面面面弯弯弯弯曲曲曲曲的的的的情情情情形形形形下下下下，梁梁梁梁的的的的轴轴轴轴线线线

2、线将将将将弯弯弯弯曲曲曲曲成成成成平平平平面面面面曲曲曲曲线线线线。如如如如果果果果变变变变形形形形太太太太大大大大，也也也也会会会会影影影影响响响响构构构构件件件件正正正正常常常常工工工工作作作作。因因因因此此此此，对对对对机机机机器器器器中中中中的的的的零零零零件件件件或或或或部部部部件件件件以以以以及及及及土土土土木木木木工工工工程程程程中中中中的的的的结结结结构构构构构构构构件件件件进进进进行行行行设设设设计计计计时时时时，除除除除了了了了满满满满足足足足强强强强度度度度要要要要求求求求外外外外，还还还还必必必必须须须须满满满满足足足足一一一一定定定定的的的的刚刚刚刚度度度度要要要要求

3、求求求，即即即即将将将将其其其其变变变变形形形形限限限限制制制制在在在在一一一一定定定定的的的的范范范范围围围围内内内内。为为为为此此此此，必须分析和计算梁的变形。必须分析和计算梁的变形。必须分析和计算梁的变形。必须分析和计算梁的变形。另另另另一一一一方方方方面面面面，某某某某些些些些机机机机械械械械零零零零件件件件或或或或部部部部件件件件，则则则则要要要要求求求求有有有有较较较较大大大大的的的的变变变变形形形形，以以以以减减减减少少少少机机机机械械械械运运运运转转转转时时时时所所所所产产产产生生生生的的的的振振振振动动动动。汽汽汽汽车车车车中中中中的的的的钣钣钣钣簧簧簧簧即即即即为为为为一例

4、。这种情形下也需要研究变形。一例。这种情形下也需要研究变形。一例。这种情形下也需要研究变形。一例。这种情形下也需要研究变形。此此此此外外外外，求求求求解解解解静静静静不不不不定定定定梁梁梁梁，也也也也必必必必须须须须考考考考虑虑虑虑梁梁梁梁的的的的变变变变形形形形以以以以建建建建立立立立补补补补充充充充方程。方程。方程。方程。第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第3页/共114页 本本本本章章章章将将将将在在在在上上上上一一一一章章章章得得得得到到到到的的的的曲曲曲曲率率率率公公公公式式式式的的的的基基基基础础础础上上上上，建建建建立立立立梁梁梁梁的的的的挠挠挠挠度度度度曲曲曲曲线线线线微微微微

5、分分分分方方方方程程程程；进进进进而而而而利利利利用用用用微微微微分分分分方方方方程程程程的的的的积积积积分分分分以以以以及及及及相相相相应应应应的的的的边边边边界界界界条条条条件件件件确确确确定定定定挠挠挠挠度度度度曲曲曲曲线线线线方方方方程程程程。在在在在此此此此基基基基础础础础上上上上，介介介介绍绍绍绍工工工工程程程程上上上上常常常常用用用用的的的的计计计计算算算算梁梁梁梁变变变变形形形形的的的的叠叠叠叠加加加加法法法法。此此此此外外外外，还还还还将将将将讨讨讨讨论论论论简简简简单单单单的的的的静静静静不不不不定定定定梁的求解问题。梁的求解问题。梁的求解问题。梁的求解问题。第第8 8章章

6、 弯曲刚度弯曲刚度 第4页/共114页 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 简单的静不定梁简单的静不定梁 结论与讨论结论与讨论 弯曲刚度计算弯曲刚度计算 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 返回总目录第5页/共114页 梁的变形与梁的位移 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 返回第6页/共114页 梁的曲率与位移梁的曲率与位移 挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系 梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第7页/

7、共114页 在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线，这一曲线称为梁的挠度曲线挠度曲线（deflectioncurve）。梁的曲率与位移梁的曲率与位移 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第8页/共114页 根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：梁的曲率与位移梁的曲率与位移 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第9页/共114页 梁梁在在弯弯曲曲变变形形后后，横横截截面面的的位位置置将将发发生生改改

8、变变，这这种种位位置置的的改改变称为变称为位移位移位移位移(displacement)(displacement)。梁的位移包括三部分：。梁的位移包括三部分：横截面形心处的铅垂位移，称为挠挠度度（deflection），用w表示；变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角（slope），用 表示；挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第10页/共114页 横截面形心沿水平方向的位移，称为轴轴向向位位移移或水水平平位位移移（horizontaldisplacement），用u表示。在小变形情形下，上述位移

9、中，水平位移u与挠度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。梁梁在在弯弯曲曲变变形形后后，横横截截面面的的位位置置将将发发生生改改变变，这这种种位位置置的的改改变变称为称为位移位移位移位移(displacement)(displacement)。梁的位移包括三部分：。梁的位移包括三部分：挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第11页/共114页 在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：在小变形条件下，挠度曲线较为平 坦，即 很 小，因 而 上 式 中tan。于是有w w（x），称为挠度方程（deflectionequati

10、on）。梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第12页/共114页 梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义 位位位位移移移移分分分分析析析析中中中中所所所所涉涉涉涉及及及及的的的的梁梁梁梁的的的的变变变变形形形形和和和和位位位位移移移移，都都都都是是是是弹弹弹弹性性性性的的的的。尽尽尽尽管管管管变变变变形形形形和和和和位位位位移移移移都都都都是是是是弹弹弹弹性性性性的的的的，但但但但在在在在工工工工程程程程设设设设计计计计中中中中，对对对对于于于于结结结结构构构构或或或或构构构构件件件件的的的的弹弹弹弹性性性性位位位位移移移移都都都都有有有有一一一一定定

11、定定的的的的限限限限制制制制。弹弹弹弹性性性性位位位位移移移移过过过过大大大大，也也也也会会会会使使使使结结结结构构构构或或或或构构构构件件件件丧丧丧丧失失失失正正正正常常常常功功功功能能能能，即发生刚度失效。即发生刚度失效。即发生刚度失效。即发生刚度失效。梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第13页/共114页 机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时(图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转角，这就会影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正常工作。同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的噪声。此外，当轴的变形很大时，轴在支承处也将产生较大的

12、转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第14页/共114页 在在在在工工工工程程程程设设设设计计计计中中中中还还还还有有有有另另另另外外外外一一一一类类类类问问问问题题题题，所所所所考考考考虑虑虑虑的的的的不不不不是是是是限限限限制制制制构构构构件件件件的的的的弹弹弹弹性性性性位位位位移移移移，而而而而是是是是希希希希望望望望在在在在构构构构件件件件不不不不发发发发生生生生强强强强度度度度失失失失效效效效的的的的前前前前提提提提下下下下，尽尽尽尽量量量量产产产产生生生生较较较较大大大大的的的的弹弹弹弹

13、性性性性位位位位移移移移。例例例例如如如如，各各各各种种种种车车车车辆辆辆辆中中中中用用用用于于于于减减减减振振振振的的的的钣钣钣钣簧簧簧簧，都都都都是是是是采采采采用用用用厚厚厚厚度度度度不不不不大大大大的的的的板板板板条条条条叠叠叠叠合合合合而而而而成成成成，采采采采用用用用这这这这种种种种结结结结构构构构，钣钣钣钣簧簧簧簧既既既既可可可可以以以以承承承承受受受受很很很很大大大大的的的的力力力力而而而而不不不不发发发发生生生生破破破破坏坏坏坏，同同同同时时时时又又又又能能能能承承承承受受受受较较较较大大大大的的的的弹弹弹弹性性性性变变变变形形形形，吸吸吸吸收收收收车车车车辆辆辆辆受受受受到

14、到到到振振振振动动动动和和和和冲冲冲冲击击击击时时时时产产产产生生生生的的的的动动动动能，收到抗振和抗冲击的效果。能，收到抗振和抗冲击的效果。能，收到抗振和抗冲击的效果。能，收到抗振和抗冲击的效果。梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第15页/共114页 梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 返回第16页/共114页 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 小挠度微分方程小挠度微分方程 小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第17页/共114页 小挠度

15、微分方程 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第18页/共114页力学中的曲率公式力学中的曲率公式数学中的曲率公式数学中的曲率公式 小挠度微分方程小挠度微分方程 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第19页/共114页小挠度情形下小挠度情形下对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与ww坐标的取向坐标的取向有关。有关。小挠度微分方程小挠度微分方程 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第20页/共

16、114页 小挠度微分方程小挠度微分方程 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第21页/共114页采用向下的w坐标系，有 小挠度微分方程小挠度微分方程 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第22页/共114页 对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程MM(x x)，代入上式后，分别对，代入上式后，分别对x x作不定积分作不定积分,得到包含积分常数的挠得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：度方程与转角方程：其中其中C C、D D为积分常

17、数。为积分常数。小挠度微分方程小挠度微分方程 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第23页/共114页 小挠度微分方程的积分与 积分常数的确定 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第24页/共114页 积积积积分分分分法法法法中中中中常常常常数数数数由由由由梁梁梁梁的的的的约约约约束束束束条条条条件件件件与与与与连连连连续续续续条条条条件件件件确确确确定定定定。约约约约束束束束条条条条件件件件是是是是指约束对于挠度和转角的限制：指约束对于挠度和转角的限制：指约束对于挠度和转角的限制：指约束对

18、于挠度和转角的限制：在在固固定定铰铰支支座座和和辊辊轴轴支支座座处处，约约束束条条件件为为挠挠度度等等于于零：零：ww=0;=0;连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：ww1 1=w w2 2，1 1 1 12 2 2 2等等。等等。在在固固定定端端处处，约约束束条条件件为为挠挠度度和和转转角角都都等等于于零零：ww=0=0，0 0。小挠度微分方程的积分与小挠度微

19、分方程的积分与小挠度微分方程的积分与小挠度微分方程的积分与 积分常数的确定积分常数的确定积分常数的确定积分常数的确定 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第25页/共114页例例 题题 1 1求：求：梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。已知：已知：左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为q，梁的弯曲刚度为EI、长度为l。q、EI、l均已知。梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第26页/共114页解：解：1 1建立建立建立建立OxwOxw坐标系坐标系坐标系坐标系 建立

20、Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。22建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程OOx xw w 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第27页/共114页 从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：解：解：2 2建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程xMM(x x)F FQQ(x x)梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其

21、积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第28页/共114页3 3 建立微分方程并积分建立微分方程并积分建立微分方程并积分建立微分方程并积分OOx xw w 解：解：2 2建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第29页/共114页3 3 建立微分方程并积分建立微分方程并积分建立微分方程并积分建立微分方程并积分OOx xw w积分后，得到 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第30页/共114页

22、解：解：4 4 利用约束条件确定积分常数利用约束条件确定积分常数利用约束条件确定积分常数利用约束条件确定积分常数固定端处的约束条件为：梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第31页/共114页解：解：5 5 确定挠度与转角方程确定挠度与转角方程确定挠度与转角方程确定挠度与转角方程 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第32页/共114页解：解：6 6 确定最大挠度与最大转角确定最大挠度与最大转角 从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。于是，将 x=l，分别代入挠度方程与转

23、角方程，得到：梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第33页/共114页例例例例 题题题题 2 2 2 2求：求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。已知：已知：简支梁受力如图所示。FP、EI、l均为已知。梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第34页/共114页解：解：1 1 确定梁约束力确定梁约束力确定梁约束力确定梁约束力因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。22 分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯

24、矩方程分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程 在图示坐标系中，为确定梁在0l/4范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第35页/共114页ABAB段段 解：解：2 2 分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程BCBC段段 于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第36页/共

25、114页解：解：3 3 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第37页/共114页解：解：3 3 将弯矩表达式代入小将弯矩表达式代入小将弯矩表达式代入小将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分挠度微分方程并分别积分挠度微分方程并分别积分挠度微分方程并分别积分 积分后，得其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定。梁的小挠度微分方程及

26、其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第38页/共114页解：解：4 4 利用约束条件和连续利用约束条件和连续利用约束条件和连续利用约束条件和连续条件确定积分常数条件确定积分常数条件确定积分常数条件确定积分常数 在支座A、C两处挠度应为零，即x0，w10;xl，w20因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即xl/4，w1w2;xl/4，1 1=2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第39页/共114页解：解：4 4 利用约束条件和连续利用约束条件和连续利用约束

27、条件和连续利用约束条件和连续条件确定积分常数条件确定积分常数条件确定积分常数条件确定积分常数 x0，w10;xl，w20 xl/4，w1w2;xl/4，1=2D1D2=0 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第40页/共114页解：解：5 5 确定转角方程和挠度确定转角方程和挠度确定转角方程和挠度确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转方程以及指定横截面的挠度与转方程以及指定横截面的挠度与转方程以及指定横截面的挠度与转角角角角 将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：ABAB段段 BCBC段段 据此，可以算得加力点B处的挠度和

28、支承处A和C的转角分别为 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第41页/共114页 确定约束力,判断是否需要分段以及分几段 分段建立挠度微分方程 微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度 与转角积分法小结积分法小结 分段写出弯矩方程 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第42页/共114页 叠加法确定梁的挠度与转角 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 返回第43页/共114页 在在很很多多工工程程计计算算手手册册中中，已已将将各各种种支支承承条条

29、件件下下的的静静定定梁梁，在在各各种种典典型型载载荷荷作作用用下下的的挠挠度度和和转转角角表表达达式式一一一一列列出出，简简称称为挠度表。为挠度表。基基基基于于于于杆杆杆杆件件件件变变变变形形形形后后后后其其其其轴轴轴轴线线线线为为为为一一一一光光光光滑滑滑滑连连连连续续续续曲曲曲曲线线线线和和和和位位位位移移移移是是是是杆杆杆杆件件件件变变变变形形形形累累累累加加加加的的的的结结结结果果果果这这这这两两两两个个个个重重重重要要要要概概概概念念念念，以以以以及及及及在在在在小小小小变变变变形形形形条条条条件件件件下下下下的的的的力力力力的的的的独独独独立立立立作作作作用用用用原原原原理理理理，

30、采采采采用用用用叠叠加加法法（superpositionsuperpositionmethodmethod）由由由由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第44页/共114页 叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形 叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第45页/共114页 叠

31、加法应用于多个载荷作用的情形 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第46页/共114页 当当当当梁梁梁梁上上上上受受受受有有有有几几几几种种种种不不不不同同同同的的的的载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用时时时时，都都都都可可可可以以以以将将将将其其其其分分分分解解解解为为为为各各各各种种种种载载载载荷荷荷荷单单单单独独独独作作作作用用用用的的的的情情情情形形形形，由由由由挠挠挠挠度度度度表表表表查查查查得得得得这这这这些些些些情情情情形形形形下下下下的的的的挠挠挠挠度度度度和和和和转转转转角角角角，再再再再将将将将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时

32、作用的结果。所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第47页/共114页 已知已知：简支梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。求求：C截面的挠度wC；B截面的转角 B。例例 题题 3 3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第48页/共114页解：

33、解：1.将梁上的载荷变为三种简单的情形。叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第49页/共114页解：解：2.由挠度表查得三种情形下C截面的挠度和B截面的转角。叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第50页/共114页解：解：3.应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加 将上述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角:叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第51页/共114页 叠加法应用于间断性 分布载荷作用的情形 叠加法确定梁的挠度与转角

34、叠加法确定梁的挠度与转角 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第52页/共114页 对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反

35、的分布载荷，最后应用叠加布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。法。法。法。叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第53页/共114页 已知已知：悬臂梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。求求：C截面的挠度wC和转角 C。例例例例 题题题题 44 叠加法确定

36、梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第54页/共114页解：解：1.首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形 为了利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第55页/共114页 分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。于是，由挠度表中关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果，上述两种情形下自由端的挠度和转角分别为解：解：2 2再将处理后的梁分解为简单

37、载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第56页/共114页 两种情形下自由端的挠度和转角分别为 解：解：2 2再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第57页/共114页解：解：3 3将简单载荷作用的结果叠加 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第58页/共114页 弯曲刚度计算 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 返回第59页/共114

38、页 刚度计算的工程意义刚度计算的工程意义 梁的梁的刚度条件刚度条件 弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第60页/共114页 刚度计算的工程意义 弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第61页/共114页 对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果

39、过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。会增加轴承的磨损等等。刚度计算的工程意义刚度计算的工程意义刚度计算的工程意义刚度计算的工程意义 弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第62页/共114页 梁的刚度条件 弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第63页/共114页对于主要承受弯曲的零件和构件，对于主要承受弯曲的零件和构件，对于主要承受弯曲的零件和构件，对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面

40、处的挠度和转角或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足弯曲限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件刚度条件刚度条件刚度条件：上述二式中上述二式中 ww 和和 分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。件或构件的工艺要求而确定。梁的刚度条件梁的刚度条件梁的刚度条件梁的刚度条件 弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第64页/共114页已知：已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP20kN，alm，l2m，E=206GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角 =0.5。试求：试求：根据刚度要求确定

41、该轴的直径d。B例例 题题 55 弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第65页/共114页解：解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。B11查表确定查表确定查表确定查表确定B B处的转角处的转角处的转角处的转角由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为 弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第66页/共114页1 1查表确定查表确定查表确定查表确定B B处的转角处的转角处的转角处的转角由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为B2 2根据刚度设计准则确定轴的直径根据刚度设计

42、准则确定轴的直径根据刚度设计准则确定轴的直径根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求，有 弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第67页/共114页B2 2根据刚度设计准则确定轴的直径根据刚度设计准则确定轴的直径根据刚度设计准则确定轴的直径根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求，有其中，的单位为rad（弧度），而 的单位为（）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径 弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第68页/共114页 简单的静不定梁 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 返回第69页/共114页 多余约束与静不定次数多余约束与静不

43、定次数 求解静不定梁的基本方法求解静不定梁的基本方法 求解静不定梁示例求解静不定梁示例 简单的静不定梁简单的静不定梁 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第70页/共114页 多余约束与静不定次数 简单的静不定梁简单的静不定梁 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第71页/共114页静不定次数静不定次数未知力个数与独立平衡方程数之差未知力个数与独立平衡方程数之差静定问题与静定结构静定问题与静定结构未知力（内力或外力）个数未知力（内力或外力）个数 等于独立的平衡方程数等于独立的平衡方程数静不定问题与静不定结构静不定问题与静不定结构未知力个数多于独立未知力个数多于独立 的平衡方程数的平衡方程数多余约束

44、多余约束保持结构静定保持结构静定多余的约束多余的约束 多余约束与静不定次数多余约束与静不定次数多余约束与静不定次数多余约束与静不定次数 简单的静不定梁简单的静不定梁 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第72页/共114页 求解静不定梁的基本方法 简单的静不定梁简单的静不定梁 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第73页/共114页 静定与静定与静定与静定与静不定问题静不定问题的辩证关系的辩证关系的辩证关系的辩证关系 由于多余约束的存在，使问题由静力学可解变为静力学不可解，由于多余约束的存在，使问题由静力学可解变为静力学不可解，由于多余约束的存在，使问题由静力学可解变为静力学不可解，由于多余约束的

45、存在，使问题由静力学可解变为静力学不可解，这只是问题的一个方面。问题的另一方面是，由于多余约束对结构位这只是问题的一个方面。问题的另一方面是，由于多余约束对结构位这只是问题的一个方面。问题的另一方面是，由于多余约束对结构位这只是问题的一个方面。问题的另一方面是，由于多余约束对结构位移或变形有着确定的限制，而位移或变形又是与力相联系的，因而多移或变形有着确定的限制，而位移或变形又是与力相联系的，因而多移或变形有着确定的限制，而位移或变形又是与力相联系的，因而多移或变形有着确定的限制，而位移或变形又是与力相联系的，因而多余约束又为求解静不定问题提供了条件。余约束又为求解静不定问题提供了条件。余约束

46、又为求解静不定问题提供了条件。余约束又为求解静不定问题提供了条件。求解静不定梁的基本方法求解静不定梁的基本方法 简单的静不定梁简单的静不定梁 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第74页/共114页 求解静不定问题的基本方法求解静不定问题的基本方法根据以上分析，求解静不定问题除了平衡方程外，还需根据以上分析，求解静不定问题除了平衡方程外，还需要根据多余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形要根据多余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，即建立几何方程，称为变形协调方程之间的几何关系，即建立几何方程，称为变形协调方程（compatibilityequationcompa

47、tibilityequation）,并建立力与位移或变形之间的物并建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程（理关系，即物理方程或称本构方程（constitutiveequationsconstitutiveequations）。）。将这二者联立才能找到求解静不定问题所需的补充方程。将这二者联立才能找到求解静不定问题所需的补充方程。可见，求解静不定问题，需要综合考察结构的平衡、变形可见，求解静不定问题，需要综合考察结构的平衡、变形协调与物理等三方面，这就是求解静不定问题的基本方法。这协调与物理等三方面，这就是求解静不定问题的基本方法。这与第与第8 8章中将要分析正应力的方法是相似

48、的。章中将要分析正应力的方法是相似的。简单的静不定梁简单的静不定梁 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第75页/共114页 求解静不定梁示例 简单的静不定梁简单的静不定梁 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第76页/共114页3-3=04-3=1lMA ABFAyFAxql ABMAFAyFAxFB 求解静不定梁示例求解静不定梁示例求解静不定梁示例求解静不定梁示例 简单的静不定梁简单的静不定梁 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第77页/共114页532633FBxMBBl AMAFAyFAxFByBl AMAFAyFAxFBxFBy 简单的静不定梁简单的静不定梁 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲

49、刚度 第78页/共114页 应用小变形概念可以推知某些未知量应用小变形概念可以推知某些未知量应用小变形概念可以推知某些未知量应用小变形概念可以推知某些未知量 由于在小变形条件下，梁的轴向位移忽略不计，静定梁由于在小变形条件下，梁的轴向位移忽略不计，静定梁自由端自由端B B处水平位移处水平位移u u=0=0。既然。既然u u=0=0，在没有轴向载荷作用的，在没有轴向载荷作用的情形下，固定铰支座和固定端处便不会产生水平约束力，即情形下，固定铰支座和固定端处便不会产生水平约束力，即F FAxAx F FBxBx=0=0。因此，求解这种静不定问题只需。因此，求解这种静不定问题只需1 1个补充方程。个补

50、充方程。可以写出变形协调方程为可以写出变形协调方程为FBxBl AMAFAyFAxFBy 简单的静不定梁简单的静不定梁 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第79页/共114页 应用小变形概念可以推知某些未知量应用小变形概念可以推知某些未知量应用小变形概念可以推知某些未知量应用小变形概念可以推知某些未知量Bl AMAFAyFBy 简单的静不定梁简单的静不定梁 第第8 8章章 弯曲刚度弯曲刚度 第80页/共114页 应用对称性分析可以推知某些未知量应用对称性分析可以推知某些未知量应用对称性分析可以推知某些未知量应用对称性分析可以推知某些未知量F FAxAx=F FBxBx=0,0,F FAyAy=