数值分析_1.ppt

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1、数值分析数值分析计算机学院软件部计算机学院软件部王贵珍王贵珍 Tel:(o)68914322,(m)13167532629 Email： Address:中心教学楼中心教学楼中心教学楼中心教学楼90906#6#（软件教研室）（软件教研室）（软件教研室）（软件教研室）2课程内容课程内容第一章第一章 数值数值计算中的误差计算中的误差第二章第二章 方程（组）的迭代解法方程（组）的迭代解法第三章第三章 解线性方程组的直接解法解线性方程组的直接解法第四章第四章 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法第五章第五章 插值法插值法第六章第六章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分3第一章第一章 数值计算中的

2、误差数值计算中的误差4本章内容本章内容1 计数与数值计数与数值2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字3 算术运算中的误差算术运算中的误差4 算法举例算法举例5 数值计算中的误差数值计算中的误差6 误差分配原则与处理方法误差分配原则与处理方法52 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字62 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.1 绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差近似数近似数a的的绝对误差绝对误差 ，设设a是精确值是精确值A的近似值，的近似值，=aA绝对误差限绝对误差限|=|aA|(上界上界)由上式可推知由上式可推知 a Aa+，也可表示为，也可表示为A=a a-a+aA简称简称误差误差

3、7相对误差相对误差 ：绝对误差与精确值之比绝对误差与精确值之比 =/A。实际计算实际计算 /a。代替后误差代替后误差相对误差限相对误差限|=|/a|/|a|(上界上界)绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲,有有时亦用百分比、千分比表示。时亦用百分比、千分比表示。2 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.1 2.1 绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差8例：例：计算绝对误差与相对误差计算绝对误差与相对误差(1)a=0.3100*101 近似精确值近似精确值A=0.3000*101(2)a=0.3100*10-3近似精确值近似精确值 A=0.3000

4、*10-3，解：解：(1)=0.1，(2)=0.1*10-4，2 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.1 2.1 绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差=0.033=3.3%=0.033=3.3%9例：例：用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，分别读出长度分别读出长度a=312mm和和b=24mm，问：问：(1)a、b的绝对误差限、相对误差限各是多少？的绝对误差限、相对误差限各是多少？(2)两直杆实际长度两直杆实际长度x和和y在什么范围内？在什么范围内？解：解：2 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.1 2.1 绝对误差与相对误差

5、绝对误差与相对误差10舍入方法舍入方法:将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似数的处理方法数的处理方法 A=a0 a1 am am+1 am+n am+n+1 高位部分高位部分低位部分低位部分表示成表示成 A=a0 a1 am.am+1 am+n +0.00 am+n+1 2 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.2 2.2 舍入方法舍入方法n位位11取取a=a0 a1 am.am+1 am+n|aA|0.0 0 am+n+1 0.0 0 999.0.0 0 1=110n截断法截断法产生的绝对误差限不超过近似数产生的绝对误差限不超过近似数a最末

6、位最末位的的1个单位。个单位。2 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.2 2.2 舍入方法舍入方法舍入方法舍入方法 2.2.1 2.2.1 截断法截断法截断法截断法n位位n-1位位 A=a0 a1 am.am+1 am+n +0.00 am+n+1 n位位n位位12四舍情况，四舍情况，当当am+n+1=0,1,2,3,4时，时，取取 a=a0 a1 am.am+1 am+n|aA|0.0 0 am+n+1 0.0 0 499.0.0 0 5=0.510-n0,1,2,3,42 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效

7、数字 2.2 2.2 舍入方法舍入方法舍入方法舍入方法 2.2.22.2.2四舍五入法四舍五入法四舍五入法四舍五入法n位位n位位绝对误差限绝对误差限 =0.510-n A=a0 a1 am.am+1 am+n +0.00 am+n+1 n位位n位位13五入情况五入情况当当am+n+1=5,6,7,8,9时，时，取取 a=a0 a1 am.am+1 (am+n+1)|=|aA|=0.0 0 1 0.0 0 am+n+1 0.0 0 1 0.0 0 50.=0.510-n5,6,7,8,92 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.2 2.2 舍入方法舍入

8、方法舍入方法舍入方法 2.2.22.2.2四舍五入法四舍五入法四舍五入法四舍五入法n-1位位n位位n位位n-1位位绝对误差限绝对误差限 =0.510-n A=a0 a1 am.am+1 am+n +0.00 am+n+1 n位位14四舍五入到小数点后第四舍五入到小数点后第n位的方法位的方法:|0.510-n =0.510-n 结论：结论：凡是由凡是由准确值准确值经过四舍五入而得到的近似经过四舍五入而得到的近似值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。2 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.2 2.2 舍

9、入方法舍入方法舍入方法舍入方法 2.2.22.2.2四舍五入法四舍五入法四舍五入法四舍五入法15例：例：设设a=-2.18和和b=2.1200是分别由准确值是分别由准确值x和和y经过四舍五入而得到的近似值，问经过四舍五入而得到的近似值，问:a、b的绝的绝对误差限、相对误差限各是多少？对误差限、相对误差限各是多少？解：解：2 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.2 2.2 舍入方法舍入方法舍入方法舍入方法 2.2.22.2.2四舍五入法四舍五入法四舍五入法四舍五入法16定义定义：如果近似数：如果近似数x的绝对误差不超过某一位的绝对误差不超过某一位数字

10、的半个单位，则称数字的半个单位，则称x准确到这一位准确到这一位；从该位数字到第一位非零的所有数字均叫做从该位数字到第一位非零的所有数字均叫做有有效数字效数字；若共有若共有n位数字，则称位数字，则称x具有具有n位位有效数字有效数字。若近似数若近似数x的绝对误差不超过最末一位的半个的绝对误差不超过最末一位的半个单位，则称单位，则称x为为有效数有效数。2 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.3 2.3 有效数字有效数字有效数字有效数字推论推论1 对于给出的对于给出的有效数有效数，其绝对误差限不大于其，其绝对误差限不大于其最末数字的半个单位。最末数字的半个

11、单位。由准确值经过四舍五入得到的近似值是有效数。由准确值经过四舍五入得到的近似值是有效数。17例：例：设设x*=2.40315是精确值是精确值x=2.40194的近似值，的近似值，则则x*有几位有效数字？有几位有效数字？2 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.3 2.3 有效数字有效数字有效数字有效数字0.5 10-2 解：解：|=|2.40315-2.40194|=0.00121x*有有3位有效数字。位有效数字。18推论推论2 有效数的有效数的相对误差限为相对误差限为有效数位越多，相对误差就越小有效数位越多，相对误差就越小。2 2 舍入方法与有效

12、数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.3 2.3 有效数字有效数字有效数字有效数字证明：证明：令有效数令有效数A=a0 a1 am.am+1 am+n19例：例：计算计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于对误差限不大于0.01%？2 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.3 2.3 有效数字有效数字有效数字有效数字解：解：Sin1.2=0.932039 设取设取n位有效数字位有效数字则：则：510-n/90.01%10-n 1.4 10-4 n 4取取4位有效数字。位有效数

13、字。20注注1：从有效数从有效数x的最末位的最末位数字向左到数字向左到x的第一位非零数字的第一位非零数字均为有效数字。均为有效数字。2 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.3 2.3 有效数字有效数字有效数字有效数字由准确值经过四舍五入得到的近似值为有效数，从它的末由准确值经过四舍五入得到的近似值为有效数，从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字。位数字到第一位非零数字都是有效数字。例：例：x=1.315416876,如果取作如果取作1.32，则有三位有效数字则有三位有效数字,误差限误差限0.005;如如果果取取作作1.3154，则则有有五五位位

14、有有效效数数字字,误误差差限限为为0.00005。0.0035290.00352900两个不同的有效数两个不同的有效数21注注2：浮点数的有效数字由其定点部分的有效数位确定。浮点数的有效数字由其定点部分的有效数位确定。2 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.3 2.3 有效数字有效数字有效数字有效数字例：例：有效数有效数x=1510-5,定点部分定点部分15有有2位有效数字位有效数字x有有2位有效数字位有效数字误差限误差限 为为0.5 10-5相对误差限相对误差限 为为有效数有效数y=7.83105y有有3位有效数字位有效数字 ，误差限，误差限 为

15、为0.005 105=0.5 10322例：例：下列近似值的绝对误差限都是下列近似值的绝对误差限都是0.005:a=1.38，b=-0.0312，c=0.86 10-4，d=0.86 104问：各个近似值有几个有效数字？问：各个近似值有几个有效数字？从小数点后第二位开始数起从小数点后第二位开始数起解：解：a:n=3(1,3,8)b:n=1(3)c:n=0（没有有效数字（没有有效数字）d:n=6（8,6,0,0,0,0）2 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.3 2.3 有效数字有效数字有效数字有效数字23注注3：若已知数若已知数x及其误差限及其误差

16、限，要求要求确定其有效数位确定其有效数位并对并对x作舍入处理作舍入处理。2 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.3 2.3 有效数字有效数字有效数字有效数字将将 扩大成扩大成 0.5 10-k，对对x舍入到小数点后舍入到小数点后k位。位。例：例：x=2.45648,其误差限其误差限 0.000789456。0.000789456 0.5 10-2 x=2.45648，有，有3位有效数字。位有效数字。舍入舍入处处理理为为x=2.46。x=2.46 不是有效数。不是有效数。其误差包含了舍入误差与原误差。其误差包含了舍入误差与原误差。24注注4：若若要求

17、近似要求近似数数x的误差限小于的误差限小于，确定确定x取几位有效取几位有效数字。数字。2 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.3 2.3 有效数字有效数字有效数字有效数字将将 缩缩小小成成0.5 10-k ，对对x对对应应的的精精确确数数舍舍入入到到小数点后小数点后k位得到位得到x。例：例：要求要求x的误差限小于的误差限小于 =0.00045。0.5 10-4 0.00045x取至小数点后第取至小数点后第4位。位。252.1 绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差设设A是精确值，是精确值，a是近似值，是近似值，绝对误差绝对误差 =aA绝对误差限绝对误

18、差限|=|a-A|(上界上界)相对误差相对误差 =/A相对误差限相对误差限=/|A|(上界上界)绝对误差和相对误差有关系绝对误差和相对误差有关系 =a 2 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字小结小结小结小结262.2 舍入方法舍入方法截断法截断法:绝对误差限为最末位的绝对误差限为最末位的1个单位个单位四舍五入法四舍五入法:绝对误差限为末位的半个单位绝对误差限为末位的半个单位2 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字小结小结小结小结27我们希望所表示的数本身就能显示出它的准确我们希望所表示的数本身就能显示出它的准确程

19、度，于是引入程度，于是引入2.3 有效数字有效数字反映绝对误差限反映绝对误差限有效数的绝对误差限为最末数字的半个单位有效数的绝对误差限为最末数字的半个单位 由准确值经过四舍五入得到的近似值，从它的末位由准确值经过四舍五入得到的近似值，从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字数字到第一位非零数字都是有效数字在讲了有效数字之后，规定，在讲了有效数字之后，规定，所写出的数都应所写出的数都应该是四舍五入到最后一位有效数字位。该是四舍五入到最后一位有效数字位。2 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字小结小结小结小结28本章内容本章内容1 计数与数值计数与数值2

20、舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字3 算术运算中的误差算术运算中的误差4 算法举例算法举例5 数值计算中的误差数值计算中的误差6 误差分配原则与处理方法误差分配原则与处理方法293 算术运算中的误差算术运算中的误差30vx*，y*为准确值，为准确值，x，y为其近似值为其近似值v绝对误差为：绝对误差为：x=x-x*，y=y-y*v绝对误差限为绝对误差限为:|x-x*|x,|y-y*|y vC=x y C=CC*=(x y)(x*y*)(x-x*)(y-y*)=x y|C|x|+|y|x+y和差运算的绝对误差限为各数的绝对误差限之和和差运算的绝对误差限为各数的绝对误差限之和。3 3 算术运算中的

21、误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.1 3.1 加减运算加减运算加减运算加减运算 C31例例1.1：求有效数求有效数285.35，196.87，58.43，4.96的和。的和。285.35285.35196.87196.8758.4358.43+)4.96+)4.96545.61545.61和和545.61545.61的绝对误差限为的绝对误差限为:4(0.510-2)=0.02545.61545.61有有4 4位有效数字，舍入处理为位有效数字，舍入处理为545.6545.63 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.1 3.1 加减运算加

22、减运算加减运算加减运算0.0532 3.150950 15.426463 568.3758+7684.388 8271.341213例例1.2:求有效数求有效数3.150950，15.426463，568.3758，7684.388的和。的和。0.0000005 0.0000005 0.00005 +0.0005 0.00055100.5*100.5*10-2 2和和=8271.34=8271.34误差限误差限没有意义没有意义3 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.1 3.1 加减运算加减运算加减运算加减运算33例题例题1.2 求和求和 3.150950

23、15.426463 568.3758+7684.388作舍入作舍入处理处理和的绝对误差限为和的绝对误差限为 3*(0.5*10-4)+0.5*10-3=0.000650.005 和和=8271.34 3.1510 15.4265 568.3758+7684.388 8271.34133 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.1 3.1 加减运算加减运算加减运算加减运算343 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.2 3.2 乘积运算乘积运算乘积运算乘积运算若多元函数若多元函数f在其定义域内的一点在其定义域内的一点(x1,x

24、2,xn)可微，可微，则则f在该点的增量可表示为：在该点的增量可表示为：或或353 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.2 3.2 乘积运算乘积运算乘积运算乘积运算vx*,y*为准确值为准确值,x,y为其近似值为其近似值v绝对误差为绝对误差为:x=x-x*,y=y-y*v绝对误差限为绝对误差限为:|x-x*|x,|y-y*|y vC=xyvdC近似近似 C，dx x，dy y。|C|y|x|+|x|y|y|x+|x|ydC=xdy+ydx C=y x+x y36乘积运算的相对误差为各乘数的相对误差之和；乘积运算的相对误差为各乘数的相对误差之和；乘积运算的相

25、对误差限为各乘数相对误差限之和。乘积运算的相对误差限为各乘数相对误差限之和。3 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.2 3.2 乘积运算乘积运算乘积运算乘积运算|C|y|x|+|x|y|y|x+|x|y C=x+y C|C|=|x+y|=|x|+|y|x+y37商运算的相对误差限等于除数与被除数的相对商运算的相对误差限等于除数与被除数的相对误差限之和。误差限之和。3 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.3 3.3 商运算商运算商运算商运算 C=x+y38例例1.41.4：求有效数求有效数25.725.7和和3.63.6

26、的商以及商的相对的商以及商的相对误差限和绝对误差限。误差限和绝对误差限。解：解：C 0.05/25.7+0.05/3.6=0.016C=25.7/3.6=7.13889 C=7.13889*0.016=0.110.53 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.3 3.3 商运算商运算商运算商运算25.7/3.6=7393 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.3 3.3 幂运算幂运算幂运算幂运算幂运算的相对误差等于底数相对误差的指数倍幂运算的相对误差等于底数相对误差的指数倍幂运算的相对误差限等于底数相对误差限的指数倍幂运算的

27、相对误差限等于底数相对误差限的指数倍|c|=p|x|40(1)误差与计算次数成正比误差与计算次数成正比简化计算步骤，减少运简化计算步骤，减少运算次数。算次数。例：例：计算多项式的值计算多项式的值 如果改写为：如果改写为：运算次数：运算次数：乘法：乘法：n+(n-1)+1=n(n+1)/2 加法：加法：n 运算次数：运算次数：乘法：乘法：n 加法：加法：n 3 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.4 3.4 运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方 (1)(1)减少运算次数减少运算次数减少运算次数减少运算次数秦九昭算法

28、秦九昭算法(1247)(1247)Hernor(1819)Hernor(1819)41(2)防止大数吃小数的情况防止大数吃小数的情况数量级相同的先运算数量级相同的先运算在计算机内，在计算机内，做加法时，两加数的指数先向大指数做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。对齐，再将浮点部分相加。10103 3(0.8961)(0.8961)+10+10-3-3(0.4688)(0.4688)对对 阶阶 10103 3(0.8961)(0.8961)+10+103 3(0.0000)004688(0.0000)004688可能结果：可能结果：a+b+c a+c+b例：例：a=1012，b

29、=10，c=-a3 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.4 3.4 运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方 (2)(2)防止大数吃小数防止大数吃小数防止大数吃小数防止大数吃小数42例如计算例如计算 采用采用3位浮点数的截断方式进行运算位浮点数的截断方式进行运算从左到右的次序计算得从左到右的次序计算得y=2.91=2.91从右到左的次序计算得从右到左的次序计算得y=2.93=2.93误差误差0.010.019 9误差误差0.000.001 1n避免这种情况避免这种情况,按绝对值从小到大的次序相加。按绝对值从小到大的次

30、序相加。3 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.4 3.4 运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方 (2)(2)防止大数吃小数防止大数吃小数防止大数吃小数防止大数吃小数真值真值2 2.92896825492896825443(3)两个相近数相减，易失有效位两个相近数相减，易失有效位两正数之差两正数之差 C=x-y的相对误差限是的相对误差限是因为因为x和和y的前几位有效数字必然相同，相减之后有的前几位有效数字必然相同，相减之后有效数字位会大大减少，使有效数字严重损失效数字位会大大减少，使有效数字严重损失例如：例如：c

31、os20=0.9994，1 cos20=0.0006避免这种情况，可以使用避免这种情况，可以使用转换公式转换公式；或者；或者增加增加字长字长，维持一定有效位，保证精度。，维持一定有效位，保证精度。3 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.4 3.4 运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方 (3)(3)禁止相近数相减禁止相近数相减禁止相近数相减禁止相近数相减44(4)当当商运算的商运算的分母很小时，分母很小时，|c|可能很大可能很大分子舍入误差分子舍入误差放大了放大了10106 6倍倍3 3 算术运算中的误差算术运算中

32、的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.4 3.4 运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方 (4)(4)禁止除数过小禁止除数过小禁止除数过小禁止除数过小例：例：分母分母0.00000145(5)当分母为两个相近数相减时当分母为两个相近数相减时,会因有效数字会因有效数字丧失而出现丧失而出现(4)的情况的情况这里分子的误这里分子的误差被扩大差被扩大10104 4倍倍3 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.4 3.4 运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方 (4)(4)禁止除

33、数过小禁止除数过小禁止除数过小禁止除数过小46在各种数学模型中在各种数学模型中,它们的解与它们的解与x1,x2,xn有关有关,可以记为可以记为y=f(x1,x2,xn)假定假定f在点在点(x1,x2,xn)可微，则当数据误差较可微，则当数据误差较小时，解的误差限可估计如下：小时，解的误差限可估计如下：Ai3 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.5 3.5 数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计 f47解的相对误差限如下：解的相对误差限如下：Bi公式仅当公式仅当 xi较小时才合宜较小时才合宜,否则否则 f或或f按按x

34、i为线性迭加进行估计，实际为非线性变化为线性迭加进行估计，实际为非线性变化系数系数Ai、Bi的大小可以衡量解对数据误差的敏感程度的大小可以衡量解对数据误差的敏感程度3 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.5 3.5 数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计 f48例例 已知球体的直径已知球体的直径D=3.7cm,按按v=D3/6计算体计算体积，求其绝对误差限与相对误差限积，求其绝对误差限与相对误差限3 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.5 3.5 数学问题解的误差估计数学问题解

35、的误差估计数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计解：解：取取=3.14 =0.0016 D=0.05取取310V=8.44 0.0016+21.5 0.05=1.088549例例 设设f(x,y)=cosy/x，x=1.30 0.005，y=0.871 0.0005，如果用，如果用u*=f(1.30,0.871)作为作为f(x,y)的近似值，则的近似值，则u*有几位有效数字？有几位有效数字？3 3 算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差算术运算中的误差 3.5 3.5 数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计解：解：u*=cos0.871/1

36、.30=0.49543有有2位有效数字位有效数字=0.00220.00550本章内容本章内容1 计数与数值计数与数值2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字3 算术运算中的误差算术运算中的误差4 算法举例算法举例5 数值计算中的误差数值计算中的误差6 误差分配原则与处理方法误差分配原则与处理方法514 算法举例算法举例52例例1.81.8 计算计算解解:(1)算法算法1。分子分母分别计算后相除。分子分母分别计算后相除(取取9位小位小数数)A=0.0005*0.0143*0.0012=0.00000715*0.0012 =0.000000009(有舍入有舍入)B=0.0003*0.0125*0.

37、0135=0.00000375*0.0135 =0.000000051(有舍入有舍入)A=B=0.510-9取取D=0.24 4 算法举例算法举例算法举例算法举例D=A/B=0.17647下页下页53(2)算法算法2。分成三组因子。分成三组因子,每组只取六位小数计算每组只取六位小数计算a=0.0005/0.0003=1.666667(有舍入有舍入)b=0.0143/0.0125=1.144000c=0.0012/0.0135=0.088889(有舍入有舍入)D=1.666667*1.144000*0.088889=0.169482bca4 4 算法举例算法举例算法举例算法举例 D=0.0000

38、003+0.0000056 =0.0000059 D=0.169482 D =1.010-60.510-5上页上页取取D=0.16948真值为真值为0.1694814854例例1.91.9:试用试用5 5位有效数字及位有效数字及Taylor公式计算公式计算e-5.5的值的值 0 1 1 1 -5.5000 -4.5000 2 15.125 10.625 3 -27.730 -17.105 4 38.446 17.528 5 -41.942 -20.918 6 38.446 17.528 7 -39.208 -12.680nn 8 20.768 8.0888 20.768 8.088 9 -12

39、.692 -4.6049 -12.692 -4.6040 010 6.9803 2.376310 6.9803 2.376311 -3.4902 -1.113911 -3.4902 -1.113912 1.5997 0.485812 1.5997 0.48580 013 -0.676713 -0.67676 6 -0.19096 -0.1909614 0.26587 0.0749114 0.26587 0.0749115-0.097415-0.09748686-0.022580.022580 0n16 0.033510 0.01093017-0.010842 0.00008818 0.0033

40、127 0.003400719-0.00095895 0.002441820 0.00026371 0.002705521-0.000069067 0.002636422 0.000017268 0.002653723-0.0000041293 0.0026496真实值是真实值是0.00408678*(0.5*10-3)=0.0040.5*10-24 4 算法举例算法举例算法举例算法举例55改变算法计算例改变算法计算例1.9先计算先计算x=5.5的部分级数的部分级数,再求倒数再求倒数nn1 1 5.55.500000010 6.98010 6.9809 12.692 9 12.692 2 15

41、.1252 15.1258 20.7688 20.7683 27.730 3 27.730 7 30.2087 30.2084 38.14 38.13 3 n17 17 0.0108420.01084216 16 0.033510.033511 115 15 0.09740.0974868614 14 0.265870.2658713 13 0.676760.676760 10 1.0000.000012 1.599712 1.599711 3.490211 3.49024 4 算法举例算法举例算法举例算法举例6 38.46 38.45 55 41.945 41.940.0108420.044

42、3530.141840.407711.08452.08453.68427.174412.67419.65432.34647.47168.23995.969126.18164.30202.74244.703(0.510-6)+2(0.510-5)+2(0.510-4)+6(0.510-3)+2(0.510-2)0.024真实值是真实值是0.0040867商商1/244.70的值的值0.0040866367具有相对误差限具有相对误差限|0/1+0.024/244.70=0.000098|0.00408663670.0000980.410-60.510-6 所以所以0.0040866367可以取为可

43、以取为0.00408756p解决方法解决方法(1)增加有效数位增加有效数位增加数值的有效数位至增加数值的有效数位至11位进行计算。位进行计算。结果为结果为 x1=99999.999990 (正确）正确）,x2=0.000010 (正确）正确）例例1.10:求二次方程求二次方程x2-105x+1=0的根的根解解：按二次方程求根公式及：按二次方程求根公式及8位有效数字计算，得位有效数字计算，得4 4 算法举例算法举例算法举例算法举例57解决方法解决方法(2)选择求根公式选择求根公式根据根据ax2+bx+c=0中中b的符号选择求根公式，的符号选择求根公式，=10=105 54 4 算法举例算法举例算

44、法举例算法举例例例1.10:求二次方程求二次方程x2-105x+1=0的根的根58例例1.11：计算计算In=01xnex-1dx，n=0,7解：解：算法算法1:用分部积分法可以推知用分部积分法可以推知In满足以下递推公式满足以下递推公式 In=1-nIn-1取取I0=01ex-1dx=ex-1|01=1-e-10.6321逐次递推得逐次递推得I1,I2,I9。算法算法2:按照公式按照公式In-1=(1-In)/n 取取I9 0.0684，反向计算得反向计算得I8,I7,I0。4 4 算法举例算法举例算法举例算法举例59算法算法1的误差：的误差：I0 与与I1的误差是的误差是I2的误差是的误差

45、是2I3的误差是的误差是6I9的误差是的误差是9!算法算法2的误差：的误差：I9的误差是的误差是 I8的误差是的误差是/9I7 的误差是的误差是/9/8 I0 与与I1的误差的误差/9!舍入误差对计算结果舍入误差对计算结果影响小的算法称为影响小的算法称为稳稳定的算法定的算法,否则称为否则称为不不稳定的算法稳定的算法.In I I0 0 I I1 1 I I2 2 I I3 3 I I4 4 I I5 5 I I6 6 I I7 7 I I8 8 I I9 9算法算法10.0.0.0.63216321632163210.360.360.360.367 7 7 79 9 9 90.2640.264

46、0.2640.2642 2 2 20.200.200.200.207 7 7 74 4 4 40.0.0.0.1 1 1 17047047047040.10.10.10.14 4 4 4808080800.0.0.0.1 1 1 11201201201200.0.0.0.2160216021602160-0.7280-0.7280-0.7280-0.72807.5527.5527.5527.552算法算法20.0.0.0.6326326326321 1 1 10.360.360.360.367 7 7 79 9 9 90.26430.26430.26430.26430.20730.20730.

47、20730.20730.17080.17080.17080.17080.14550.14550.14550.14550.1260.1260.1260.1268 8 8 80.1120.1120.1120.1121 1 1 10.10350.10350.10350.10350.06840.06840.06840.06844 4 算法举例算法举例算法举例算法举例 In=1-nIn-1In-1=1-In/n在大量计算中在大量计算中,舍入误差的舍入误差的积累和传播积累和传播,与算法有关。与算法有关。舍入误差能控制在一定范围舍入误差能控制在一定范围内就是稳定的。内就是稳定的。60结论结论:计算中出现的舍

48、入误差是不可避免的计算中出现的舍入误差是不可避免的它直接影响到算法的数值稳定性，所以在数它直接影响到算法的数值稳定性，所以在数值方法的选择和设计中必须慎重考虑值方法的选择和设计中必须慎重考虑大量数值运算中，有效数位流失是难免的大量数值运算中，有效数位流失是难免的由于舍入误差估计的困难性，粗略的做法是由于舍入误差估计的困难性，粗略的做法是按照预定精度用多取若干位的数值计算按照预定精度用多取若干位的数值计算4 4 算法举例算法举例算法举例算法举例61本章内容本章内容1 计数与数值计数与数值2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字3 算术运算中的误差算术运算中的误差4 算法举例算法举例5 数值计算中

49、的误差数值计算中的误差6 误差分配原则与处理方法误差分配原则与处理方法625 数值计算中的误差数值计算中的误差63数值方法解题的一般过程：数值方法解题的一般过程：1.对于要解决的问题建立数学模型对于要解决的问题建立数学模型2.研究用于求解该数学问题近似解的算法和过程研究用于求解该数学问题近似解的算法和过程3.按照按照2进行计算，得到计算结果进行计算，得到计算结果建立数建立数学模型学模型转化为转化为数值公式数值公式进行计算进行计算5 5 数值计算中的误差数值计算中的误差数值计算中的误差数值计算中的误差 5.1 5.1 数值计算中的误差种类数值计算中的误差种类数值计算中的误差种类数值计算中的误差种

50、类？64数值计算中的误差种类数值计算中的误差种类1.模型误差模型误差2.观测误差观测误差3.截断误差截断误差4.舍入误差舍入误差5 5 数值计算中的误差数值计算中的误差数值计算中的误差数值计算中的误差 5.1 5.1 数值计算中的误差种类数值计算中的误差种类数值计算中的误差种类数值计算中的误差种类65数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建立起来的有关量的描述立起来的有关量的描述实际问题实际问题的真解的真解数学模型数学模型的真解的真解为减化模型忽略次要为减化模型忽略次要因素因素定理在特定定理在特定条件下建立条件下建立n例例 用用s(t)=gt2/2,g