中科大量子力学课件ppt.ppt

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1、Ch.7 Spin and undistinguished similar particles第七章第七章 自旋与全同粒子自旋与全同粒子 Spin and undistinguished similar particles1Ch.7 Spin and undistinguished similar particles2为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能Ch.7 Spin and undistinguished similar particles3为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大

2、会精神,充分发挥中小学图书室育人功能前前言言1.未考虑粒子的自旋特征，微观粒子都有自旋特征。未考虑粒子的自旋特征，微观粒子都有自旋特征。2.仅考虑了单粒子体系，实际粒子体系一般是多粒仅考虑了单粒子体系，实际粒子体系一般是多粒子体系。子体系。前前面面的的理理论论尚尚有有两两方方面面的的局局限限:电子的自旋特征电子的自旋特征具有自旋特征粒子的波函数具有自旋特征粒子的波函数角动量耦合角动量耦合多粒子体系多粒子体系实际应用实际应用主主要要研研究究内内容容Ch.7 Spin and undistinguished similar particles4为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大

3、精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能v7.1 电子自旋电子自旋 Electron spin v7.2 电子自旋算符与自旋波函数电子自旋算符与自旋波函数 Electron spin operator and spin wave function v7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应 Simple Zeeman effectv7.4 两个角动量的耦合两个角动量的耦合 Coupling of two angular momentum v7.5 光谱的精细结构光谱的精细结构 Fine structure of the spectrumv7.6 全同粒子的性质全同粒子的性质 The c

4、haracterization of similar particles v7.7 全同粒子系统的波函数全同粒子系统的波函数 泡利原理泡利原理 The wave function of similar particle system Pauli principlev7.8 两个电子的波函数两个电子的波函数 The spin wave function of two electrons讲授内容讲授内容Ch.7 Spin and undistinguished similar particles5为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室

5、育人功能学习要求学习要求1 1了解斯特恩了解斯特恩-格拉赫实验，电子自旋回转磁比率与格拉赫实验，电子自旋回转磁比率与 轨道回转磁比率。轨道回转磁比率。2 2掌握自旋算符的对易关系和自旋算的矩阵形式掌握自旋算符的对易关系和自旋算的矩阵形式(泡利泡利 矩阵矩阵)，与自旋相联系的测量值、概率、平均值等的，与自旋相联系的测量值、概率、平均值等的 计算以及本征值方程和本征函数的求解方法。计算以及本征值方程和本征函数的求解方法。3 3了解简单塞曼效应的物理机制了解简单塞曼效应的物理机制。4 4了解耦合的概念及碱金属原子光谱双线结构的物理了解耦合的概念及碱金属原子光谱双线结构的物理 解释。解释。5 5全同粒

6、子的基本概念，全同性质理，波函数的交换全同粒子的基本概念，全同性质理，波函数的交换 对称性。对称性。6 6全同粒子的分类全同粒子的分类。7 7全同粒子体系的波函数，包括两个全同粒子体系的全同粒子体系的波函数，包括两个全同粒子体系的 波函数，波函数，N N个全同粒子体系的波函数。个全同粒子体系的波函数。8 8掌握掌握两个电子的自旋函数两个电子的自旋函数。Ch.7 Spin and undistinguished similar particles6为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能Stern-Gerlach实验实验7.1

7、 7.1 电子自旋电子自旋基态氢原子在非均匀磁场中基态氢原子在非均匀磁场中Conclusion:磁矩平行或反平行于外加磁场磁矩平行或反平行于外加磁场M(Magnetic moment)parallel or anti-parallel to B(Magnetic field)Problem：Where does the M come from?Ch.7 Spin and undistinguished similar particles7为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能乌仑贝克乌仑贝克.哥德斯米脱假设哥德斯米脱假设（

8、1 1）每个电子具有自旋角动量每个电子具有自旋角动量 ，它在空间任意方，它在空间任意方向的取值只能有两个向的取值只能有两个 。（SI）（CGS）在任意方面在任意方面上的投影上的投影（SI）（CGS）（2 2）每个电子具有自旋磁矩）每个电子具有自旋磁矩 ，它与自旋角动量的它与自旋角动量的关系是关系是7.1 7.1 电子自旋电子自旋 （续（续 1）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles8为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能回旋磁比率：回旋磁比率：（SI）（CGS）轨道磁

9、矩与轨道角动量的关系：轨道磁矩与轨道角动量的关系：（SI）（CGS）自自磁磁矩矩是是轨轨道道磁磁矩矩的的两两倍倍（玻尔磁子玻尔磁子）（SI）（CGS）7.1 7.1 电子自旋电子自旋 （续（续 2）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数1 自 旋 算 符 为了描述电子的自旋特性，引入一个厄米算为了描述电子的自旋特性，引入一个厄米算符符 来表征电子的自旋角动量来表征电子的自旋角动量 。注意注意：自旋角动量自旋角动量是电子内部是电子内部的一种的一种固有特性，固有特性，在经典理论中

10、没有对应量，也不同于一般的力学量，在经典理论中没有对应量，也不同于一般的力学量，它不能表示为坐标和动量的函数。它不能表示为坐标和动量的函数。是是自旋自旋角动量，应满足角动量算符的普遍对角动量，应满足角动量算符的普遍对易关系易关系9Ch.7 Spin and undistinguished similar particles10为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能自旋角动量平方算符自旋角动量平方算符平方分量间的对易关系平方分量间的对易关系7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续（续 1）Ch.

11、7 Spin and undistinguished similar particles11为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 由于在空间任意方向上的投影只有两个取值由于在空间任意方向上的投影只有两个取值，所以所以 、的本征值是的本征值是 的本征值的本征值都是都是 即即的本征值的本征值 若将若将自旋角动量自旋角动量本征值表示为角动量本征值表示为角动量本征值本征值的的一般形式一般形式:1.自自旋旋算算符符的的本本征征值值7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续（续 2）Ch.7 Spin a

12、nd undistinguished similar particles12为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能3 3 泡泡 利利 算算 符符s s为自旋量子数为自旋量子数为为“磁磁”量子量子数数为了讨论问题方便，引入泡利算符为了讨论问题方便，引入泡利算符7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续（续 3）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles13为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中

13、小学图书室育人功能对对 易易 关关 系系泡利算符泡利算符平方算符平方算符7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续（续 4）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles14为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能的本征值的本征值本本 征征 值值的本征值都是的本征值都是 7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续（续 5）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles15为深

14、入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能Prove反反对对易易关关系系7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续（续 6）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles4 4自旋算符的矩阵表示自旋算符的矩阵表示自旋算符在自旋算符在 、表象中的矩阵形式，可根据表象中的矩阵形式，可根据算符的一般理论，算符在其自身表象中为对角矩算符的一般理论，算符在其自身表象中为对角矩阵，矩阵元就是其本征得到：阵，矩阵元就是其本征得到：现在来研究现在来研究 、的矩阵形式的矩阵

15、形式7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续（续 7）16Ch.7 Spin and undistinguished similar particles17为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能故有故有（a a,d d 必为实数）必为实数）由由 设设 的矩阵形式为的矩阵形式为7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续（续 8）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles18为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和

16、党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能则则 而而 再由再由 得到得到7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续（续 9）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles19为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能取取 7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续（续 10）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles20为深入学习习近平新时代中国特色

17、社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能泡泡利利矩矩阵阵自自 旋旋 算算 符符 矩矩 阵阵7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续（续 11）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles5.自自 旋旋 函函 数数 电子既然有自旋，则其波函数就应考虑自旋量子电子既然有自旋，则其波函数就应考虑自旋量子数数 （构成力学量完全集合的力学量数目为（构成力学量完全集合的力学量数目为4 4个），个），波函数表示为波函数表示为写成矩阵形式，为二行一列矩阵写成矩阵形式，为二行一列矩阵7.2 7

18、.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续（续 12）21Ch.7 Spin and undistinguished similar particles22为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能这两种情况的物理意义：这两种情况的物理意义：时刻，时刻，处找到自旋处找到自旋 的电子的几率密度。的电子的几率密度。时刻，时刻，处找到自旋处找到自旋 的电子的几率密度的电子的几率密度 7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续（续 13）Ch.7 Spin and undistinguis

19、hed similar particles23为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能归一化条件：是是 时刻，时刻，处找到电子的几率密度处找到电子的几率密度7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续（续 14）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles24为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 在一般情况下，自旋和轨道运动之间有相互作在一般情况下，自旋和轨道运动之间有相互作用

20、，因而电子的自旋状态对轨道运动有影响，这通用，因而电子的自旋状态对轨道运动有影响，这通过过 中的中的 和和 是是 的不同函数来体现。的不同函数来体现。当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以忽当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以忽略时，略时，和和 对空间位置的依赖关系是一样的，对空间位置的依赖关系是一样的，这时可引入自旋函数这时可引入自旋函数7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续（续 15）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles25为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会

21、精神,充分发挥中小学图书室育人功能自自旋旋算算符符的的本本征征值值方方程程自自旋旋函函数数的的正正交交归归一一性性7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续（续 16）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles26为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能对自旋求平均：对自旋求平均：对坐标和自旋同时求平均对坐标和自旋同时求平均 将将 表示为二行二列矩阵表示为二行二列矩阵 任意一个算符 的平均值7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和

22、自旋函数 （续（续 17）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应考虑氢原子和类氢原子在磁场中的情况考虑氢原子和类氢原子在磁场中的情况在无外磁场的情况下，体系的定态在无外磁场的情况下，体系的定态Schrdinger方程方程 本征函数本征函数：27Ch.7 Spin and undistinguished similar particles28为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能本征能量：氢原子本征能量：氢原子 （仅与（仅与 有关

23、）有关）由由2P2P态跃迁到态跃迁到1S1S态的跃迁频率态的跃迁频率在有强磁场的情况下（忽略自旋与轨道运动的相在有强磁场的情况下（忽略自旋与轨道运动的相互作用能）磁场引起的附加能量互作用能）磁场引起的附加能量 （与有关）类氢原子类氢原子 7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续（续 1）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles29为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能取的取的 方向为方向为 轴方向，则轴方向，则定态定态SchrSchrdingerdinger方程方程

24、本征函数：本征函数：7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续（续 2）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles30为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能代入以上方程，写成代入以上方程，写成本征能量本征能量：当当 时时,7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续（续 3）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles31为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书

25、室育人功能讨讨论论当 时,1当原子处在 态时，7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续（续 4）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles32为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 由于电子存在自旋，原子处在磁场中，原来的能级 分裂为两条，正如斯特恩革拉赫实验中所观察到的。22P态1S态的跃迁情况1S态的能级 7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续（续 5）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles33为深入学

26、习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2P态的能级 7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续（续 6）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles34为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续（续 7）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles35为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教

27、育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续（续 8）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles36为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2P1S2P1S跃迁频率跃迁频率由此和选择定则由此和选择定则知知 即即2P1S2P1S跃迁频率可取三个值跃迁频率可取三个值,7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续（续 9）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles37为深入学习习近平新时代

28、中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续（续 10）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles7.6 7.6 全同粒子的特征全同粒子的特征固有性质相同的粒子称为全同粒子 例：电子、质子、中子、超子、重子、轻子、微子同类核原子、分子 固有性质指的是：质量、电荷、自旋同位旋、宇称、奇异数1.全同粒子38Ch.7 Spin and undistinguished similar particles39为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神

29、,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 例如：在电子双缝衍射实验中，考察两个电子，无法判别哪个电子通过哪条缝，也无法判别屏上观察到的电子，哪个是通过哪条缝来的，也无法判别哪个是第一个电子，哪个是第二个电子2不可区分性 经典力学中，两物体性质相同时，仍然可以区分，因各自有确定轨道。微观体系（粒子），因为运动具有波粒二象波粒二象性，无确定轨道，在位置几率重迭处就不能区分是哪个粒子。7.6 7.6 全同粒子的特征全同粒子的特征（续（续 1）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles3全同性原理由于全同粒子的不可区分性，在全同粒子所组成

30、的系统中，任意两个全同粒子相互交换（位置等），不会引起系统状态的改变。全同性原理是量子力学中的基本原理之一，也称基本假设之一。几率分布不变：7.6 7.6 全同粒子的特征全同粒子的特征（续（续）40Ch.7 Spin and undistinguished similar particles4全同粒子体系波函数的对称性质设体系由N个全同粒子组成以 表示第i个粒子的坐标和自旋表示第i个粒子在外场中的能量表示第i个粒子和第i个粒子的相互作用能则体系的哈米顿算符：两粒子互换，哈米顿算符不变7.6 7.6 全同粒子的特征全同粒子的特征（续（续）41Ch.7 Spin and undistinguish

31、ed similar particles42为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能薛定格方程：再交换 与7.6 7.6 全同粒子的特征全同粒子的特征（续（续）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles43为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 这表示如果这表示如果 是方程的解，是方程的解，则则 也是方程的解。也是方程的解。根据全同性原理，它们描述的是同一状态，则它根据全同性原理，它们描述的是同一状态，

32、则它们们间只可能间只可能相差一常数因子，以相差一常数因子，以 表示表示.即有即有再交换再交换 与与7.6 7.6 全同粒子的特征全同粒子的特征（续（续）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles44为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 描述全同粒子系统状态的波函数只能是对称的，描述全同粒子系统状态的波函数只能是对称的，或者反对称的。或者反对称的。当当 时时 即波函数为反对称函数即波函数为反对称函数当当 时时 即波函数为对称函数即波函数为对称函数7.6 7.6 全同粒子的

33、特征全同粒子的特征（续（续）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles45为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能5波函数的对称性质不随时间而变化 设设 时刻波函数对称：时刻波函数对称：它满足薛定格方程：它满足薛定格方程：由于由于 对称对称,使使 也对称也对称在在 时刻，波函数为时刻，波函数为 它它 是两个对称函数之和，故也是对称的。是两个对称函数之和，故也是对称的。同样可证明反对称函数在以后任何时刻都是反对称的同样可证明反对称函数在以后任何时刻都是反对称的。7.6 7.6

34、 全同粒子的特征全同粒子的特征（续（续）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles46为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能费米子和费米子和玻玻色子：色子：费米子：费米子：自旋为自旋为 奇数倍的粒子称为费米子。如电子、奇数倍的粒子称为费米子。如电子、质子、中子等粒子，自旋均为质子、中子等粒子，自旋均为 ，它们均为费米子。，它们均为费米子。玻色子：玻色子：自旋为自旋为 的整数倍的粒子称为玻色子。如介子、的整数倍的粒子称为玻色子。如介子、光子的自旋分别为光子的自旋分别为O O

35、或或 ，它们均为玻色子。，它们均为玻色子。玻色子服从玻色玻色子服从玻色爱因斯坦统计，其波函数是对称爱因斯坦统计，其波函数是对称的。的。费米子系统服从费米费米子系统服从费米狄拉克统计，其波函数是反狄拉克统计，其波函数是反对称的对称的。结论：结论：描写全同粒子系统状态的波函数只能是对描写全同粒子系统状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间变化。称的或反对称的，它们的对称性不随时间变化。7.6 7.6 全同粒子的特征全同粒子的特征（续（续）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles7.7 7.7 全同粒子体系的波函数全同粒子体系的波

36、函数 泡利原理泡利原理一一、两两粒粒子子体体系系在不考虑粒子间相互作用时，体系的哈米顿算符在不考虑粒子间相互作用时，体系的哈米顿算符 以以 和和 表示表示 的第的第i i个本征值和本征函数，则单个本征值和本征函数，则单粒子的本征值方程为：粒子的本征值方程为：体系的哈米顿算符的本征值方程为：体系的哈米顿算符的本征值方程为：本征波函数本征波函数（7.7-4）47Ch.7 Spin and undistinguished similar particles48为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能本征能量本征能量若两粒子交换，则

37、若两粒子交换，则（7.7-6）能量值仍为能量值仍为 是简并的，这种简并称为是简并的，这种简并称为交换简并交换简并。如果两粒子处于同一状态，如果两粒子处于同一状态，则（则（7.7-47.7-4）和（）和（7.7-67.7-6）给出同一个对称波函数）给出同一个对称波函数 如果两粒子处于不同状态，如果两粒子处于不同状态，则（则（7.7-47.7-4）和（）和（7.7-67.7-6）式的函数既不对称，也不）式的函数既不对称，也不反对称，故不符合全同粒子体系波函数的要求。反对称，故不符合全同粒子体系波函数的要求。7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续（续）Ch.7

38、Spin and undistinguished similar particles49为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 这表明（这表明（7.7-47.7-4）和（）和（7.7-67.7-6）两式所表示的函数，）两式所表示的函数，只能部分满足全同粒子体系对波函数的要求，不能只能部分满足全同粒子体系对波函数的要求，不能完全满足，故不能作为全同粒子体系的波函数。完全满足，故不能作为全同粒子体系的波函数。但由（但由（7.7-47.7-4）和（）和（7.7-67.7-6）两式的和、差可以）两式的和、差可以构成对称函数和反对称

39、函数。构成对称函数和反对称函数。7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续（续）玻色系统：玻色系统：费米系统：费米系统：Ch.7 Spin and undistinguished similar particles泡泡 利利 原原 理理对对玻色子系统玻色子系统，波函数取形式，当两个，波函数取形式，当两个玻色子处于同一个状态时玻色子处于同一个状态时 ，这时，这时，故几率密度，所以允许。，故几率密度，所以允许。对于对于费米系统费米系统，波函数取，波函数取 形式，当两费形式，当两费米子处于同一个状态时，故使几率密度米子处于同一个状态时，故使几率密度 ，所以不允许。，

40、所以不允许。泡利不相容原理：泡利不相容原理：费米系统中，两个费米子不能处费米系统中，两个费米子不能处 于同一个状态于同一个状态正是这个原理，使核和原子等的结构有序。正是这个原理，使核和原子等的结构有序。7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续（续）50Ch.7 Spin and undistinguished similar particles二二、N N粒粒 子子 体体 系系将两粒子体系推广到将两粒子体系推广到N N粒子体系粒子体系单粒子的本征值方程：单粒子的本征值方程：体系的薛定格方程：体系的薛定格方程：本征函数本征函数（7.7-13）本征能量本征能量7

41、.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续（续）51Ch.7 Spin and undistinguished similar particles三三、费费米米子子体体系系波波函函数数可见，在不考虑粒子间相互作用时，全同粒子可见，在不考虑粒子间相互作用时，全同粒子体系的能量等于各单粒子能量之和，哈米顿算符的体系的能量等于各单粒子能量之和，哈米顿算符的本征函数是各单粒子的本征函数的积。因此，解多本征函数是各单粒子的本征函数的积。因此，解多粒子体系的问题，归结为解单粒子的薛定格方程。粒子体系的问题，归结为解单粒子的薛定格方程。下面分别讨论费米系统和玻色系统的波函数形

42、式。下面分别讨论费米系统和玻色系统的波函数形式。由由N N个费米子组成的体系的个费米子组成的体系的本征本征函数是反对称函数是反对称的的，依照（，依照（7.7-137.7-13）式）式称为称为斯莱斯莱特行特行列式列式7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续（续）52Ch.7 Spin and undistinguished similar particles53为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能交换任意两个粒子，在斯莱特行列式中就表现出两交换任意两个粒子，在斯莱特行列式中就表现出两列相

43、互交换，这就使行列式改变符号。所以列相互交换，这就使行列式改变符号。所以 是反是反对称的。对称的。如果如果N N个粒子中有两个处于同一个状态，则个粒子中有两个处于同一个状态，则斯莱特斯莱特行行列式中有两行完全相同，这使行列式等于零，从而使列式中有两行完全相同，这使行列式等于零，从而使，几率几率 。要使。要使 ，不能有两不能有两费米费米子子处在同一单粒子态。处在同一单粒子态。这就是这就是泡利的不相容原理泡利的不相容原理。7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续（续）是归一化的，是归一化的，是是 的的归一化因子。将斯归一化因子。将斯莱特行列式展开，共有莱特行列式

44、展开，共有 项如（项如（7.7-137.7-13）式的形式，）式的形式，因而因而,是体系薛定格方程是体系薛定格方程 的的本征函数本征函数解。解。Ch.7 Spin and undistinguished similar particles54为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例一个体系由三个费米子组成，粒子间无相互作一个体系由三个费米子组成，粒子间无相互作用，它们分别可能处于单粒态用，它们分别可能处于单粒态 、，求系统波，求系统波函数。函数。Solve7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利

45、原理（续（续）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles四、玻色子体系的波函数四、玻色子体系的波函数 N N个玻色子所组成的体系的波函数应是对称的。个玻色子所组成的体系的波函数应是对称的。它也由（它也由（7.7-137.7-13）式进行构成。所不同的是单粒）式进行构成。所不同的是单粒子态子态 中，能容纳的玻色子数不受限制，可大中，能容纳的玻色子数不受限制，可大于于1 1。波函数形式可表示为：。波函数形式可表示为：式中式中P P表示表示N N个粒子在波函数中的某一种排列，个粒子在波函数中的某一种排列，表表示对所有可能的排列求和，而示对所有可能的

46、排列求和，而C C则为归一化常数。则为归一化常数。7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续（续）55Ch.7 Spin and undistinguished similar particles56为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能设设N N个玻色子中，有个玻色子中，有 个处于个处于 态，有态，有 个处于个处于 态，有态，有 个处于个处于 态，而态，而 ，则体系的，则体系的 波函数为：波函数为：式中，因为N 个粒子排列共有 种不相同的形式。7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理

47、全同粒子体系的波函数泡利原理（续（续）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles57为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能所以归一化因子为：Ex.1 在在N N个全同玻色子所组成的体系中，如果有个全同玻色子所组成的体系中，如果有 个个粒子处在单粒子态粒子处在单粒子态 中中,，求此体系的归，求此体系的归一化波函数。一化波函数。Solve：当当N N个全同玻色子处于个全同玻色子处于N N个不同的单粒子个不同的单粒子状态时，体系的玻函数为：状态时，体系的玻函数为：7.7 7.7

48、 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续（续）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles58为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能由于单粒子态是正交归一的，则上式变为：由于单粒子态是正交归一的，则上式变为：这里这里 表示表示 个粒子在个粒子在 个单粒子态上各占一态的个单粒子态上各占一态的某一种排列，而某一种排列，而 表示对各种可能排列方式的种表示对各种可能排列方式的种数求和，应有数求和，应有 种。种。根据波函数的归一化条件：根据波函数的归一化条件：归

49、一化归一化常数常数7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续（续）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles59为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 当当 个粒子处于某一个态个粒子处于某一个态 时时,有有 种交换，种交换，即即 种排列不形成新的状态，这时求和的项数不是种排列不形成新的状态，这时求和的项数不是 ，而应是，而应是归一化归一化常数常数归一化波波函数7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续（续

50、）Ch.7 Spin and undistinguished similar particles60为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的玻函数怎样用单问体系可能的状态有几个？它们的玻函数怎样用单粒子态构成？粒子态构成？Solve:状状态数态数=设两单粒子态为设两单粒子态为 和和 。Ex.2：有有两两种种情情况况：7.7 7.7 全同