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1、力法力法2结构超静定次数的判定方法（拆除约束法）结构超静定次数的判定方法（拆除约束法）一般从约束数少的约束开始拆（截断），直到使结构成为一般从约束数少的约束开始拆（截断），直到使结构成为一个无多余约束的几何不变体系（静定结构）为止。一个无多余约束的几何不变体系（静定结构）为止。）去掉一根支座链杆或截断一根桁架杆，相当拆除个约）去掉一根支座链杆或截断一根桁架杆，相当拆除个约束；束；）去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当拆除个约）去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当拆除个约束；束；）去掉一个固定支座或切开一根梁式杆，相当拆除个约）去掉一个固定支座或切开一根梁式杆，相当拆除个约束；束；）在一根梁

2、式杆上加一个单铰，相当拆除个约束。）在一根梁式杆上加一个单铰，相当拆除个约束。18-1 18-1 结构的超静定次数结构的超静定次数18-1 结构的超静定次数318-1 结构的超静定次数418-1 结构的超静定次数518-1 结构的超静定次数6例例18-1-118-1-1判断图示结构的超静定次数。判断图示结构的超静定次数。x1x2x3x5x7x4x4x6x7x7x1x2x3x5x618-1 结构的超静定次数7一、力法基本思路一、力法基本思路有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，解决多余约束有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，解决多余约束中的多余约束力是解超静定的关键中的多余约束力是解超

3、静定的关键。D D1=0 D D11+D D1P=0 D D11=d d11x1 d d11x1+D D1P=018-2 力法基本概念力法基本概念18-2 力法基本概念81 1 力法基本未知量力法基本未知量 结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多余力）。结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多余力）。2 2 力法基本体系力法基本体系力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的静定力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的静定结构；力法基本体系，是原结构拆除多余约束后得到的结构；力法基本体系，是原结构拆除多余约束后得到的基本结构在荷载（原有各种因素）和多余力共同作用的基本结构在荷载（原有各种因素

4、）和多余力共同作用的体系。体系。3 3 力法基本方程力法基本方程力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移一致力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移一致的条件。的条件。方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算问题，方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算问题，显然，超静定转化为静定问题。显然，超静定转化为静定问题。18-2 力法基本概念9例例18-2-1 18-2-1 用力法计算图示梁，并作用力法计算图示梁，并作MM图。图。解：）确定力法基本未知量、基本体系解：）确定力法基本未知量、基本体系）力法方程）力法方程 d d11x1+D D1P=018-2 力法基本概念10）作）作M1、MP

5、图，计算图，计算d d11、D D1P d d11=l/3EI D D1P=ql3/24EI）代入力法方程，求）代入力法方程，求x1 x1=-D D1P/d d11=-ql2/8）作）作M图图M1图图MP图图x118-2 力法基本概念11力法典型方程，指可用于多次（有限次）超静定结构的力法典型方程，指可用于多次（有限次）超静定结构的力法一般方程。力法一般方程。一、两次超静定结构的力法方程一、两次超静定结构的力法方程两次超静定刚架在荷载及支座移动作用下原结构和力法两次超静定刚架在荷载及支座移动作用下原结构和力法基本体系。基本体系。基本体系与原结构位移一致条件：基本体系与原结构位移一致条件：D D

6、1 1=0,D,D2 2=-D=-DB B18-3 力法典型方程力法典型方程18-3 力法典型方程12D D1 1=0 D D1111+D+D1212+D+D1 1P+D+D1D1D=0D D2 2=-D=-DB B D D2121+D+D2222+D+D2 2P+D+D2D2D=-D DB B 因为：因为：D Dij=d dij xj 所以：所以：d d11x1+d d12x2+D D1P+D D1D D=0 d d21x1+d d22x2+D D2P+D D2D D=-D DB B 18-3 力法典型方程13d d11x1+d d12x2+D D1P+D D1D D=0 d d21x1+d

7、 d22x2+D D2P+D D2D D=-D DB B 该式为两次超静定结构在荷载和支座位移共同作该式为两次超静定结构在荷载和支座位移共同作用下的力法方程。有支座移动因素时，力法方程的用下的力法方程。有支座移动因素时，力法方程的右边项可能不为零。右边项可能不为零。根据位移互等定理根据位移互等定理，有：，有：d d12=d d2118-3 力法典型方程14二、力法典型方程二、力法典型方程 n n次超静定结构的力法方程：次超静定结构的力法方程：d d11x1+d d12x2+d d1ixi+d d1jxj+d d1nxn+D D1P+D D1D D=D D1d d21x1+d d22x2+d d

8、2ixi+d d2jxj+d d2nxn+D D2P+D D2D D=D D2 2d di1x1+d di2x2+d diixi +d dijxj+d dinxn+D DiP+D DiD D =D Did dj1x1+d dj2x2+d djixi+d djjxj+d djnxn+D DjP+D DjD D=D Djd dn1x1+d dn2x2+d dnixi+d dnjxj+d dnnxn+D DnP+D DnD D=D Dn 系数、自由项的物理意义：系数、自由项的物理意义：d dii 基本结构在基本结构在x xi i=1 1作用下，沿作用下，沿x xi i 方向的位移方向的位移；d di

9、j 基本结构在基本结构在x xj j=1 1作用下，沿作用下，沿x xi i 方向的位移方向的位移；D DiP 基本结构在荷载作用下，沿基本结构在荷载作用下，沿x xi i 方向的位移方向的位移；D DiD D 基本结构在支座移动下，沿基本结构在支座移动下，沿x xi i 方向的位移方向的位移；D Di 基本结构沿基本结构沿x xi i 方向的总位移原结构在方向的总位移原结构在x xi i 方向上的实际方向上的实际位移。位移。18-3 力法典型方程15 d d11 d d12 d d1i d d1j d d1n d d21 d d22d d2i d d2j d d2n F=d di1 d di

10、2 d dii d dij d din d dj1 d dj2 d dji d djj d djn d dn1 d dn2 d dni d dnj d dnn 力法方程的系数矩阵是一个对称方阵。由其物理意义可知：力法方程的系数矩阵是一个对称方阵。由其物理意义可知：主系数主系数 d dii恒大于零，位于方阵左上角到右下角的主对角线恒大于零，位于方阵左上角到右下角的主对角线上；上；副系数副系数 d dij 可大于、等于、小于零，位于主对角线两侧对称可大于、等于、小于零，位于主对角线两侧对称位置上；位置上；由于由于d dii=d dij，独立的系数为独立的系数为 n+(n n+(n2 2-n)/2-

11、n)/2 个个。18-3 力法典型方程16例例解：）确定力法基本未知量和基本体系解：）确定力法基本未知量和基本体系力法方程：力法方程：d d11x1+d d12x2+D D1P=0 d d21x1+d d22x2+D D2P=0 ）作）作M1、M2、MP图图基本体系基本体系18-4 荷载作用下力法计算示例荷载作用下力法计算示例18-4 荷载作用下力法计算示例17基本体系基本体系M1M2MP18-4 荷载作用下力法计算示例18）计算系数、自由项）计算系数、自由项 d d11=5l/12EI d d22=3l/4EI d d12=d d21=0 D D1P=FPl2/32EI D D2P=0）代入

12、力法方程，求多余力）代入力法方程，求多余力x x1 1、x x2 2 （5l/12EI）x1+FPl2/32EI=0 x1=-3FPl/40 (3l/4EI)x2=0 x2=0）叠加作）叠加作MM图图 MAC=x1M1+x2M2+MP=(-3FPl/40)/2=-3FPl/80(右侧受拉）右侧受拉）说明：力法计算刚架时，力法方说明：力法计算刚架时，力法方程中系数和自由项只考虑弯曲程中系数和自由项只考虑弯曲变形的影响：变形的影响：d dii=l(Mi2 /EI)ds d dij=l(MiM j/EI)ds D DiP=l(Mi MP/EI)ds18-4 荷载作用下力法计算示例19例例18-4-2

13、 18-4-2 计算图示桁架的内力，各杆计算图示桁架的内力，各杆E E=常数常数。解：）力法基本体系，基本方程：解：）力法基本体系，基本方程：d d11x1+D D1P=0）计算计算Fni、FNP及及d d11、D D1P d d11=FN12 l/EA =4a(1+2)/EA D D1P=FN1 FNPl/EA =2FPa(1+2)/EA18-4 荷载作用下力法计算示例203)3)代入力法方程中，求解代入力法方程中，求解x x1 1 x1=-D D1P/d d11=-FP/24)4)叠加计算个杆轴力叠加计算个杆轴力 FN21=FN1x1+FNP=-2FP/2 FN02=FP/2说明：力法计算

14、桁架时，力法方程中系数和自由说明：力法计算桁架时，力法方程中系数和自由项只考虑轴向变形的影响：项只考虑轴向变形的影响：d dii=FNi2 l/EA d dij=FNiFNjl/EA D DiP=FNiFNPl/EA 18-4 荷载作用下力法计算示例21例例18-4-318-4-3计算图示排架，并作计算图示排架，并作MM图。图。解：）力法基本体系，力法方程：解：）力法基本体系，力法方程：d d11x1+D D1P=0）作）作M1、MP图图,计算计算d d11、D D1P d d11=144/EI D D1P=3240/EI3)代入力法方程，求代入力法方程，求x x1 1 x1=-D D1P/d

15、 d11=-22.5kN4)4)作作MM图图18-4 荷载作用下力法计算示例22一一 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算超静定结构和静定结构在荷载作用下的位移计算公式是相同的。超静定结构和静定结构在荷载作用下的位移计算公式是相同的。如梁和刚架的位移计算公式：如梁和刚架的位移计算公式：D D=l(MCM/EI)ds超静定结构的位移计算要点：超静定结构的位移计算要点：虚单位力设在原结构的任意一个基本结构上。虚单位力设在原结构的任意一个基本结构上。例例18-6-1 18-6-1 求示梁端的转角位移求示梁端的转角位移 B B。EI=EI=常数常数,杆长为

16、杆长为l l。解：）作解：）作MC、M图图 ）计算）计算 B 18-5 超静定结构的位移超静定结构的位移18-5 超静定结构的位移23 B=(ql2/8)l/2-(2/3)(ql2/8)/2/EI=-ql3/48EI ()或或:B=(ql2/8)l/2(1/3)1-(2/3)(ql2/8)/2/EI =-ql3/48EI ()18-5 超静定结构的位移24力法计算图力法计算图18-5 超静定结构的位移252 2 支座移动时的位移计算支座移动时的位移计算例例18-5-218-5-2求图示梁中点处的竖向位移求图示梁中点处的竖向位移D DCV。解：）作超静定梁解：）作超静定梁MM图图）作）作MMC

17、C图图）该基本结构支座发）该基本结构支座发生位移时有刚体位移。生位移时有刚体位移。）计算位移）计算位移D DCV D DCV=(MMC C M/EI)ds-FRc=l2/4/2(-3EIa/l2/2)(a/2)=5a/16 ()18-5 超静定结构的位移26或或：D DCV=(l/2)2/2(5/6)(3EIa/l2)=5a/16 ()18-5 超静定结构的位移27结构具有对称性时应满足：结构具有对称性时应满足：）结构的几何形状（由杆轴围成的图形）和支座形式）结构的几何形状（由杆轴围成的图形）和支座形式正对称于某一轴线；正对称于某一轴线；）结构的材料性质及截面形状特征（）结构的材料性质及截面形

18、状特征（E E、I I、A A）也对）也对称于同一轴线。称于同一轴线。如果结构是对称的，利用对称性力法计算可获得简化。如果结构是对称的，利用对称性力法计算可获得简化。18-6 力法的对称性利用力法的对称性利用18-6 力法的对称性利用28力法对称性利用要点：力法对称性利用要点：取对称的力法基本结构；并使其上的多余力具有对称性取对称的力法基本结构；并使其上的多余力具有对称性和（或）反对称性。和（或）反对称性。一般荷载作用下（不考虑荷载情况）一般荷载作用下（不考虑荷载情况）取满足上述要点的基本体系，力法方程：取满足上述要点的基本体系，力法方程：d d11x1+d d12x2+d d13x3+D D

19、1P=0d d21x1+d d22x2+d d23x3+D D2P=0 d d31x1+d d32x2+d d33x3+D D3P=0 一般情况下，该方程是联立方程。一般情况下，该方程是联立方程。18-6 力法的对称性利用29考虑对称性后考虑对称性后：d d13=d d31=d d23=d d32=0 0代入式（代入式（a a），得：），得：d d11x1+d d12x2+D D1P=0d d21x1+d d22x2+D D2P=0 d d33x3+D D3P=0 (b)原方程分解成两相原方程分解成两相互独立的方程。互独立的方程。18-6 力法的对称性利用30d d11x1+d d12x2+D

20、 D1P=0 D D3P=0 x3=0 d d21x1+d d22x2+D D2P=0 d d11x1+d d12x2+D D1P=0 d d33x3+D D3P=0 d d21x1+d d22x2+D D2P=0荷载具有正或反对称性（考虑荷载情况）荷载具有正或反对称性（考虑荷载情况）正对称荷载作用下：只有正对称的多余力正对称荷载作用下：只有正对称的多余力 18-6 力法的对称性利用31 反对称荷载作用下：只有反对称的多余力反对称荷载作用下：只有反对称的多余力d d11x1+d d12x2+D D1P=0 D D1P1P=D D2P2P=0 d d21x1+d d22x2+D D2P=0 x1

21、=x2=0 d d33x3+D D3P=0 d d33x3+D D3P=0 18-6 力法的对称性利用32）代入力法方程，并计算多余力）代入力法方程，并计算多余力 d d11x1+d d12x2+D D1P=0 x1=-9.375 d d21x1+d d22x2+D D2P=0 x2=6.429）叠加作弯矩图叠加作弯矩图 MAB=-36.963kNm(右侧受拉右侧受拉)MMBA BA=19.287=19.287kNmkNm(左侧受拉左侧受拉)MMAB AB=104.463=104.463kNmkNm(右侧受拉右侧受拉)MMABAB中中 =47.412=47.412kNmkNm(左侧受拉左侧受拉)MMABAB中中 =8.838 =8.838 kNmkNm(右侧受拉右侧受拉)18-6 力法的对称性利用结束结束