《北邮概率论》PPT课件.ppt

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1、第一章 概率论的基本概念 第三节 条件概率第二节事件的概率第一节 试验、事件、样本空间第四节 独立性第五节 贝努利概型第一节 试验、事件、样本空间定义一（定义一（随机试验）：随机试验）：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。例：E1：抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。E4：掷一粒骰子，观察出现的点数。E5：记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。E6：在一批灯泡中任意抽取一次，测试它的寿命。E7：记录某地一昼夜的最高温

2、度和最低温度。定义二定义二 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，随机事件，简称为事件事件。随机事件一般用大写英文字母A,B,C等表示。例：在E4中，“掷得奇数点”，“掷得点数6”，“掷得点数不超过 2”等都是随机事件，可将它们依次记为B,C,D。在E6中，“灯泡的寿命超过500小时”是一随机事件，我们可用A表示此事件。定义三（定义三（基本事件与随机事件）基本事件与随机事件）在试验中,可直接观察到的结果称为基本事件基本事件。由基本事件构成的事件称为复合事件复合事件，简称事件。两个特别的事件（1）不可能事件不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。如“掷一粒骰子掷一粒骰

3、子掷出掷出8点点”。（2）必然事件必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或。如“掷一粒骰子掷一粒骰子点数小于点数小于7”。下面我们来为随机试验建立一个下面我们来为随机试验建立一个数学模型数学模型样本空间样本空间 我们把随机试验的每个基本结果称为我们把随机试验的每个基本结果称为样本点样本点，记作，记作e 或或.全体样本点的集合全体样本点的集合称为称为样本空间样本空间.样本空间用样本空间用S或或表示表示.样本点样本点e.S样本空间的元素是由试验的内容所决定的。样本空间的元素是由试验的内容所决定的。虽然每次试验的结果事先不可确定虽然每次试验的结果事先不可确定,但试验但试验的全部可能结果，是在试验前

4、就明确的；的全部可能结果，是在试验前就明确的；或者虽不能确切知道试验的全部可能结果，或者虽不能确切知道试验的全部可能结果，但可以知道它不超过某个范围。由此，我但可以知道它不超过某个范围。由此，我们可以确定一个实验的样本空间。们可以确定一个实验的样本空间。如果试验是将一枚硬币抛掷两次观察正如果试验是将一枚硬币抛掷两次观察正反面出现的情况，则样本空间由如下四反面出现的情况，则样本空间由如下四个样本点组成：个样本点组成：S=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T):(H,H):其中其中 样本空间在如下样本空间在如下意义上提供

5、了一个理意义上提供了一个理想试验的模型：想试验的模型：在每次试验中在每次试验中必有必有一个样本点出一个样本点出现现且仅有且仅有一个样本一个样本点出现点出现.如果试验是测试某灯泡的寿命：如果试验是测试某灯泡的寿命：则样本点是一非负数，由于不能确知则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，都是一个可能结果，S=t：t 0故样本空间：故样本空间：根据所包含的样本点的情况，样本空间可分为：根据所包含的样本点的情况，样本空间可分为：有限样本空间，可列样本空间有限样本空间，可列样本空间离散离散 不可列无穷样本空间不可列无穷样本

6、空间主要讨论连续主要讨论连续引入样本空间后，事件便可以表示为样引入样本空间后，事件便可以表示为样本点的集合，即为样本空间的子集。本点的集合，即为样本空间的子集。例如，掷一颗骰子，观察出现的点数例如，掷一颗骰子，观察出现的点数S=i：i=1,2,3,4,5,6事件事件B就是就是S的一个子集的一个子集B=1,3,5易见易见,B发生当且仅当发生当且仅当B中的样中的样本点本点1，3，5中的某一个出现中的某一个出现.一个随机事件就是样本空间的一个子集。一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件基本事件单点集，复合事件单点集，复合事件多点集多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包一个随机事件发生，当且

7、仅当该事件所包含的一个样本点出现。含的一个样本点出现。事件间的关系及运算，就是集合间的关系事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。和运算。概率论与集合论有关概念的对应关系表：概率论 集合论 记号样本点 元素 ei ，i样本空间 全集 S,随机事件 子集 A，B，C基本事件 单点集 ei 不可能事件 空集 例：写出E1到E7的样本空间：S S1 1：H,TH,T S S2 2 ：HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTTHHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT S S3 3 ：0,1,2,30,1,2,3 S S4 4 ：1,2,3,4,5,61,2

8、,3,4,5,6 S S5 5 ：0,1,2,3,0,1,2,3,S S6 6 ：t|t0t|t0 S S7 7 ：(x,y)|T(x,y)|T0 0 xyTxyT1 1 事件间的关系与运算定义1.（事件的包包含含与与相等）相等）若事件A发生必然导致事件B发生，则称B B包含包含A A，记为BA或AB。若AB且AB则称事件事件A A与事件与事件B B相等相等，记为AB。定义2.（和事件）（和事件）“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件和事件。记为AB。用集合表示为:AB=e|eA，或eB 推广：事件的和的概念可推行至任意有限和及可列和的情况：例 袋中有5个白

9、球，三个黑球，从中任取3个球，令A表示“取出的全是白球”，B表示“取出的全是黑球”，C表示“取出的球颜色相同”，则C=AB.D=A1 A2 A3若令Ai(i=1,2,3)表示“取出的3个球中恰有i个白球”,D表示“取出的3个球中至少有一个白球”，则定义（积事件）称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为AB或AB，用集合表示为AB=e|eA且eB。推广：例 在直角坐标系圆心在原点的单位圆内任取一点，记录其坐标，令,B表示取到(0,0)点，则定义（差事件）称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为AB,用集合表示为 A-B=e|eA，e B 例 从1,2,3,

10、N这N个数字中，任取一数，取后放回，先后取k个数(1k N),令A表示“取出的k个数中最大数不超过M”(1M N),B表示“取出的k个数中最大数不超过M-1”，C表示“取出的k个数中最大数为M”，则C=A-B,且B B A A定义（互不相容事件（互不相容事件或互斥事件）互斥事件）如果A，B两事件不能同时发生，即AB，则称事件A与事件B是互不相容事件互不相容事件或互斥事件互斥事件。推广 对有限个事件或可列个事件A1，A2，An，如果对任意ij,Ai Aj,则称A1，A2，An两两两互斥两互斥，或A1，A2，An 两两互不相容。互不相容。定义6（逆事件（逆事件/对立事件）对立事件）“称事件A为事件

11、”不发生A的逆事件逆事件，记为。易见 A与满足：A=S,且A=。一般地，若 A，B满足：AB=S，AB称为A与B互为对立事件对立事件，此时，A为B的逆事件，B为A的逆事件，即 B,B=。若 A，B互为对立事件，那么在每次试验中，事件A，B 必有一个发生而且只有一个发生，显然=e|e A，BA=A-AB。A 事件A发生导致B也发生 A是B的子集 A与B相等 A与B相等 A与B不相容 A与B无公共元素 A的对立事件 A的余集 A与B至少有一个发生 A与B的并集 A与B同时发生 A与B的交集 A发生而B不发生 A与B的差集记号记号 概率论概率论 集合论集合论事件与集合的关系及运算对照：注意：4.的逆

12、不成立，即A、B互不相容，未必有互不相容，未必有A、B互为对立事件。例 将n个人任意分配到N个房间(nN),令A表示“恰有n个房间各有一人”，B表示“第一个房间恰有两人”，从而AB=,但B不等于。相关性质还有：1.=S-A，S=，=S;2.若AB，则B;3.AB=AB，ABC=ABBC;4.若A、B互为对立事件，则A、B互不相容。互不相容。例1:袋中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八张卡片中任取一张，设事件为“抽得一张标号不大于的卡片”，事件为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件为“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用样本点的集合表示下列事件:,-,-,()解:将,表示集合形式为,所以 ,

13、(),;-,-,例例2:2:A,B,C,D四个事件，用运算关系表示：（1）A,B,C,D至少有一个发生；（2）都不发生；（3）都发生；（4）A,B,C,D恰有一个发生；（5）至多一个发生。解:（1）ABCD或（2）或（3）ABCD或（4）（5）解：在如图的电路中，信号灯亮当且仅当接点闭合且与中至少有一个闭合，因此由事件的运算，易得 A=B(CD)信号灯不亮当且仅当断开或，都断 开，故 =B（CD）例3:如图所示的电路中，以A表示事件“信号灯亮”，B，C，D分别表示事件：继电器接点，闭合，以B，C，D表示A及。设A，B，C为事件，则有（1）交换律：AB=BA，AB=BA （2）结合律：A(BC)=(AB)C=ABC A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A(BC)(AB)(AC)A(BC)(AB)(AC)=ABAC（4）德摩根律：事件的运算律例 设A、B是两事件，证明(1).B=ABB,且AB与B互不相容；(2).AB=AB,且A与B互不相容.证明:(1)ABB=(A)B=SB=B,(AB)(B)=(A)B=.(2)AB=AABB=A(ABB)=AB,A(B)=(A)B=.小结：小结：事件的关系、运算和运算法则可概括为 四种关系：包含、相等、对立、互不相容；四种运算：和、积、差、逆；四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。