电路分析-拉普拉斯变换教学提纲.ppt

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1、电路分析-拉普拉斯变换15.1 15.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 一、拉氏变换（一、拉氏变换（Laplace transformation）的定义）的定义 （Laplace transformation）（inverse Laplace transformation）f(t)和和F(s)是一对拉普拉斯变换是一对拉普拉斯变换（Laplace pairs）对对。记号记号 f(t)表示取拉氏变换。表示取拉氏变换。-1 F(s)表示取拉氏反变换。表示取拉氏反变换。f(t)，t 0,)称为称为原函数（原函数（original function），属时），属时 域（域（time domain）。原函数）

2、。原函数 f(t)用小写字母表示，如用小写字母表示，如 i(t)，u(t)。F(s)称为象函数（称为象函数（transform function），属复频域），属复频域（complex frequency domain）。象函数。象函数F(s)用大写字母用大写字母 表示表示，如，如 I(s)，U(s)。称为复频称为复频 率率（complex frequency）。）。积分下限从积分下限从0 开始，称为开始，称为0 拉氏变换拉氏变换。积分下限从积分下限从0+开始，称为开始，称为0+拉氏变换拉氏变换。当当f(t)含有冲激函数项时，含有冲激函数项时，此项此项 00+拉氏变换和拉氏变换和0 拉氏变换的

3、区别：拉氏变换的区别：为了把为了把0-0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变 换定义式中积分下限从换定义式中积分下限从 0-开始。开始。二、拉氏变换存在条件二、拉氏变换存在条件 不同的不同的 f(t)，0的值不同，的值不同，称称 0为复平面为复平面s内的收敛横坐标。内的收敛横坐标。0 j 0收敛坐标收敛坐标 收敛轴收敛轴 收敛区收敛区 电工中常见信号为指数阶函数，即电工中常见信号为指数阶函数，即 由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论 中一般不再写出其收敛范围。中一般不再写出其收敛范围。返回

4、目录返回目录=115.2 15.2 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换 1f1(t)e-t t0例例 求图示两个函数的拉氏变换式求图示两个函数的拉氏变换式 1f2(t)e-t t 0 解解 由于定义的拉氏变换积分下限是由于定义的拉氏变换积分下限是0，两个，两个 函函数的拉氏变换式相同数的拉氏变换式相同当取上式的反变换时，只能表示出当取上式的反变换时，只能表示出区间的函数式区间的函数式 返回目录返回目录 1115.3 15.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 一、线性（一、线性（linearity）性质）性质 例例1 例例2 例例3 二、原函数的微分（二、原函数的微分（d

5、ifferentiation）例例1 例例2 三、原函数的积分（三、原函数的积分（integration）例例 四、时域平移（四、时域平移（time shift）f(t)(t-t0)tt00tf(t-t0)(t-t0)t00f(t)(t)t0f(t)(t)f(t-t0)(t-t0)平移平移 f(t)(t-t0)不是平移不是平移 例例1 求图示函数的拉氏变换式求图示函数的拉氏变换式 例例2 求图示函数的拉氏变换式求图示函数的拉氏变换式 1Ttf(t)0TTf(t)0例例3 周期函数（周期函数（periodic function）的拉氏变换。）的拉氏变换。设设 f1(t)为第一个周期的函数，为第一

6、个周期的函数，.tf(t)1T/2 T0 五、五、复频域平移（复频域平移（frequency shift）六、初值六、初值(initial-value)定理和终值定理和终值(final-value)定理定理 初值定理初值定理 若若 f(t)=F(s)，且，且 f(t)在在t=0处无冲激，处无冲激，则则例例1 例例2 例例3 终值定理终值定理 f(t)及其导数及其导数f (t)可进行拉氏变换，且可进行拉氏变换，且 ，则，则 例例1 例例2 例例3 返回目录返回目录 15.4 15.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 一、由象函数求原函数一、由象函数求原函数 （2）经数学处理后查拉普拉斯变换表）经数

7、学处理后查拉普拉斯变换表 象函数的一般形式：象函数的一般形式：二、将二、将F(s)进行部分分式展开（进行部分分式展开（partial-fraction expansion）f(t)=L-1F(s)（1）利用公式）利用公式 较麻烦较麻烦 等式两边同乘等式两边同乘(s-s1)=0ki也可用也可用分解定理分解定理求求 等式两边同乘（等式两边同乘（s-si）应用洛比达法则求极限应用洛比达法则求极限 例例1 例例2 用分解定理用分解定理 例例3 m n，用长除法，得，用长除法，得 k1,k2也是一对共轭复数。也是一对共轭复数。假设只有两个根假设只有两个根可据前面介绍的两种方法求出可据前面介绍的两种方法求

8、出 k1,k2。设设 例例 法一：法一：部分分式展开，求系数。部分分式展开，求系数。法二：法二：将将F2(s)改写为改写为(s )2+2 等式两边乘等式两边乘例例1 例例2 等式两边乘等式两边乘 一般多重根情况一般多重根情况 返回目录返回目录一、电路元件的运算形式（一、电路元件的运算形式（operator form）电阻电阻R u=R i15.5 15.5 复频域中的电路定律、电路元件与模型复频域中的电路定律、电路元件与模型 +u -i(t)R+U(s)-I(s)R 取拉氏变换取拉氏变换 电感电感L iL+uL -L+-sLUL(s)IL(s)-+取拉氏变换取拉氏变换 sL+-UL(s)IL(

9、s)电容电容C +uC -iCIC(s)1 1/sCuC(0-)/sUC(s)+-+1 1/sCCuC(0-)IC(s)UC(s)-+取拉氏取拉氏 变换变换 互感互感M 取拉氏取拉氏 变换变换 ML1L2i1i2+u1-+u2-+U2(s)-+-I1(s)sL1sL2sM+-+-U1(s)I2(s)+-受控电源受控电源 +-U1(s)+-RI1(s)U1(s)+-U2(s)+u1-+u2-Ri1 u1+-二、电路定律的运算形式二、电路定律的运算形式 +u-iRLC设电路无初始储能设电路无初始储能 +U(s)-I(s)RsL1/sC运算形式的欧姆定律运算形式的欧姆定律 运算阻抗运算阻抗 （ope

10、rational impedance）运算导纳运算导纳 （operational admittance）三、运算电路模型三、运算电路模型 （1）电压、电流用象函数形式。）电压、电流用象函数形式。（2）元件用运算阻抗或运算导纳。）元件用运算阻抗或运算导纳。（3）电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。）电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。时域电路时域电路 RRLCi1i2E(t)+-运算电路运算电路 RRsL1/sCI1(s)I2(s)E/s+-uC(0-)=25V iL(0-)=5A 时域电路时域电路 t=0 时打开开关时打开开关 例例 5 2F20 10 10 0.5H50V+-uC+-

11、iL换路后换路后 运算电路运算电路 0.5sUC(s)20-+1/2s25/s2.55IL(s)+-解解 返回目录返回目录15.6 15.6 拉普拉斯变换法分析电路拉普拉斯变换法分析电路 步骤步骤 （1）由换路前电路计算）由换路前电路计算uC(0-),iL(0-)；（2）画运算电路模型；）画运算电路模型；（3）应用电路分析方法求出待求变量的象函数；）应用电路分析方法求出待求变量的象函数；（4）反变换求原函数。）反变换求原函数。t=0时闭合时闭合S，求，求iL，uL。例例1 200V30 0.1H10-uC+1000 FiL+-uL+-S（2）画运算电路）画运算电路200/s 300.1s0.5

12、101000/s100/sI1(s)I2(s)+-解解 200/s 300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+-（4）反变换求原函数）反变换求原函数 校核初值和终值校核初值和终值 要考虑初值要考虑初值 思考：思考：uL是哪两端是哪两端 的电压？的电压？200/s 300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+-UL(s)+-例例2 求图示电路的单位冲激响应求图示电路的单位冲激响应uC(t)，iC(t)。RCuC (t)iC+-R1/sCUC(s)1IC(s)+-tuC(V)0返回目录返回目录tiC015.7 15.7 网络函数（网络函数（Networ

13、k FunctionNetwork Function）一、定义一、定义 单个独立源作用的线性网络单个独立源作用的线性网络 零零 状状态态e(t)r(t)E(s)R(s)转移函数（转移函数（transfer function）RC+_+_uS例例 uCR1/sC+_+_US(s)UC(s)网络函数是由网络的结构和参数决定，与激励无关；网络函数是由网络的结构和参数决定，与激励无关；网络函数是实系数的有理函数。网络函数是实系数的有理函数。1.策动点函数策动点函数 策动点阻抗策动点阻抗 策动点导纳策动点导纳 2.转移函数（传递函数）转移函数（传递函数）转移导纳转移导纳 转移阻抗转移阻抗 转移电压比转移

14、电压比 转移电流比转移电流比 二、网络函数的具体形式二、网络函数的具体形式 U(s)I(s)+-U2(s)I2(s)U1(s)I1(s)+-+-三、单位冲激响应与网络函数的关系三、单位冲激响应与网络函数的关系 零状态零状态 (t)h(t)e(t)r(t)若单位冲激响应若单位冲激响应h(t)已知，则任意激励已知，则任意激励e(t)产生的响应产生的响应r(t)可求。可求。单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对。单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对。返回目录返回目录15.8 15.8 网络函数的极点（网络函数的极点（PolePole）和零点（）和零点（ZeroZero）一、复频率平面一、复频率平面

15、 j 在复平面上用在复平面上用“”表示表示极点极点，用用“。”表示零点。表示零点。极点极点 。零点零点 j。2-3例例 绘出其极零点图。绘出其极零点图。（pole-zero diagram）-1j-j0二、极点分布与冲激响应的关系二、极点分布与冲激响应的关系 H(s)在在s平面上极点位置不同，冲激响应波形不同。平面上极点位置不同，冲激响应波形不同。单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对。单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对。j 极点的位置决定冲激响应的波形。极点的位置决定冲激响应的波形。极点和零点共同决定冲激响应的的幅值。极点和零点共同决定冲激响应的的幅值。网络函数极点的位置决定了系统的稳定

16、性（网络函数极点的位置决定了系统的稳定性（stability）。）。全部极点在全部极点在 s 左半平面的电路动态响应是稳定的；左半平面的电路动态响应是稳定的；有位于有位于 s 右半平面极点的电路动态响应是不稳定的；极点右半平面极点的电路动态响应是不稳定的；极点在在 s 平面的虚轴上，且只有一阶，则电路动态响应是临界平面的虚轴上，且只有一阶，则电路动态响应是临界稳定的。稳定的。网络函数极点是该网络变量的固有频率。网络函数极点是该网络变量的固有频率。R(s)=H(s)E(s)由网络函数极点形成的由网络函数极点形成的 自由分量自由分量由激励函数极点形成的由激励函数极点形成的 强制分量强制分量系数系数

17、Ai和和Aj是由零点和极点共同决定。是由零点和极点共同决定。返回目录返回目录设设D(s)和和E(s)没有相同的极点没有相同的极点 15.9 15.9 卷积（卷积（ConvolutionConvolution）定理）定理 h(t)r(t)e(t)H(s)R(s)E(s)R(s)=E(s)H(s)零状态零状态证明证明 延时延时 去掉去掉 积分上限改为积分上限改为 t 例例 已知某电路的单位冲激响应已知某电路的单位冲激响应 h(t)=2e-t (t)，求该电，求该电 路路在激励为在激励为e(t)=5e-2t V作用下的响应作用下的响应 r(t)。解解 由单位冲激响应得网络函数由单位冲激响应得网络函数 H(s)=2/(s+1)由卷积定理，得由卷积定理，得 时域响应为时域响应为 r(t)=10(e-t-e-2 t)V （t 0）返回目录返回目录此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢