概率与概率分布.ppt

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1、Chapter3概率与概率分布概率与概率分布大数定律大数定律大数定律大数定律二项分布二项分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布泊松分布泊松分布高斯分布高斯分布高斯分布高斯分布卡方卡方卡方卡方(2 2)分布分布分布分布t t分布分布分布分布 和和和和 f f分布分布分布分布内容：内容：n n第一节第一节概率基础知识概率基础知识n n第二节第二节几种常见的理论分布几种常见的理论分布n n第三节第三节统计数的分布统计数的分布n n 有关概率的一些基本概念有关概率的一些基本概念有关概率的一些基本概念有关概率的一些基本概念事件、概率、频率事件、概率、频率事件、概率、频率事件、概率、频率n n 概率的计算概

2、率的计算概率的计算概率的计算n n 随机变量随机变量随机变量随机变量 定义定义定义定义离散型随机变量概率分布离散型随机变量概率分布离散型随机变量概率分布离散型随机变量概率分布连续型随机变量概率分布连续型随机变量概率分布连续型随机变量概率分布连续型随机变量概率分布大数定理大数定理大数定理大数定理随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的数学期望第一节第一节概率基础知识概率基础知识n n随机随机随机随机事件事件事件事件：某些确定条件下，可能出现也可能不出现的现：某些确定条件下，可能出现也可能不出现的现：某些确定条件下，可能出现也可能不出现的现：某些确定条件下，可能出现也可能不

3、出现的现象，也叫随机事件象，也叫随机事件象，也叫随机事件象，也叫随机事件n n概率概率概率概率P P(A A)：描述随机事件发生的可能性大小的数值。：描述随机事件发生的可能性大小的数值。：描述随机事件发生的可能性大小的数值。：描述随机事件发生的可能性大小的数值。P P的的的的大小在大小在大小在大小在0 0和和和和1 1之间，越接近于之间，越接近于之间，越接近于之间，越接近于1 1，说明发生的可能性越大，说明发生的可能性越大，说明发生的可能性越大，说明发生的可能性越大，越接近于越接近于越接近于越接近于0 0，说明发生的可能性越小。，说明发生的可能性越小。，说明发生的可能性越小。，说明发生的可能性

4、越小。n n频数频数频数频数：事件：事件：事件：事件A A在在在在n n次重复试验中发生了次重复试验中发生了次重复试验中发生了次重复试验中发生了mm次，次，次，次，mm就是事件就是事件就是事件就是事件A A发生的频数。发生的频数。发生的频数。发生的频数。n n频率频率频率频率WW(A A)：事件：事件：事件：事件A A在在在在n n次重复试验中发生了次重复试验中发生了次重复试验中发生了次重复试验中发生了mm次，其比值次，其比值次，其比值次，其比值mm/n n就是事件就是事件就是事件就是事件A A发生的频率。发生的频率。发生的频率。发生的频率。当重复试验次数足够大的情当重复试验次数足够大的情当重

5、复试验次数足够大的情当重复试验次数足够大的情况下，频率可以认为是概率。况下，频率可以认为是概率。况下，频率可以认为是概率。况下，频率可以认为是概率。一、有关概率的一些基本概念一、有关概率的一些基本概念（一）事（一）事件件 1.1.必然事件（必然事件（必然事件（必然事件（U U）2.2.不可能事件（不可能事件（不可能事件（不可能事件（V V）3.3.随机性事件随机性事件随机性事件随机性事件在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固有的

6、特定的规律性某种固有的特定的规律性某种固有的特定的规律性某种固有的特定的规律性频率的稳定性频率的稳定性频率的稳定性频率的稳定性，通常称之为，通常称之为，通常称之为，通常称之为随机现象的统计规律性。随机现象的统计规律性。随机现象的统计规律性。随机现象的统计规律性。（二）概（二）概率率(probability)目的：目的：目的：目的：了解各种随机事件发生的可能性大小，揭示这了解各种随机事件发生的可能性大小，揭示这了解各种随机事件发生的可能性大小，揭示这了解各种随机事件发生的可能性大小，揭示这些事件的内在的统计规律性。些事件的内在的统计规律性。些事件的内在的统计规律性。些事件的内在的统计规律性。定义

7、：定义：定义：定义：能够刻划事件发生能够刻划事件发生能够刻划事件发生能够刻划事件发生可能性大小可能性大小可能性大小可能性大小的的的的数量指标数量指标数量指标数量指标。特性：特性：特性：特性：事件本身所事件本身所事件本身所事件本身所固有的固有的固有的固有的，不随人的主观意志而改变，不随人的主观意志而改变，不随人的主观意志而改变，不随人的主观意志而改变记号：记号：记号：记号：事件事件事件事件A A的概率记为的概率记为的概率记为的概率记为P P(A A)概率的性质概率的性质1）对于任何事件）对于任何事件A，有，有0P(A)1；2）必然事件的概率为）必然事件的概率为1，即，即P(U)=1；3）不可能事

8、件的概率为）不可能事件的概率为0，即，即P(V)=0。（三）小概率事件实际不可能性原理（三）小概率事件实际不可能性原理随机事件的概率表示了随机事件在一次试验随机事件的概率表示了随机事件在一次试验中出现的可能性大小。中出现的可能性大小。若随机事件的概率很小，例如小于若随机事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，称之为小概率事件。，称之为小概率事件。n n小概率事件虽然不是不可能事件，但在小概率事件虽然不是不可能事件，但在小概率事件虽然不是不可能事件，但在小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次一次一次一次试验试验试验试验中出现的可能性很小，不出现的可能性很大中出现的可能性很小，不出

9、现的可能性很大中出现的可能性很小，不出现的可能性很大中出现的可能性很小，不出现的可能性很大，以，以，以，以至于实际上可以看成是不可能发生的。至于实际上可以看成是不可能发生的。至于实际上可以看成是不可能发生的。至于实际上可以看成是不可能发生的。n n在统计学上，在统计学上，在统计学上，在统计学上，把小概率事件在一次试验中看成是把小概率事件在一次试验中看成是把小概率事件在一次试验中看成是把小概率事件在一次试验中看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可能性原理，亦称为

10、能性原理，亦称为能性原理，亦称为能性原理，亦称为小概率原理小概率原理小概率原理小概率原理。n n小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行假小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行假小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行假小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行假设检验（显著性检验）的基本依据。设检验（显著性检验）的基本依据。设检验（显著性检验）的基本依据。设检验（显著性检验）的基本依据。二、概率的计算二、概率的计算事件的相互关系事件的相互关系事件的相互关系事件的相互关系和事件和事件和事件和事件积事件积事件积事件积事件互斥事件互斥事件互斥事件互斥事件对立事件对立事件对立事件对立事件独立事件独立

11、事件独立事件独立事件完全事件系完全事件系完全事件系完全事件系互斥事件互斥事件对立事件对立事件和事件和事件和事件和事件至少有一件发生至少有一件发生至少有一件发生至少有一件发生 A A+B B积事件积事件积事件积事件同时发生同时发生同时发生同时发生A A B B互斥事件互斥事件互斥事件互斥事件不能同时发生不能同时发生不能同时发生不能同时发生但可能同时不发生但可能同时不发生但可能同时不发生但可能同时不发生A A B B=V V;P P(A A B B)=0;)=0;P P(A A1 1+A An n)=)=P P(A A1 1)+)+P P(A An n)对立事件对立事件对立事件对立事件必有一件发生

12、，但必有一件发生，但必有一件发生，但必有一件发生，但不同时发生，也不不同时发生，也不不同时发生，也不不同时发生，也不能同时不发生能同时不发生能同时不发生能同时不发生A A+B B=U U;A A B B=V V;B B=;P P(A A+B B)=1;)=1;P P(A A B B)=0;)=0;P P(B B)=)=P P()=1-)=1-P P(A A)独立事件独立事件独立事件独立事件互不相关互不相关互不相关互不相关;多个彼此独立事件多个彼此独立事件多个彼此独立事件多个彼此独立事件为为为为独立事件群独立事件群独立事件群独立事件群P P(A A B B)=)=P P(A A)P P(B B)

13、;);P P(A A1 1A An n)=)=P P(A A1 1）P P(A An n)完全事件系完全事件系完全事件系完全事件系多个两两互斥，且多个两两互斥，且多个两两互斥，且多个两两互斥，且必发生其一必发生其一必发生其一必发生其一P P(A A1 1+A An n)=1)=11、有一批种子，其中二级占、有一批种子，其中二级占5%,一级占一级占10%，其余为三级，问三级种子占多少？，其余为三级，问三级种子占多少？2、若一批玉米种子发芽率为、若一批玉米种子发芽率为0.9，发芽后能，发芽后能出土的概率为出土的概率为0.8，求这批种子的出苗率，求这批种子的出苗率?若要全面了解随机试验，则必须知道随

14、机试验的若要全面了解随机试验，则必须知道随机试验的若要全面了解随机试验，则必须知道随机试验的若要全面了解随机试验，则必须知道随机试验的全全全全部可能结果部可能结果部可能结果部可能结果及及及及各种可能结果发生的概率各种可能结果发生的概率各种可能结果发生的概率各种可能结果发生的概率，即必须知，即必须知，即必须知，即必须知道道道道随机试验的概率分布随机试验的概率分布随机试验的概率分布随机试验的概率分布(probabilitydistribution)(probabilitydistribution)。为了深入研究随机试验为了深入研究随机试验为了深入研究随机试验为了深入研究随机试验，先引入随机变量，先

15、引入随机变量，先引入随机变量，先引入随机变量(random(randomvariable)variable)的概念。的概念。的概念。的概念。三、概率分布三、概率分布n n离散型随机变量离散型随机变量(discreterandomvariable)表示试验结果的变量，其可能取值可罗列，且以各表示试验结果的变量，其可能取值可罗列，且以各表示试验结果的变量，其可能取值可罗列，且以各表示试验结果的变量，其可能取值可罗列，且以各种确定的概率取这些不同的值种确定的概率取这些不同的值种确定的概率取这些不同的值种确定的概率取这些不同的值；n n连续型随机变量连续型随机变量(continuousrandomva

16、riable)表示试验结果的变量表示试验结果的变量表示试验结果的变量表示试验结果的变量x x，其可能取值为某范围内的，其可能取值为某范围内的，其可能取值为某范围内的，其可能取值为某范围内的任何数值，且任何数值，且任何数值，且任何数值，且x x在其取值范围内的任一区间中取值在其取值范围内的任一区间中取值在其取值范围内的任一区间中取值在其取值范围内的任一区间中取值时，其概率是确定的。时，其概率是确定的。时，其概率是确定的。时，其概率是确定的。（一）离散型随机变量概率分布（一）离散型随机变量概率分布函数表达形式：函数表达形式：表格表达形式：表格表达形式：离散型随机变量的概率分布具有下列性质：离散型随

17、机变量的概率分布具有下列性质：（二）连续随机变量的概率密度（二）连续随机变量的概率密度对于连续型随机变量对于连续型随机变量x（-x+）如果存在非负）如果存在非负可积函数可积函数f(x)，对任意的，对任意的x1，x2（x10有有意意义义：当当试试验验次次数数n足足够够大大时时，有有事事件件A发发生生的的频率收敛于概率频率收敛于概率。（四）大数定律（四）大数定律辛钦大数定律：辛钦大数定律：设独立随机变量序列设独立随机变量序列设独立随机变量序列设独立随机变量序列X X1 1,X Xn n,且具有相同的数且具有相同的数且具有相同的数且具有相同的数学期望学期望学期望学期望E E(X Xi i)=)=,则

18、取任意小数则取任意小数则取任意小数则取任意小数0，有即当，有即当，有即当，有即当n n足够大足够大足够大足够大时，随机变量序列的平均数收敛于数学期望。时，随机变量序列的平均数收敛于数学期望。时，随机变量序列的平均数收敛于数学期望。时，随机变量序列的平均数收敛于数学期望。意义：意义：当当n很大时，很大时，独立同分布独立同分布的随机变量的的随机变量的平均值平均值 依概率收敛于它的数学期望依概率收敛于它的数学期望。切比雪夫大数定理切比雪夫大数定理 若若X1,X2,Xn相互独立，每个相互独立，每个Xk的方差存在，且的方差存在，且一致有界，一致有界，即存在常数即存在常数c，使得使得令令则对任意正数则对任

19、意正数 有有意义：意义：当当n 很大时很大时,相互独立方差一致有界相互独立方差一致有界的随机的随机变量的平均值依概率收敛于它的数学期望。变量的平均值依概率收敛于它的数学期望。大数定律一般形式：若随机变量序列若随机变量序列Xn满足：满足：则称则称Xn服从大数定律服从大数定律.(1)伯努利大数定律是切比雪夫大数定律伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例的特例.注注 意意(3)切比雪夫大数定律是切比雪夫大数定律是马尔可夫大数马尔可夫大数定律定律的特例的特例.(2)伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.（五）（五）随机变量的数学期望和方差随机变量的数学期望和方差 数数学

20、学期期望望：随随机机变变量量所所有有可可能能取取值值的的平平均均水水平平，记为记为E(X)或或。离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望其中其中PX=xk=pkk=1,2,3,.离散型随机变量离散型随机变量方差的计算方差的计算方差计算公式方差计算公式连续型随机变量连续型随机变量第二节第二节几种常见的理论分布几种常见的理论分布n n二项分布二项分布(Binomialdistribution)n n泊松分布泊松分布(Poissonsdistribution)n n高斯分布高斯分布(Gaussdistribution)随机变量的概率分布随机变量的概率分布(pro

21、babilitydistribution)离散型变量离散型变量(discreterandomvariable)连续型变量连续型变量(continuousrandomvariable)二项二项分布分布泊松分布泊松分布正态分布正态分布变变量量一、一、二二项项分分布布二项分布的概率的计算方法二项分布的概率的计算方法二项分布的形状和参数二项分布的形状和参数(一一)贝努利试验及其概率公式贝努利试验及其概率公式将某随机试验重复进行将某随机试验重复进行将某随机试验重复进行将某随机试验重复进行n n次，若各次试验结果互次，若各次试验结果互次，若各次试验结果互次，若各次试验结果互不影响不影响不影响不影响，即每次

22、试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这它各次试验的结果，则称这它各次试验的结果，则称这它各次试验的结果，则称这n n次试验是独立的次试验是独立的次试验是独立的次试验是独立的。对于对于对于对于n n次独立的试验，如果每次试验结果出现且次独立的试验，如果每次试验结果出现且次独立的试验，如果每次试验结果出现且次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现只出现只出现只出现对立事件对立事件对立事件对立事件A A与与与与 之一之一之一之一，在每次试验中出现在每次试验中出现在每次试验中出

23、现在每次试验中出现A A的的的的概率是常数概率是常数概率是常数概率是常数p p(0(0p p1)1)，因而出现对立事件，因而出现对立事件，因而出现对立事件，因而出现对立事件 的概率是的概率是的概率是的概率是1-1-p=qp=q，则，则，则，则 称称称称 这一串重复的独立试验为这一串重复的独立试验为这一串重复的独立试验为这一串重复的独立试验为n n重贝努利试重贝努利试重贝努利试重贝努利试验验验验，简称贝努利试验，简称贝努利试验，简称贝努利试验，简称贝努利试验(Bernoullitrials)(Bernoullitrials)。在在在在n n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，

24、事件重贝努利试验中，事件 A A 可能发生可能发生可能发生可能发生0 0，1 1，2 2，n n次，现在我们来求事件次，现在我们来求事件次，现在我们来求事件次，现在我们来求事件 A A 恰好发生恰好发生恰好发生恰好发生k k(0(0k k n n)次的概率次的概率次的概率次的概率P Pn n(k(k)。先取先取先取先取n n=4=4，k k=2=2来讨论来讨论来讨论来讨论。在。在。在。在4 4次试验中，事件次试验中，事件次试验中，事件次试验中，事件A A发发发发生生生生2 2次的方式有以下次的方式有以下次的方式有以下次的方式有以下种：种：种：种：由于试验是独立的，按由于试验是独立的，按由于试验

25、是独立的，按由于试验是独立的，按概率的乘法法则概率的乘法法则概率的乘法法则概率的乘法法则，于是每种出，于是每种出，于是每种出，于是每种出现的概率有：现的概率有：现的概率有：现的概率有：又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容的，按的，按的，按的，按概率的加法法则概率的加法法则概率的加法法则概率的加法法则，在，在，在，在4 4次试验中，事件次试验中，事件次试验中，事件次试验中，事件A A恰好发恰好发恰好发恰好发生生生生2 2次的概率为：次的概率为：次的概

26、率为：次的概率为：P P4 4(2)(2)=P P()+()+P P()+()+P P()=()=P P()=()=P P()=()=P P()()=P P()()P P()()P P()()P P()=()=若把上式与二项展开式若把上式与二项展开式若把上式与二项展开式若把上式与二项展开式相比较就可以发现，在相比较就可以发现，在相比较就可以发现，在相比较就可以发现，在n n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件A A发发发发生生生生k k次的概率恰好等于次的概率恰好等于次的概率恰好等于次的概率恰好等于 展开式中的第展开式中的第展开式中的第展开式中的第k

27、 k+1+1项，所以称项，所以称项，所以称项，所以称作作作作二项概率公式二项概率公式二项概率公式二项概率公式。因此，在因此，在因此，在因此，在n n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件A A恰好发生恰好发生恰好发生恰好发生(0(0k k n n)次的概率为：次的概率为：次的概率为：次的概率为：k k=0,1,2=0,1,2，n n二项分布二项分布：在：在n重贝努里试验中，重贝努里试验中，“成功成功”（事件（事件A发生）的次数发生）的次数x是一个随机变量，其概率分布为是一个随机变量，其概率分布为其中其中n，p为参数，记为为参数，记为二项分布的累计函数二

28、项分布的累计函数:由于由于(p+q)n=1，所以，所以性质性质二项分布的数学期望二项分布的数学期望E(x)=np方差方差D(x)=npq标准差标准差例如：某种昆虫在某地区的死亡率为例如：某种昆虫在某地区的死亡率为40%，即，即p=0.4，现对这种害虫用一种新药进行治疗试验，每次现对这种害虫用一种新药进行治疗试验，每次抽样抽样10头为一组治疗。试问如新药无疗效，则在头为一组治疗。试问如新药无疗效，则在10头头中死中死3头、头、2头、头、1头以及全部愈好的概率为多少？头以及全部愈好的概率为多少？按照上面的公式进行计算按照上面的公式进行计算7头愈好，头愈好，3头死去的概率为：头死去的概率为：8头愈好

29、，头愈好，2头死去的概率为：头死去的概率为：9头愈好，头愈好，1头死去的概率为：头死去的概率为：10头全部愈好的概率为：头全部愈好的概率为：n nP32P32n n例例3.63.6Fig.1ScatterplotofG+Ccontentagainstchromosomelengthfor640fullysequencedbacterialchromosome.Inthefigure,eachpointcorrespondstoabacterialchromosome.Theredcirclesdenoteobligatepathogensorobligatesymbionts.(二二)二项式分

30、布的形状和参数二项式分布的形状和参数对于一个二项式总体：对于一个二项式总体：对于一个二项式总体：对于一个二项式总体：1.1.若若若若p p=q q，二项式分布呈对称形状。二项式分布呈对称形状。二项式分布呈对称形状。二项式分布呈对称形状。2.2.若若若若p p q q，n n较小，二项式分布则表现偏斜形状。较小，二项式分布则表现偏斜形状。较小，二项式分布则表现偏斜形状。较小，二项式分布则表现偏斜形状。3.3.若若若若n n时，即使时，即使时，即使时，即使p p q q，二项式总体分布的情况也趋二项式总体分布的情况也趋二项式总体分布的情况也趋二项式总体分布的情况也趋于对称形状。于对称形状。于对称形

31、状。于对称形状。所以所以所以所以二项分布的形状是由二项分布的形状是由二项分布的形状是由二项分布的形状是由n n和和和和p p两个参数决定的两个参数决定的两个参数决定的两个参数决定的。如果如果如果如果n n相当大或相当大或相当大或相当大或p p与与与与q q基本接近，二项式分布接近于正基本接近，二项式分布接近于正基本接近，二项式分布接近于正基本接近，二项式分布接近于正态分布态分布态分布态分布二项分布的图形二项分布的图形二项分布的应用条件二项分布的应用条件：（1 1）各观察单位）各观察单位）各观察单位）各观察单位 只具有只具有只具有只具有互相对立互相对立互相对立互相对立 的两种结果，如的两种结果，

32、如的两种结果，如的两种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类资料；阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类资料；阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类资料；阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类资料；（2 2）已知发生某一结果）已知发生某一结果）已知发生某一结果）已知发生某一结果(如死亡如死亡如死亡如死亡)的概率为的概率为的概率为的概率为p p，其对，其对，其对，其对立结果的概率则为立结果的概率则为立结果的概率则为立结果的概率则为1 1-p=q-p=q，实际中要求，实际中要求，实际中要求，实际中要求p p 是从大量观察是从大量观察是从大量观察是从大量观察中获得的比较中获得的比较中获得的比

33、较中获得的比较稳定稳定稳定稳定的数值；的数值；的数值；的数值；（3 3）n n个观察单位的观察结果互相独立个观察单位的观察结果互相独立个观察单位的观察结果互相独立个观察单位的观察结果互相独立，即每个观察，即每个观察，即每个观察，即每个观察单位的观察结果不会影响到其它观察单位的观察结果。单位的观察结果不会影响到其它观察单位的观察结果。单位的观察结果不会影响到其它观察单位的观察结果。单位的观察结果不会影响到其它观察单位的观察结果。多项式分布多项式分布超几何分布超几何分布产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在假定在N件产品中有件产品中有m件不合格品，即不合件不

34、合格品，即不合格率格率p=m/N。在产品中随机抽。在产品中随机抽n件做检查，件做检查，发现发现k 件是不合格品，可知得到件是不合格品，可知得到k 的概率的概率为为二、泊松分布二、泊松分布(Poissondistribution)n n罕见事件发生数的分布规律罕见事件发生数的分布规律罕见事件发生数的分布规律罕见事件发生数的分布规律1.盒子中装有盒子中装有999个黑棋子，一个白棋子，在一次抽样个黑棋子，一个白棋子，在一次抽样中，抽中白棋子的概率中，抽中白棋子的概率1/1000。那么在。那么在100次放回抽次放回抽样中，抽中样中，抽中1，2，10个白棋子的概率分别是个白棋子的概率分别是?2.放射性物

35、质单位时间内的放射次数放射性物质单位时间内的放射次数3.单位体积内粉尘的计数单位体积内粉尘的计数4.血细胞或微生物在显微镜下的计数血细胞或微生物在显微镜下的计数5.单位面积内细菌计数单位面积内细菌计数6.人群中患病率很低的非传染性疾病的患病数人群中患病率很低的非传染性疾病的患病数概率分布：概率分布：若随机离散变量若随机离散变量若随机离散变量若随机离散变量x x只取零和正整数值只取零和正整数值只取零和正整数值只取零和正整数值0 0，1 1，2 2，且，且，且，且其概率分布为其概率分布为其概率分布为其概率分布为并且并且并且并且 其中其中其中其中=npnp0 0；x x=0,1,=0,1,，e e=

36、2.7182=2.7182是自然对数是自然对数是自然对数是自然对数的底数，则的底数，则的底数，则的底数，则 称称称称 x x 服服服服 从从从从 参参参参 数数数数 为为为为 的的的的 泊泊泊泊 松分布松分布松分布松分布(Poissonsdistribution),(Poissonsdistribution),记记记记 为为为为 x xP P()。泊松分布重要的特征：泊松分布重要的特征：泊松分布重要的特征：泊松分布重要的特征：1.1.平均数和方差相等，都等于常数平均数和方差相等，都等于常数平均数和方差相等，都等于常数平均数和方差相等，都等于常数，即，即，即，即=2 2=2.2.值愈小分布愈偏倚

37、；值愈小分布愈偏倚；值愈小分布愈偏倚；值愈小分布愈偏倚；3.3.随着随着随着随着 的增大，分的增大，分的增大，分的增大，分 布趋于对称。当布趋于对称。当布趋于对称。当布趋于对称。当=20=20时分布接近于时分布接近于时分布接近于时分布接近于正态分布；当正态分布；当正态分布；当正态分布；当=50=50时，可以认为泊松分布呈正态分布。时，可以认为泊松分布呈正态分布。时，可以认为泊松分布呈正态分布。时，可以认为泊松分布呈正态分布。当当当当 2020时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的时就可以用正态分布来近似地处理泊松

38、分布的问题问题问题问题。Poisson分布的可加性分布的可加性n n观察某一现象的发生数时，如果它呈观察某一现象的发生数时，如果它呈观察某一现象的发生数时，如果它呈观察某一现象的发生数时，如果它呈PoissonPoisson分布，分布，分布，分布，那么那么那么那么把若干个小单位合并为一个大单位后，其总计把若干个小单位合并为一个大单位后，其总计把若干个小单位合并为一个大单位后，其总计把若干个小单位合并为一个大单位后，其总计数亦呈数亦呈数亦呈数亦呈PoissonPoisson分布分布分布分布。若若若若X X1 1 P P(1 1),X X2 2 P P(2 2),X XK K P P(k k)，那

39、么，那么，那么，那么 X=XX=X1 1+X X2 2+X+XK K，则则则则:X X P P（）【例例例例】为监测饮用水的污染情况，为监测饮用水的污染情况，为监测饮用水的污染情况，为监测饮用水的污染情况，现检验某社区现检验某社区现检验某社区现检验某社区每毫升饮用水中细菌数每毫升饮用水中细菌数每毫升饮用水中细菌数每毫升饮用水中细菌数，共得共得共得共得400400个记录如下：个记录如下：个记录如下：个记录如下：试分析饮用水中细菌数的分布是否服从泊松分布。试分析饮用水中细菌数的分布是否服从泊松分布。试分析饮用水中细菌数的分布是否服从泊松分布。试分析饮用水中细菌数的分布是否服从泊松分布。若服从，按泊

40、松分布计算每毫升水中细菌数的概率若服从，按泊松分布计算每毫升水中细菌数的概率若服从，按泊松分布计算每毫升水中细菌数的概率若服从，按泊松分布计算每毫升水中细菌数的概率及理论次数并将频率分布与泊松分布作直观比较。及理论次数并将频率分布与泊松分布作直观比较。及理论次数并将频率分布与泊松分布作直观比较。及理论次数并将频率分布与泊松分布作直观比较。以以以以=0.500=0.500代替公式中的代替公式中的代替公式中的代替公式中的，得得得得 (k k=0,1,2)=0,1,2)经计算得每毫升水中平均细菌数经计算得每毫升水中平均细菌数经计算得每毫升水中平均细菌数经计算得每毫升水中平均细菌数=0.500=0.5

41、00，方差，方差，方差，方差S S2 2=0.496=0.496。两者很接近，。两者很接近，。两者很接近，。两者很接近，故可认为每毫升水中细菌故可认为每毫升水中细菌故可认为每毫升水中细菌故可认为每毫升水中细菌数服从泊松分布。数服从泊松分布。数服从泊松分布。数服从泊松分布。可见细菌数的频率分布与可见细菌数的频率分布与可见细菌数的频率分布与可见细菌数的频率分布与=0.5=0.5的泊松分布是相当吻的泊松分布是相当吻的泊松分布是相当吻的泊松分布是相当吻合的合的合的合的，进一步说明用泊松分布描述单位容积进一步说明用泊松分布描述单位容积进一步说明用泊松分布描述单位容积进一步说明用泊松分布描述单位容积(或面

42、或面或面或面积积积积)中细菌数的分布是适宜的。中细菌数的分布是适宜的。中细菌数的分布是适宜的。中细菌数的分布是适宜的。注意：泊松分布的应用条件要求注意：泊松分布的应用条件要求n次试验是次试验是相互独立的。相互独立的。P35例例3.8离散型概率分布：离散型概率分布：均匀均匀伯努利伯努利几何几何二项二项泊松泊松超几何超几何多项多项负二项负二项玻尔兹曼玻尔兹曼复合泊松复合泊松退退化化高斯高斯-库兹明库兹明对数对数拉德马赫拉德马赫SkellamYule-Simon齐夫齐夫齐夫齐夫-曼曼德尔布罗特德尔布罗特抛物线分形抛物线分形三、正态分布三、正态分布一种连续型随机变量的概率分布：一种连续型随机变量的概率

43、分布：则称则称x服从参数为服从参数为（-0）的正态分布，记为的正态分布，记为xN N(,2)。(一一)正态分布曲线的特性正态分布曲线的特性1 1、它是一条、它是一条、它是一条、它是一条对称分布的曲线对称分布的曲线对称分布的曲线对称分布的曲线，且，且，且，且对称轴为对称轴为对称轴为对称轴为x x=，即以平均数即以平均数即以平均数即以平均数为对称轴。为对称轴。为对称轴。为对称轴。2 2、正态分布曲线的算术平均数、中值、众数三者是相等的正态分布曲线的算术平均数、中值、众数三者是相等的正态分布曲线的算术平均数、中值、众数三者是相等的正态分布曲线的算术平均数、中值、众数三者是相等的，都合于都合于都合于都

44、合于 点上。且多数次数分布在平均数附近。点上。且多数次数分布在平均数附近。点上。且多数次数分布在平均数附近。点上。且多数次数分布在平均数附近。3 3、随着、随着、随着、随着 和和和和 的不同，呈现一系列曲线而并不是一条曲线。的不同，呈现一系列曲线而并不是一条曲线。的不同，呈现一系列曲线而并不是一条曲线。的不同，呈现一系列曲线而并不是一条曲线。确定它在确定它在确定它在确定它在x x轴上的位置轴上的位置轴上的位置轴上的位置，确定它的变异度确定它的变异度确定它的变异度确定它的变异度。不同。不同。不同。不同 和和和和 的总的总的总的总体具有不同的曲线位置和变异度，所以任何一个正态分布曲体具有不同的曲线

45、位置和变异度，所以任何一个正态分布曲体具有不同的曲线位置和变异度，所以任何一个正态分布曲体具有不同的曲线位置和变异度，所以任何一个正态分布曲线，必须在确定了线，必须在确定了线，必须在确定了线，必须在确定了 和和和和 后，才能确定曲线位置和形状。后，才能确定曲线位置和形状。后，才能确定曲线位置和形状。后，才能确定曲线位置和形状。4 4、正态分布曲线在、正态分布曲线在、正态分布曲线在、正态分布曲线在 x x-=1 1 处有拐点，曲线两尾处有拐点，曲线两尾处有拐点，曲线两尾处有拐点，曲线两尾向左右延伸，永不接触，所以向左右延伸，永不接触，所以向左右延伸，永不接触，所以向左右延伸，永不接触，所以x x

46、时，分布时，分布时，分布时，分布曲线曲线曲线曲线以以以以x x轴为渐近线轴为渐近线轴为渐近线轴为渐近线。5 5、正态分布曲线与、正态分布曲线与、正态分布曲线与、正态分布曲线与x x轴之间的轴之间的轴之间的轴之间的总面积等于总面积等于总面积等于总面积等于1 1。6 6、正态曲线的任何两个、正态曲线的任何两个、正态曲线的任何两个、正态曲线的任何两个x x的定值间的面积或概率的定值间的面积或概率的定值间的面积或概率的定值间的面积或概率完全以曲线完全以曲线完全以曲线完全以曲线 和和和和 而确定。而确定。而确定。而确定。下面为几对常见的区间与其相对应的面积下面为几对常见的区间与其相对应的面积下面为几对常

47、见的区间与其相对应的面积下面为几对常见的区间与其相对应的面积或概率的数字：或概率的数字：或概率的数字：或概率的数字：区间区间区间区间面积或概率面积或概率面积或概率面积或概率 1 1 0.68270.6827 2 2 0.95450.9545 3 3 0.99730.9973uu 1.9601.960 0.95000.9500uu 2.5762.576 0.99000.9900(二二)标准正态分布标准正态分布当正态分布当正态分布=0且且=1时，则称时，则称x服从标准正态分布，服从标准正态分布，用用f(u)(x=u)表示概率密度函数，即表示概率密度函数，即标准化：若标准化：若xN N(,2)，则可

48、以将其标准化，则可以将其标准化标准正态分布累积函数标准正态分布累积函数F(u):当当aub时：时：P38例例3.9、例、例3.10、例、例3.11Poisson分布与正态分布及二项分布的关系分布与正态分布及二项分布的关系n n当当当当 较小较小较小较小时，时，时，时，PoissonPoisson分布呈偏态分布，随着分布呈偏态分布，随着分布呈偏态分布，随着分布呈偏态分布，随着 增大，增大，增大，增大，迅速接近正态分布，当迅速接近正态分布，当迅速接近正态分布，当迅速接近正态分布，当 =2020时，可以认为近似时，可以认为近似时，可以认为近似时，可以认为近似正态分布正态分布正态分布正态分布。n nP

49、oissonPoisson分布是二项分布的特例分布是二项分布的特例分布是二项分布的特例分布是二项分布的特例，某现象的发生率，某现象的发生率，某现象的发生率，某现象的发生率p p很小，而样本例数很小，而样本例数很小，而样本例数很小，而样本例数n n很大时，则二项分布接近于很大时，则二项分布接近于很大时，则二项分布接近于很大时，则二项分布接近于PoissonPoisson分布。分布。分布。分布。npnp（应用：应用：应用：应用：PoissonPoisson替代二项分布替代二项分布替代二项分布替代二项分布）泊松分布泊松分布正态分布正态分布相当大相当大二项分布二项分布n相当大或相当大或p与与q基本接近

50、基本接近p很小，很小，n很大很大条件条件条件条件分布函数分布函数分布函数分布函数累积函数累积函数累积函数累积函数形状形状形状形状参数参数参数参数二二二二项项项项分分分分布布布布只有两个对只有两个对只有两个对只有两个对立结果；立结果；立结果；立结果；重复性和独重复性和独重复性和独重复性和独立性立性立性立性p p较小较小较小较小,n n不大不大不大不大:偏偏偏偏倚倚倚倚n n:对称对称对称对称p p0.5:0.5:趋于对称趋于对称趋于对称趋于对称n n相当大相当大相当大相当大或或或或p pq q:二二二二项分布项分布项分布项分布正态分正态分正态分正态分布布布布 x x=npnp p p=p p泊泊