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1、数数 值值 分分 析析李庆扬李庆扬 王能超王能超 易大义易大义 编编清华大学出版社清华大学出版社 施普林格出版社施普林格出版社（第（第 4 4 版）版）1第第1 1章章 绪绪 论论1.1 1.1 数值分析研究对象与特点数值分析研究对象与特点2 数值分析也称为计算方法计算方法，是计算数学的一个主要部分.数值分析的定义：数值分析的定义：数值分析的主要内容：数值分析的主要内容：数值分析的内容包括函数的数值逼近数值逼近、数值微分与数数值微分与数值积分值积分、非线性方程数值解非线性方程数值解、数值线性代数数值线性代数、常微和偏微常微和偏微数值解数值解等.计算数学是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求解

2、各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现.1.1 1.1 数值分析研究对象与特点数值分析研究对象与特点3 数值分析既有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特 数值分析不是各种数值方法的简单罗列和堆积，是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的课程.虽然数值分析也是以数学问题为研究对象，但它不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论.点，又有应用数学的广泛性与实际试验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.4 三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的

3、问题，它关系到算法能否在计算机上实现.数值分析的特点：数值分析的特点：一、面向计算机，能根据计算机的特点提供切实可行的有效算法.二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析.5 四、要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的.61.2 1.2 数值计算的误差数值计算的误差 1.2.1 1.2.1 误差来源与分类误差来源与分类 用计算机解决科学计算问题的过程如下：首先要建立数学模型数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象、简化而得到的，因而是近似的.数学模型与实际问题之间出现的误差称为模型误

4、差模型误差.实际问题数学模型7 以上两种误差不在“数值分析”的讨论范围.实际问题数学模型 在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度、长度、电压等等，这些量显然也包含误差.这种由观测产生的误差称为观测误差观测误差.数值分析只研究用数值方法求解数学模型产生的误差.当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解.8 近似解与精确解之间的误差称为截断误差截断误差或方法误差方法误差.实际问题数学模型上机计算求出结果数值计算方法9 例如，用泰勒(Taylor)多项式 近似代替函数 ，则数值方法的截断误差是 有了计算公式后，在用计算机做数值计算时，还要受计算机字长的限制，原始数据在计算

5、机上表示会产生误差.10产生的误差用 近似代替 ，就是舍入误差.此外由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数产生的初始误差对数值计算也将造成影响.计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差舍入误差.例如，分析初始数据的误差通常也归结为舍入误差.研究计算结果的误差是否满足精度要求就是误差估计问题.11 这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断误差将结合具体算法讨论.12 若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即 1.2.2 1.2.2 误差与有效数字误差与有效数字 设 为准确值，为 的一个近似值，误差 可正可负，当绝对误差为正时近似值偏大，叫强近似值强近似值；通常准确

6、值 是未知的，因此误差 也未知.为近似值的绝对误差绝对误差，定义定义1 1称简称误差误差.当绝对误差为负时近似值偏小，叫弱近似值弱近似值.13 则 叫做近似值的误差限误差限，它总是正数.例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 ，读出和该长度接近的刻度 ，是 的近似值，它的误差限是 ，于是 如读出的长度为 ，则有 .虽然从这个不等式不能知道准确的 是多少，但可知14结果说明 在区间 内.对于一般情形 ，即也可以表示为 但要注意的是，误差限的大小并不能完全表示近似值的好坏.15 例如，有两个量 ，则虽然 比 大 4 倍，但比 要小得多，这说明 近似 的程度比 近似 的程度好.所以除考虑误差的大小外，还应

7、考虑准确值 本身的大小.16 实际计算中，由于真值 总是未知的，把近似值的误差 与准确值 的比值 称为近似值 的相对误差相对误差，记作 .作为 的相对误差，条件是 较小，通常取此时利用知17 相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限相对误差限，是 的平方项级，记作 ，故可忽略不计.即18上例中 与 的相对误差限分别为可见 近似 的程度比 近似 的程度好.根据定义，19 当准确值 位数比较多时，常常按四舍五入的原则得到 的前几位近似值 ，取3位 取5位 它们的误差都不超过末位数字的半个单位，例如即20 若近似值 的误差限是某一位的半个单位，该位到 的第一位非零数字共有 位，就说 有 位有

8、效有效数字数字.表示为（2.1）其中 是0到9中的一个数字，为整数，（2.2）定义定义2 2且21如取 作为 的近似值，取 ，按这个定义，就有3位有效数字，就有5位有效数字.22 按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的 按定义，187.93,0.037856,8.0000,2.7183.的5位有效数字近似数是8.0000，而不是8，例例1 1近似数：187.9325,0.03785551,8.000033,2.7182818.上述各数具有5位有效数字的近似数分别是因为8只有1位有效数字.注意：23如果以 m/s2 为单位，重力常数g，若以km/s2为单位，它们都具有3位有效数字，按(2.

9、1)的表示方法，这里 它们虽然写法不同，但都具有3位有效数字.例例2 2因为按第一种写法按第二种写法（2.1）24 至于绝对误差限，由于单位不同所以结果也不同,但相对误差都是 注意相对误差与相对误差限是无量纲的，而绝对误差与误差限是有量纲的.例2说明有效位数与小数点后有多少位数无关.25 从(2.2)可得到具有 位有效数字的近似数 ，其绝对误差限为 在 相同的情况下，越大则 越小，故有效位数越多，绝对误差限越小.（2.2）26若 的相对误差限 ，设近似数 表示为 其中 是0到9中的一个数字，反之，则 至少具有 位有效数字.若 具有 位有效数字，定理定理1 1为整数.则其相对误差限为27由(2.

10、1)可得 当 有 位有效数字时 反之，由 证明证明28知 至少有 位有效数字.定理说明，有效位数越多，相对误差限越小.29由于知 ，故只要取 ，即只要对 的近似值取4位有效数字，其相对误差限就小于0.1%.此时由开方表得 .设取 位有效数字，例例3 3 要使 的近似值的相对误差限小于0.1%，需取 几位有效数字?由定理1就有30 1.2.3 1.2.3 数值运算的误差估计数值运算的误差估计 两个近似数 与 ，其误差限分别为 及 ，它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别为31 设 是一元函数，的近似值为 ，以 近似 ，其误差界记作 ，一般情况下，当自变量有误差时函数值也产生误差，取绝对值得

11、其误差限可利用函数的泰勒展开式进行估计.利用泰勒展开32 当 为多元函数，如计算 时,的近似值为 ，则 的近似值为于是由泰勒展开，函数值 的误差 为 假定 与 的比值不太大，可忽略 的高阶项，于是可得计算函数的误差限如果33于是误差限（2.3）34而 的相对误差限为（2.4）35 已测得某场地长 的值为 ，宽 的值为 ，已知 .试求面积 的绝对误差限与相对误差限.因知例例4 4解解由36其中 而 于是绝对误差限 相对误差限 371.3 1.3 误差定性分析与避免误差危害误差定性分析与避免误差危害 一个工程或科学计算问题往往要运算千万次，由于每步运算都有误差，如果每步都做误差分析是不可能的，也不

12、科学.因为误差积累有正有负，绝对值有大有小，都按最坏情况估计误差限得到的结果比实际误差大得多，这种保守的误差估计不反映实际误差积累.38 考虑到误差分布的随机性，有人用概率统计方法，将数据和运算中的舍入误差视为适合某种分布的随机变量，20世纪60年代以后对舍入误差分析提出了一些新方法，然后确定计算结果的误差分布，这样得到的误差估计更接近实际，这种方法称为概率分析法概率分析法.较重要的有向后误差分析法向后误差分析法和区间分析法区间分析法两种.39 1.向后误差分析法是把新算出的量由某个公式表达，若 的摄动为 ，它仅含基本算术运算，如假定 是前面已算出的量或原始数据，新算出量使得由浮点运算得出结果

13、为则可根据 的界，的界，威克逊(Wilkinson)将这种方法应用于数值代数(矩阵运算)的误差分析，取得较好效果.由摄动理论估计最后舍入误差40 2.区间分析法是把参加运算的数 都看成区间量 ，根据区间运算规则求得最后结果的近似值及误差限.例如，的近似数为 ，则由于41若计算 (*为运算符号)，而 则为误差限.则 为所求近似值，由42 1.3.1 1.3.1 病态问题与条件数病态问题与条件数 对一个数值问题本身,如果输入数据有微小扰动（即误差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是病病态问题态问题.例如计算函数值 时，若 有扰动 ，其相对误差为 ，函数值 的相对误差为43（3.1）称为

14、计算函数值问题的条件数条件数.相对误差比值 自变量相对误差一般不会太大，如果条件数 很大，将引起函数值相对误差很大，出现这种情况的问题就是病态病态问题问题.44 例如，它表示相对误差可能放大 倍.如 ，有 ，自变量相对误差为 ，函数值相对误差为 ，一般情况下,条件数 就认为是病态，越大病态越严重.则有若取这时问题可以认为是病态的.45 其他计算问题也要分析是否病态.例如解线性方程组，如果输入数据有微小误差引起解的巨大误差，就认为是病态方程组，第5章将用矩阵的条件数来分析这种现象.46 1.3.2 1.3.2 算法的数值稳定性算法的数值稳定性 用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播使计

15、算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定数值不稳定的.计算 并估计误差.由分部积分可得计算 的递推公式 若计算出 ，代入（3.2），可逐次求出 的值.（3.2）例例5 547 而要算出 就要先计算 .并取 ，则得 ，计算过程中小数点后第5位的数字按四舍五入原则舍入.若用泰勒多项式展开部分和 用4位小数计算，截断误差48 当初值取为 时，用（3.2）递推计算结果见表1-1的 列.用 近似 产生的误差 就是初值误差，它对后面计算结果是有影响的.（3.2）计算公式为 49 从表中看到 出现负值，这与一切 相矛盾.因此，当 较大时，用 近似 显然是不正确的.（3.3）实际上，由积分估值得50 计算

16、公式与每步计算都是正确的，计算结果错误的原因主要就是初值 有误差 ，由此引起以后各步计算的误差 满足关系 容易推得 这说明 有误差 ，则 就是 的 倍误差.51（3.3）例如，若 ，这就说明 完全不能近似 了.若换一种计算方案.由（3.3）取 ，取则 它表明计算公式（A）是数值不稳定的.则52将公式(3.2)倒过来算，即由 算出 ，公式为计算结果见表1-1的 列.（3.2）53 反之，当用方案（A）计算时，尽管初值 相当准确，此例说明，数值不稳定的算法是不能使用的.记 ，则 ，比 缩小了倍，因此，尽管 较大，但由于误差逐步缩小，故可用 近似 .由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果不可靠.可以

17、看出 与 的误差不超过 .54 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定数值稳定的，否则称此算法为不稳定不稳定的.在例5中算法（B）是数值稳定的，而算法（A）是不稳定的.定义定义3 355 1.3.3 1.3.3 避免误差危害的若干原则避免误差危害的若干原则 数值计算中首先要分清问题是否病态和算法是否数值稳定，计算时还应尽量避免误差危害，防止有效数字的损失，有下面若干原则.1.要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法 用绝对值小的数作除数舍入误差会增大，如计算 若 ，则可能对计算结果带来严重影响，应尽量避免.56线性方程组 的准确解为 在四位浮点十进制数

18、（仿机器实际计算）下用消去法求解，例例6 6上述方程写成57由此解出 显然严重失真.若用 除第一方程减第二方程，则出现小数除大数，这时方程组为58 若反过来用第二个方程消去第一个方程中含 的项，由此求得相当好的近似解 则避免了大数被小数除，得到59 2.要避免两相近数相减 在数值计算中两相近数相减有效数字会严重损失.例如，都具有五位有效数字，但 只有两位有效数字.这说明必须尽量避免出现这类运算.最好是改变计算方法，防止这种现象产生.60求 的小正根.解解 只有一位有效数字.则具有3位有效数字.若改用例例7 7由求根公式61 例例8 8计算 （用四位数学用表）.由于 ，只有一位有效数字.具有三位

19、有效数字（这里 ）.则 若利用直接计算62 此例说明，可通过改变计算公式避免或减少有效数字的损失.类似地，如果 和 很接近时，由 用右边算式有效数字就不损失.也应该用右端算式代替左端.当 很大时，63 一般情况，当 时，可用泰勒展开 取右端的有限项近似左端.如果无法改变算式，则采用增加有效位数进行运算；在计算机上则采用双倍字长运算，但这要增加机器计算时间和多占内存单元.64 3.要防止大数“吃掉”小数 在数值运算中参加运算的数有时数量级相差很大，例例9 9其中 .而计算机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的现象，影响计算结果的可靠性.在五位十进制计算机上，计算65 把运算的数

20、写成规格化形式 由于在计算机内计算时要对阶，若取 ，结果显然不可靠，这是由于运算中出现了大数 52492“吃掉”小数 造成的.对阶时 ，在五位的计算机中表示为机器 0，因此66于是 如果计算时先把数量级相同的一千个 相加，最后再加52492，就不会出现大数“吃”小数现象，这时67 4.注意简化计算步骤，减少运算次数 同样一个计算问题，如果能减少运算次数，不但可节省计算机的计算时间，还能减少舍入误差.这是数值计算必须遵从的原则，也是“数值分析”要研究的重要内容.68 例例1010的值，若直接计算 再逐项相加，一共需做次乘法和 次加法.若采用秦九韶算法（3.4）计算多项式69只要 次乘法和 次加法就可算出 的值.在“数值分析”中，这种节省计算次数的算法还有不少.70