同济大学高等数学第六上册总复习.pptx

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1、解解代入原方程得(1)第1页/共77页齐次方程的通解第2页/共77页(1)(2)1 1、两个重要极限、两个重要极限第3页/共77页等价无穷小替换则 应用 (如果下列各极限存在)1.若第4页/共77页常用的等价无穷小替换第5页/共77页1 1、连续的定义、连续的定义二 函数的连续性2 2、单侧连续、单侧连续定理定理 初等函数在其定义区间内都是连续的.第6页/共77页可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型无穷型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx3 3、间断点的分类、间断点的分类第7页/共77页定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)闭区间上闭区间上的连续函数连续函数

2、一一定定有有最最大大值值和和最最小小值值.Mmab推推论论(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.三 闭区间上连续 函数的性质第8页/共77页第9页/共77页MCmab第10页/共77页求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数微微 分分关 系高阶导数高阶导数第二章 导数与微分第11页/共77页第12页/共77页定理定理第13页/共77页4.(1)隐函数求导法则第14页/共77页(2)参数函数求导法则第15页/共77页第16页/共77页洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒

3、公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,函数函数图形的描绘图形的描绘;曲率曲率;求根方法求根方法.导数的应用第三章 中值定理和导数的应用第17页/共77页(1)费马(Fermat)引理1 1、中值定理、中值定理第18页/共77页(2)(2)、罗尔中值定理、罗尔中值定理第19页/共77页(3)(3)、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理第20页/共77页(4)(4)、柯西中值定理、柯西中值定理第21页/共77页2 2、洛必达法则、洛必达法则第22页/共77页第23页/共77页第24页/共

4、77页3 3、泰勒中值定理、泰勒中值定理皮亚诺形式的余项第25页/共77页 常用函数带常用函数带皮亚诺余项的麦克劳林公式的麦克劳林公式第26页/共77页第27页/共77页导数的应用导数的应用1 函数单调性的判定法第28页/共77页2.曲线的凹凸与拐点第29页/共77页3.函数的极值及其求法定理定理1 1(必要条件必要条件)第30页/共77页定理定理2 2(第一充分条件第一充分条件)定理定理3 3(第二充分条件第二充分条件)第31页/共77页步骤步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,注意注意:如果区间内只有一个极值,4.最大值、最小值问题实际问题求最值实际

5、问题求最值:1)建立目标函数;2)求最值:那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;则这个极值就 是最值(最大值或最小值).第32页/共77页5 弧微分 曲率 曲率圆 第33页/共77页第34页/共77页积分法积分法原原 函函 数数基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分第四章 不定积分第35页/共77页1 1、原函数与、原函数与不定积分不定积分存在定理存在定理连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数运算性质第36页/共77页2 2、基本积分表、基本积分表第37页/

6、共77页第38页/共77页常见类型:3 3、第一类换元法、第一类换元法第39页/共77页4 4、第二类换元法、第二类换元法常用代换:第40页/共77页5 5、分部积分法、分部积分法第41页/共77页第42页/共77页（1）有理函数的积分真分式化为部分分式之和的待定系数法6.有理函数与可化为有理函数的积分第43页/共77页令（2）三角函数有理式的积分 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为第44页/共77页（3）简单无理函数的积分讨论类型：解决方法：作代换去掉根号第45页/共77页问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存

7、在定理存在定理反常积分反常积分定积分定积分定定积积分分的的性性质质定定积积分分的的计计算算法法牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式一、主要内容一、主要内容第五章 定积分第46页/共77页第47页/共77页3 (定积分中值定理)积分中值公式第48页/共77页第49页/共77页牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式一、积分上限函数及其导数第50页/共77页第51页/共77页定积分的计算法定积分的计算法换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积分公式第52页/共77页反常（广义）积分反常（广义）积分(1)无穷限的反常积分(2)无界函数的反常积分第53页/共77页1 平面图形的面积直角坐标情形第六章 定积分的

8、应用第54页/共77页如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函数第55页/共77页极坐标情形第56页/共77页2 体积xyo旋转体的体积第57页/共77页柱壳法第58页/共77页平行截面面积为已知的立体的体积第59页/共77页3 平面曲线的弧长弧长A曲线弧为弧长B曲线弧为C曲线弧为弧长第60页/共77页1 变力所作的功2 水(液)压力第61页/共77页3 引力第62页/共77页一阶微分方程一阶微分方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程 可化为齐次可化为齐次 方程方程4.4.线性方程线性方程 伯努利方程5.5.一般换元

9、法一般换元法一阶微分方程第七章 第63页/共77页1 可分离变量的微分方程分离变量法2 齐次方程第64页/共77页第65页/共77页3 一阶线性微分方程第66页/共77页伯努利(Bernoulli)方程第67页/共77页高阶微分方程1 1、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法 型型接连积分n次，得通解 型型代入原方程,得第68页/共77页 型型代入原方程,得第69页/共77页2 2、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次线性方程解的结构:（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构:第70页/共77页解的叠加原理第71页/共77页特征方程为3 3、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程第72页/共77页特征方程为推广：推广：阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法特征方程的根通解中的对应项第73页/共77页4 4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法.第74页/共77页第75页/共77页例例解解第76页/共77页感谢您的观看！第77页/共77页