初等变换初等矩阵的概念ppt课件.ppt

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1、在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确第三章第三章a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2am1x1+am2x2+amnxn=bm1在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确3.1、矩阵的初等变换1 1、矩阵的初等变换、矩阵的初等变换引例引例解方程组解方程组:增广矩阵增广矩阵2在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确解方程的三种变换解方程的三种变换:1)

2、1)互换两个方程的位置；互换两个方程的位置；2)2)用一个非零数乘某一个方程；用一个非零数乘某一个方程；3)3)把一个方程的倍数加到另一个方程上去把一个方程的倍数加到另一个方程上去3在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确注：注：上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换对方程组施行的三种同解变换实质上是对方程组的系数进对方程组施行的三种同解变换实质上

3、是对方程组的系数进行运算行运算.4在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确【定义【定义2.7】下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行初等行(列列)变换变换:(1)对调两行对调两行(列列)(对调对调i与与j两行两行(例例)记为记为)(3)把把某某一一行行(列列)所所有有元元素素的的k倍倍分分别别加加到到另另一一行行(列列)对对应应的的元元素素上去上去(第第j行行(列列)k倍加到第倍加到第i行行(列列)上去上去,记为记为).注注1）矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换。初等变换。2

4、2）矩阵的初等变换是）矩阵的初等变换是可逆可逆的，而且是同型的；的，而且是同型的；逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换(2)以数以数乘第乘第i行行(列列)的所有元素的所有元素(记为记为)5在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵B,则称则称矩阵矩阵A与与B行行等价等价，记做，记做AB。等价矩阵等价矩阵等价矩阵之间的性质等价矩阵之间的性质如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵经过有限次初等列变换变成矩阵B,则称则称矩阵矩阵A与与B列列等价等价，记做

5、，记做AB。如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B,则称则称矩阵矩阵A与与B等价等价，记做，记做AB。6在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确形如形如:的矩阵称为的矩阵称为行阶梯矩阵行阶梯矩阵.特点特点1）若矩阵有零行，那么零行全部位于非零行的下方；）若矩阵有零行，那么零行全部位于非零行的下方；2）各个非零行的左起第一个非零元素的列序数由上到）各个非零行的左起第一个非零元素的列序数由上到下严格递增。下严格递增。具有特点具有特点1）3）的行阶梯）的行阶梯矩阵称为矩阵称为行最简矩阵行最简矩阵3）

6、各个非零行左起的第一个非零元素为）各个非零行左起的第一个非零元素为1，且其所在，且其所在的列除此元素外，其余元素均为零。的列除此元素外，其余元素均为零。一个矩阵经过初等行变换可以化成行阶梯矩阵和行最简矩阵一个矩阵经过初等行变换可以化成行阶梯矩阵和行最简矩阵。7在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例1用初等变换化简矩阵用初等变换化简矩阵矩矩阵阵A的的标标准准型型注注:1.1.任一矩阵都可经过初等行变换化成行阶梯矩阵；任一矩阵都可经过初等行变换化成行阶梯矩阵；2.2.任一矩阵都可经过初等行变换化成行最简矩阵；任一矩阵都可经过

7、初等行变换化成行最简矩阵；3.3.任一矩阵都可经初等变换化成标准型任一矩阵都可经初等变换化成标准型 。行阶梯型行阶梯型行最行最简型简型注意！注意！8在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例2 设解9在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确10在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例2 设解与与A A有什么有什么关系呢关系呢11在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设

8、置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确若把矩阵若把矩阵(A，E)的行最简形记作的行最简形记作(E，X)，则，则E 应是应是A 的行最简形，即的行最简形，即；并可验证并可验证AX=E，即，即X=A-1.下节我们将证明，下节我们将证明，对任何方阵对任何方阵A，的充分必要条件是的充分必要条件是A 可可逆，且当逆，且当A 可逆时，可逆时，EArEAr12在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确【定定义义2.9】由由单单位位矩矩阵阵经经一一次次初初等等变变换换而而得得到到的的矩矩阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵.如如对三阶单位矩阵

9、对三阶单位矩阵E施行三种初等变换得到的三种初等矩阵为：施行三种初等变换得到的三种初等矩阵为：E23=E3(k)=E12(k)=初等矩阵分为三类初等矩阵分为三类,分别记为分别记为Eij、Ei(k)、Eij(k),其中其中Eij:交换单位矩阵交换单位矩阵E的第的第i，j行行,得到的初等矩阵。得到的初等矩阵。Ei(k)：单位矩阵：单位矩阵E的第的第i行行的元素乘以数的元素乘以数k,得到的初等矩阵得到的初等矩阵。Eij(k)：单位矩阵：单位矩阵E的第的第j行行乘以数乘以数k加到第加到第i行行,得得到的初等矩阵。到的初等矩阵。对单位阵经一次对单位阵经一次初等行变换与经初等行变换与经一次列变换，得一次列变

10、换，得到的初等矩阵相到的初等矩阵相同吗？同吗？(列列)(列列)(第第i列列)(第第j列列)2 2、初等矩阵的概念13在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确1）初初等等矩矩阵阵都都是是可可逆逆矩矩阵阵,并并且且初初等等矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵还还是是初初等矩阵等矩阵,即即:2）初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：3）对）对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的初等施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的初等阵左乘矩阵阵左乘矩阵A;对对A施行一次初等列变换的结果等于用一施行一次初等列变换的结果等于

11、用一个相应的初等阵右乘矩阵个相应的初等阵右乘矩阵A.行变换：行变换：列变换列变换：初等矩阵的性质：14在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确如：如：15在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确A=P1P2Pk.【证证】充分性充分性:设有初等阵设有初等阵P P1 1，P P2 2，,P,Pk k,使使A=P1P2Pk.即即 A=P1P2Pk,【定定理理2】矩矩阵阵A A可可逆逆的的充充要要条条件件是是:存存在在有有限限个个初初等等阵阵P P1 1，P P2 2

12、，,P,Pk k，使使因初等阵是可逆矩阵因初等阵是可逆矩阵,且可逆阵的积还是可逆阵，所以且可逆阵的积还是可逆阵，所以A A可逆。可逆。必要性必要性使使，因，因A A可逆，可逆，所以所以F F也可逆，由也可逆，由16在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确小结1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2.2.初等变换初等变换4.4.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换17在整堂课的教

13、学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确作业作业18在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确内容回顾内容回顾1 1、矩阵的初等变换、矩阵的初等变换(1)对调两行对调两行(列列)(对调对调i与与j两行两行(例例)记为记为)(3)把把某某一一行行(列列)所所有有元元素素的的k倍倍分分别别加加到到另另一一行行(列列)对对应应的的元元素素上去上去(第第j行行(列列)k倍加到第倍加到第i行行(列列)上去上去,记为记为).(2)以数以数乘第乘第i行行(列列)的所有元素的所有元素(记为

14、记为)等价矩阵等价矩阵如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B,则称则称矩阵矩阵A与与B等价等价，记做，记做AB。由单位矩阵经由单位矩阵经一次一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.Eij:交换单位矩阵交换单位矩阵E的第的第i，j行行,得到的初等矩阵。得到的初等矩阵。Eij(k)：单位矩阵：单位矩阵E的第的第j行行乘以数乘以数k加到第加到第i行行,得得到的初等矩阵。到的初等矩阵。(列列)(列列)(第第i列列)(第第j列列)Ei(k)：单位矩阵：单位矩阵E的第的第i行行的元素乘以数的元素乘以数k,得到的初等矩阵得到的初等矩阵。2 2、

15、初等矩阵的概念19在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确A=P1P2Pk.【定定理理2】矩矩阵阵A A可可逆逆的的充充要要条条件件是是:存存在在有有限限个个初初等等阵阵P P1 1，P P2 2，,P,Pk k，使使1）初初等等矩矩阵阵都都是是可可逆逆矩矩阵阵,并并且且初初等等矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵还还是是初初等矩阵等矩阵,即即:2）初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：3）对）对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的初等施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的初等阵左乘矩阵阵左乘矩阵A;对对

16、A施行一次初等列变换的结果等于用一施行一次初等列变换的结果等于用一个相应的初等阵右乘矩阵个相应的初等阵右乘矩阵A.初等矩阵的性质：20在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确【推推论论2】设设A是是可可逆逆矩矩阵阵,则则A可可以以只只经经过过初初等等行行变变换化成单位矩阵换化成单位矩阵E.【推推论论1】两两个个型型矩矩阵阵A、B等等价价的的充充要要条条件件是是:存存在在m阶可逆矩阵阶可逆矩阵P及及n阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q,使使PAQ=B.这表明这表明,只经过初等行变换便可将只经过初等行变换便可将A化成单位矩阵化成单位矩阵.注注

17、：矩阵矩阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是A与单位矩阵与单位矩阵E等价等价.【证推论【证推论2】因因A可逆可逆,所以所以A-1也可逆也可逆,由定理由定理2存在初等阵存在初等阵P1,P2,Ps,使使A-1=P1P2Ps于是有于是有 A-1A=P1,P2,PsA=E21在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确设设A A可逆，则存在有限个初等矩阵可逆，则存在有限个初等矩阵下面我们来证明前面留下的一个结论：下面我们来证明前面留下的一个结论：求逆矩求逆矩阵阵22在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯

18、度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例1 1设求 A1.解：r22r1r33r123在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确r12r3r25r3r1+r2r3r224在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例2 2 设分析：分析：25在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确26在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确列变换列

19、变换 求逆矩求逆矩阵阵27在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确注意：注意：求方阵的逆矩阵28在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确3.2、矩阵的秩1.1.矩阵秩的概念矩阵秩的概念则则 均均是是A的子的子阵阵.是是A的两个二阶子式的两个二阶子式.【定定义义2.8】矩矩阵阵A中中非非零零子子式式的的最最高高阶阶数数叫叫作作矩矩阵阵A的的秩秩.记为记为R(A).如果如果A是零矩阵是零矩阵,规定规定R(A)=0.将将矩矩阵阵的的某某些些行行或或某某些些列列划划去

20、去，余余下下的的元元素素按按原原来来的的顺顺序序排排列列而而成成的的矩矩阵阵称称为为矩矩阵阵A的的子子(矩矩)阵阵.矩矩阵阵A可可以以看看做做自自身身的的一一个个子子（矩矩）阵阵A的子方阵的行列式为的子方阵的行列式为A的的子式子式.子式子式 例如例如注：注：1）R(A)=0的充要条件是的充要条件是A=O；若；若AO，则则R(A)0;2）若）若R(A)=r，则，则A中至少有一个中至少有一个r阶子式非零，而所有阶阶子式非零，而所有阶数大于数大于r的子式全为零的子式全为零.29在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确由矩阵秩的定义不

21、难得到：由矩阵秩的定义不难得到：如矩阵如矩阵:又如：由于由于B中所有三阶子式均为零中所有三阶子式均为零,而二阶子而二阶子式式,所以所以R(B)=2.所有二、三阶子式为零，所有二、三阶子式为零，A中又有非零中又有非零元素，故元素，故R(A)=1；(4)其其中中A1为为A的的任任一一子子阵阵【性质】【性质】设设A是是型矩阵型矩阵,则则2.2.矩阵秩的性质矩阵秩的性质30在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例1求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩解解对于矩阵对于矩阵A,有有0 0=0=0,而所有的四阶子式全为零而所有的四阶子式全为零.

22、所以所以R(A)=3.对于对于B，显然其三阶子式，显然其三阶子式,而所有的四阶子式全为零而所有的四阶子式全为零.所以所以R(B)=3.31在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确印象印象1.一般的矩阵按定义求其秩，计算量相当大。一般的矩阵按定义求其秩，计算量相当大。2.行阶梯形矩阵按定义求其秩行阶梯形矩阵按定义求其秩,非常方便非常方便,其秩为非零行的行数其秩为非零行的行数.2）初等变换不改变矩阵的秩1)且r由A唯一确定;【定理】【定理】若矩阵若矩阵A与与B等价等价,则则R(A)=R(B)注注问题问题:等价的两矩等价的两矩阵其秩

23、是否一定相阵其秩是否一定相等等?32在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例2求矩阵求矩阵A A的秩，其中的秩，其中解解由于由于A的行阶梯矩阵的非零行数为的行阶梯矩阵的非零行数为3，故，故R(A)=3.3.3.用矩阵的初等变换求矩阵的秩用矩阵的初等变换求矩阵的秩一般方法：一般方法：1）将）将A用初等变换化为行阶梯矩阵；用初等变换化为行阶梯矩阵；2）R(A)=A的行阶梯矩阵的非零行数。的行阶梯矩阵的非零行数。33在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确若矩阵

24、的秩等于矩阵若矩阵的秩等于矩阵A的行（列）数，则称的行（列）数，则称A为为行行（列）满秩矩阵（列）满秩矩阵；若方阵；若方阵A的秩等于的秩等于A的阶数，则称矩的阶数，则称矩阵阵A为为满秩矩阵满秩矩阵。因此有以下结论：。因此有以下结论：1)n阶方阶阶方阶A的秩的秩R（A）=n n方阵方阵A可逆可逆2）由定理）由定理2.3知知:4.4.满秩矩阵及有关结论满秩矩阵及有关结论34在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例3解：解：35在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也

25、很明确补充几个有用性质补充几个有用性质36在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例4证,所以 37在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确小结(2)(2)初等变换法初等变换法1.矩阵秩的概念矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);38在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确思考题39在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确思考题解答答答答答相等相等.即即由此可知由此可知40在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确作业：作业：41在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确用初等变换化简矩阵A，并求A的秩练习42