行列式乘法法则.pptx

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1、2023/3/13数学科学学院 李本星一、一、k 级子式与余子式、代数余子式级子式与余子式、代数余子式定义定义在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 ()，位于这些行和列的交叉点上的 个元素式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 式 ，称为 k 级子式 M 的余子式；余下的元素按照原来的次序组成的 级 行列 第1页/共16页2023/3/13数学科学学院 李本星若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是，则在 M 的余子式前后称之为 M 的代数加上符号余子式，记为 .注：注：k 级子式不是唯一的.（

2、任一 n 级行列式有 个 k 级子式）时，D本身为一个n级子式时，D中每个元素都是一个1级子式；第2页/共16页2023/3/13数学科学学院 李本星二、二、拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)定理定理引理引理行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中的一项，而且符号也一致第3页/共16页2023/3/13数学科学学院 李本星Laplace Laplace 定理定理由这 k 行元素所组成的一切k级子式与它们的设在行列式 D 中任意取 k()行，代数余子式的乘积和等于 D即若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式则 .，它们对应的代数

3、余子式分别为为第4页/共16页2023/3/13数学科学学院 李本星 时，即为行列式 D 按某行展开；注：注：为行列式 D 取定前 k 行运用Laplace 定理结果 第5页/共16页2023/3/13数学科学学院 李本星例1：计算行列式 解：,.它们的代数余子式为第6页/共16页2023/3/13数学科学学院 李本星,.第7页/共16页2023/3/13数学科学学院 李本星三、行列式乘法法则三、行列式乘法法则设有两个n 级行列式其中则第8页/共16页2023/3/13数学科学学院 李本星证：证：作一个2n级的行列式由拉普拉斯定理 第9页/共16页2023/3/13数学科学学院 李本星又对D作初等行变换：可得这里第10页/共16页2023/3/13数学科学学院 李本星从而 第11页/共16页2023/3/13数学科学学院 李本星例2：证明齐次性方程组只有零解其中 不全为0第12页/共16页2023/3/13数学科学学院 李本星证：证：系数行列式 第13页/共16页2023/3/13数学科学学院 李本星由 不全为0，有即 ，故方程组只有零解第14页/共16页2023/3/13数学科学学院 李本星 例3 设证明：其中为元素的代数余子式。第15页/共16页2023/3/13数学科学学院 李本星感谢您的观看！第16页/共16页