烛光杯课堂教学大成品2012-10-17————二次函数面积最值问题.ppt

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1、面积最值问题面积最值问题阿城八中阿城八中 齐维春齐维春二次函数的应用二次函数的应用挑战自我挑战自我 直击中考直击中考（2011201120112011哈尔滨哈尔滨哈尔滨哈尔滨 24 24 24 24 题）手工课上，小明准备做一个形状题）手工课上，小明准备做一个形状题）手工课上，小明准备做一个形状题）手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm60cm60cm60cm，菱形的面积，菱形的面积，菱形的面积，菱形的面积

2、S S S S（单位：（单位：（单位：（单位：cmcmcmcm2 2 2 2）随其中一条对角线的）随其中一条对角线的）随其中一条对角线的）随其中一条对角线的长长长长x x x x（单位：（单位：（单位：（单位：cmcmcmcm）的变化而变化。）的变化而变化。）的变化而变化。）的变化而变化。（1 1 1 1）请直接写出）请直接写出）请直接写出）请直接写出S S S S与与与与x x x x之间的函数关系式（不要求写出自之间的函数关系式（不要求写出自之间的函数关系式（不要求写出自之间的函数关系式（不要求写出自变量变量变量变量x x x x的取值范围）；的取值范围）；的取值范围）；的取值范围）；（2

3、 2 2 2）当）当）当）当x x x x是多少时，菱形风筝面积是多少时，菱形风筝面积是多少时，菱形风筝面积是多少时，菱形风筝面积S S S S最大？最大面积是多最大？最大面积是多最大？最大面积是多最大？最大面积是多少？少？少？少？解：（解：（1）（2）当当x为为30cm时时，菱形，菱形风风筝面筝面积积最大，最大面最大，最大面积积是是450cm2。(2012(2012中考试题）中考试题）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为三角形中，长度为x(x(单位：单位：cm)cm)的边与这条的边与这条边上的高之和为边上的高之和为40 cm40 cm，

4、这个三角形的面积，这个三角形的面积S(S(单位：单位：cmcm2 2)随随x(x(单位：单位：cm)cm)的变化而变化的变化而变化 (1)(1)请直接写出请直接写出S S与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式(不要求写出自变量不要求写出自变量x x的取值范围的取值范围)；(2)(2)当当x x是多少时，这个三角形面积是多少时，这个三角形面积S S最大最大?最大面积是多少最大面积是多少?如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=8cmAB=8cm,BC=6cmBC=6cm，BB9090点点P P从点从点A A开始沿开始沿ABAB边向点边向点B B以以2 2厘米秒的速度移动，点厘米秒的速度移动

5、，点Q Q从点从点B B开始沿开始沿BCBC边向点边向点C C以以1 1厘米秒的速度厘米秒的速度移动，移动，当当一个到达终点时另一个点也一个到达终点时另一个点也随之停止运动，随之停止运动，如果如果P,QP,Q分别从分别从A,BA,B同同时出发，几秒后时出发，几秒后PBQPBQ的面积最大？的面积最大？最大面积是多少？最大面积是多少？ABCPQ2cm/秒秒1cm/秒秒解：设解：设动点运动时间为动点运动时间为x秒秒，PBQPBQ的面积的面积为为y y则则AP=2x cm PB=（8-2x）cm QB=x cm=-x2 +4x=-（x2 -4x +4 -4）=-（x-2）2 +4所以，当所以，当P、Q

6、同时运动同时运动2秒后秒后PBQPBQ的面积的面积y y最大最大最大面积是最大面积是 4 cm2（0 x4）ABCPQ y=x（8-2x）在矩形荒地在矩形荒地ABCD中，中，AB=10，BC=6,今在四今在四边上分别选取边上分别选取E、F、G、H四点，建一个花四点，建一个花园且园且AE=AH=CF=CG=x，如何设计，可使，如何设计，可使花园面积最大？花园面积最大？DCABGHFE106解：设花园的面积为解：设花园的面积为y y则则（0 x60 x6）=-2=-2（x-4x-4）2 2 +32 32所以当所以当x=4时时 花园的最大面积为花园的最大面积为322：有哪些收获呢？有哪些收获呢？与大

7、家共分享！与大家共分享！学学而而不不思思则则罔罔回回头头一一看看，我我想想说说 运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤的一般步骤 :求出函数解析式和自变量的取值范围求出函数解析式和自变量的取值范围配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。注意：自变量的取值范围注意：自变量的取值范围思想方法：建模思想思想方法：建模思想ABCD小明的家门前有一块空地，空地外有一面长小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一

8、个矩形花圃备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了，他买回了32米长米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的宽花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？积最大？(各边取整数）各边取整数）解：设解：设AD=x米，则米，则AB=（32-2x）米，设矩形面积为米，设矩形面积为y米米2，由题意得由题意得y=x（32-2x）=-2x2+32x 10米米DABC而实际上自变量的范围是而实际上自变量的范围是11x 16，由图象或增，由图象或增减性可知减性可知x=11米时，米时，y最大最大=110米米2错解错解 布置作业：布置作业

9、：回去搜集两道相关解答题目回去搜集两道相关解答题目并做以解答并做以解答结束寄语结束寄语下课了下课了!感谢光临指导！感谢光临指导！同学们同学们，请不要停止探究的步伐请不要停止探究的步伐,数学源自于对生活的热爱数学源自于对生活的热爱 音乐能激发或托慰情怀，绘画音乐能激发或托慰情怀，绘画能使人赏心悦目，诗歌能动人心能使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学能获得智慧，科技可以弦，哲学能获得智慧，科技可以改善生活，但数学却能提供以上改善生活，但数学却能提供以上的一切的一切.康托尔康托尔如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长

10、方形花圃，设花圃的宽篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为为x米，面积为米，面积为S平方米。平方米。(1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ABCD解解：(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。米，则求围成花圃的最大面积。如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为为x米，面积为米，面积为S

11、平方米。平方米。(1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ABCD解解：(1)AB为为x米、篱笆长为米、篱笆长为24米米花圃宽为（花圃宽为（244x）米）米(3)墙的可用长度为墙的可用长度为8米米Sx（244x）4x224x（0 x6）0244x84x6当当x4m时，时，S最大值最大值32平方米平方米(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。米，则求围成花圃的最大面积。答：围成花圃的最大面积为答：围成花圃的最大面积为32平

12、方米。平方米。用用4848米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场养鸡场一面用砖砌成一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成另三面用竹篱笆围成,并且并且在与砖墙相对的一面开在与砖墙相对的一面开2 2米宽的门米宽的门(不用篱不用篱笆笆),),问养鸡场的边长为多少米时问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占养鸡场占地面积最大地面积最大?最大面积是多少最大面积是多少?如图，用长为如图，用长为如图，用长为如图，用长为1818米的篱笆两面靠墙围成一个矩形苗米的篱笆两面靠墙围成一个矩形苗米的篱笆两面靠墙围成一个矩形苗米的篱笆两面靠墙围成一个矩形苗圃圃圃圃ABCDABCD，其中，其中，其中，其中E

13、FEF是一个是一个是一个是一个2 2米宽的门（门不需要篱米宽的门（门不需要篱米宽的门（门不需要篱米宽的门（门不需要篱笆）设边笆）设边笆）设边笆）设边ABAB的长为的长为的长为的长为x x（单位：米），矩形（单位：米），矩形（单位：米），矩形（单位：米），矩形ABCDABCD的面积为的面积为的面积为的面积为S S（单位：平方米）（单位：平方米）（单位：平方米）（单位：平方米）（1 1）求）求）求）求s s与与与与x x之间的函数关系式（不要求写出自变之间的函数关系式（不要求写出自变之间的函数关系式（不要求写出自变之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）：量的取值范围）：量的取值范围）：量的

14、取值范围）：（2 2）若矩形）若矩形）若矩形）若矩形ABCDABCD的面积为的面积为的面积为的面积为6464平方米，且平方米，且平方米，且平方米，且ABABBCBC，请求出此时，请求出此时，请求出此时，请求出此时ABAB的长的长的长的长 （20122012道外二模）一块三角形废料如图所示，道外二模）一块三角形废料如图所示，道外二模）一块三角形废料如图所示，道外二模）一块三角形废料如图所示，A=30A=30，C=90C=90，AB=6AB=6米用这块废料剪出一个矩形米用这块废料剪出一个矩形米用这块废料剪出一个矩形米用这块废料剪出一个矩形CDEFCDEF，其，其，其，其中点中点中点中点DD、E E

15、、F F分别在分别在分别在分别在ACAC、ABAB、BCBC上设边上设边上设边上设边AEAE的长为的长为的长为的长为x x米，米，米，米，矩形矩形矩形矩形CDEFCDEF的面积为的面积为的面积为的面积为S S平方米平方米平方米平方米 (1)(1)请直接写出请直接写出请直接写出请直接写出S S与与与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式之间的函数关系式之间的函数关系式(不要求写出自变量不要求写出自变量不要求写出自变量不要求写出自变量x x的取值范围的取值范围的取值范围的取值范围)；(2)(2)根据根据根据根据(1)(1)的函数关系式，计算当的函数关系式，计算当的函数关系式，计算当的函数关系式，

16、计算当x x为何值时为何值时为何值时为何值时S S最大，并求出最大，并求出最大，并求出最大，并求出最大值最大值最大值最大值（香坊二模）某小区要用篱笆围成一个四边形花坛花坛的（香坊二模）某小区要用篱笆围成一个四边形花坛花坛的（香坊二模）某小区要用篱笆围成一个四边形花坛花坛的（香坊二模）某小区要用篱笆围成一个四边形花坛花坛的一边利用足够长的墙，另三边所用的篱笆之和恰好为一边利用足够长的墙，另三边所用的篱笆之和恰好为一边利用足够长的墙，另三边所用的篱笆之和恰好为一边利用足够长的墙，另三边所用的篱笆之和恰好为1818米米米米围成的花坛是如图所示的四边形围成的花坛是如图所示的四边形围成的花坛是如图所示的

17、四边形围成的花坛是如图所示的四边形ABCDABCD，其中，其中，其中，其中ABC=ABC=BCD=90BCD=90，且，且，且，且BC=2ABBC=2AB设设设设ABAB边的长为边的长为边的长为边的长为x x米。四边形米。四边形米。四边形米。四边形ABCDABCD面积为面积为面积为面积为S S平方米平方米平方米平方米 (I)(I)请直接写出请直接写出请直接写出请直接写出S S与与与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式之间的函数关系式之间的函数关系式(不要求写出自变量不要求写出自变量不要求写出自变量不要求写出自变量x x的取值范围的取值范围的取值范围的取值范围)。(2)(2)当当当当x x是

18、多少时。四边形是多少时。四边形是多少时。四边形是多少时。四边形ABCDABCD面积面积面积面积S S最大？最大面积是多最大？最大面积是多最大？最大面积是多最大？最大面积是多少？少？少？少？小明的家门前有一块空地，空地外有一面长小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一

19、个间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）。花圃的宽米宽的门（木质）。花圃的宽AD究竟应为多少米才能究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？使花圃的面积最大？解：设解：设AD=x,则则AB=32-4x+3=35-4x从而从而S=x(35-4x)-x=-4x2+34xAB106.25xS=-4x2+34x，对称轴对称轴x=4.25,开口朝下开口朝下当当x4.25时时S随随x的增大而减小的增大而减小故当故当x=6.25时，时，S取最大值取最大值56.25BDAHECGF小明的家门前有一块空地，空地外有一面长小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小

20、明的爸米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个各放一个1米宽的门（木质）。米宽的门（木质）。花圃的宽花圃的宽AD究竟应为究竟应为 多少米才能使花圃的多少米才能使花圃的 面积最大？面积最大？如图，有长为如图，有长为如图，有长为如图，有长为2424米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆

21、米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙墙墙墙体的最大可使用长度体的最大可使用长度体的最大可使用长度体的最大可使用长度a a1010米米米米)。(1)(1)如果所围成的花圃的面积为如果所围成的花圃的面积为如果所围成的花圃的面积为如果所围成的花圃的面积为4545平方米，试求宽平方米，试求宽平方米，试求宽平方米，试求宽ABAB的长；的长；的长；的长；(2)(2)按题目的设计要求，能围成面积比按题目的设计要求，能围成面

22、积比按题目的设计要求，能围成面积比按题目的设计要求，能围成面积比4545平方米更平方米更平方米更平方米更大的花圃吗大的花圃吗大的花圃吗大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围如果能，请求出最大面积，并说明围如果能，请求出最大面积，并说明围如果能，请求出最大面积，并说明围法，如果不能请说明理由法，如果不能请说明理由法，如果不能请说明理由法，如果不能请说明理由 在矩形在矩形ABCD中，中，AB6cm，BC12cm，点点P从点从点A出发，沿出发，沿AB边向点边向点B以以1cm/秒的秒的速度移动，同时，点速度移动，同时，点Q从点从点B出发沿出发沿BC边向边向点点C以以2cm/秒的速度移动。如果秒的速度移动。如果P、Q两点两点在分别到达在分别到达B、C两点后就停止移动，回答两点后就停止移动，回答下列问题：下列问题：（1）运动开始后第几秒时，）运动开始后第几秒时，PBQ的面积的面积等于等于8cm2？(2）设运动开始后第）设运动开始后第t秒时，五边形秒时，五边形APQCD的面积为的面积为Scm2，写出，写出S与与t的函数关的函数关系式，并指出自变量系式，并指出自变量t的取值范围；的取值范围；（3）t为何值时为何值时S最小？求出最小？求出S的最小值。的最小值。ABCDPQ练习：练习：课后课后作业作业:搜集两道相关解答题并做以解答