选修定积分概念.pptx

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1、求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)取近似求和:任取i xi,xi+1，第i个小曲边梯形的面积用高为f(i)而宽为 x的小矩形面积f(i)x近似之。(3)取极限:所求曲边梯形的面积S为 取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xi(1)分割:在区间a,b上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度x第1页/共21页一、定积分的定义 如果当n时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割-近似代替-求和-取极限得到解决.第2页/共2

2、1页定积分的定义：定积分的相关名称：叫做积分号，f(x)叫做被积函数，f(x)dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，a,b 叫做积分区间。第3页/共21页被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限第4页/共21页 按定积分的定义，有 (1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0),直线x=a、x=b及x轴所围 成的曲边梯形的面积为 (2)设物体运动的速度v=v(t),则此物体在时间区间a,b 内运动的距离s为定积分的定义：第5页/共21页1x yOf(x)=x2O Ov t t12第6页/共21页(1)定积分是一个数值,它只与被积函数及积分 区间有关，而与积分

3、变量的记法无关，即说 明：第7页/共21页二、定积分的几何意义：Ox yab yf(x)x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。当)f(x 0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y f(x)上述定义中原先要求ab，为了运算和应用方便，有两点规定:第8页/共21页 当f(x)0时，由y f(x)、x a、x b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yO-ab yf(x)y-f(x)-S上述曲边梯形面积的负值。S积分baf(x)dx 在几何上表示 二、定积分的几何意义：第9页/共21页ab yf(x)Ox y探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?

4、ab y f(x)Ox y第10页/共21页 定积分 的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。xyab二、定积分的几何意义：第11页/共21页用定积分表示图中四个图形阴影部分的面积。练习：-12xy0axyf(x)=x2f(x)=x2第12页/共21页用定积分表示图中四个图形阴影部分的面积。练习：f(x)=x2f(x)=1abxy-12xy第13页/共21页例1:利用定积分的定义,计算 的值.第14页/共21页利用几何意义求定积分 解:函数 y 1 x在区间0,1上的定积分是以y=1-x为曲边,以区间0,1为底的曲边梯形的面积.因为以y=1-x为曲边,以区间0,1为底的曲边梯形是一

5、个直角三角形,其底边长及高均为1,所以 例例2 2 用定积分的几何意义求-10)1(dxx.练习:用定积分的几何意义求第15页/共21页三:定积分的基本性质 性质1.性质2.这是因为第16页/共21页三:定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有可加性性质3.Ox yab yf(x)第17页/共21页性质3:不论a，b，c的相对位置如何都有ab y=f(x)cOx y第18页/共21页定积分的简单性质的应用点评：运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差第19页/共21页小 结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值定积分求近似以直(不变)代曲(变)取极限第20页/共21页感谢您的观看！第21页/共21页