考点41 用综合法求角与距离（解析版）.docx

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1、考点41 用综合法求角与距离 2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.3等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4直线和平面所成的角定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角范围：.5二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角：在二面角

2、的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角范围：0，.1、已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AD1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A. B.C. D.【答案】：A【解析】：如图，连接A1D，A1C1，由题易知B1CA1D，所以C1DA1是异面直线B1C与C1D所成的角，又AA1AB，AD1，所以A1D2，DC1，A1C12，由余弦定理，得cosC1DA1，故选A.2、棱长都为2的直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BAD60，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为()ABCD【答案】：

3、C【解析】：过点A1作直线A1MD1C1，交C1D1的延长线于点M，连接CM，可得A1M平面DD1C1C，则A1CM就是直线A1C与平面DD1C1C所成的角由所有棱长均为2及A1D1C1120，得A1MA1D1sin 60，又A1C4，所以sinA1CM，故选C.3、一个正四面体的侧面展开图如图所示，点G为BF的中点，则在该正四面体中，直线EG与直线BC所成角的余弦值为_【答案】：【解析】：该正四面体如图所示，取AD的中点H，连接GH，EH，则GHAB，所以HGE为直线EG与直线BC所成的角设该正四面体的棱长为2，则HEEG，GH1.在HEG中，由余弦定理，得cosHGE.4、已知直三棱柱AB

4、CA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_【答案】：【解析】：如图所示，设M，N，P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1，BC1的夹角为MN和NP的夹角或其补角，MNAB1，NPBC1，作BC的中点Q，则PQM为直角三角形，PQ1，MQAC，ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC412217，AC，MQ，在MQP中，MP，在PMN中，由余弦定理得cosMNP，又异面直线所成角的范围是，AB1与BC1所成角的余弦值为.题型一 、运用综合法研究异面直线所成角例1、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体中

5、，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图，连接，因为，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，所以.故选：D变式1、（2018新课标，文9）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为ABCD【答案】C【解析】连接BE，因为AB/CD，所以EAB是异面直线与所成角，设正方体棱长为2，则AB=BC=2CE=2，在RtBCE中，在中，异面直线与所成角的正切值为，故选方法总结：用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求

6、：解三角形，求出所作的角考向二 运用综合法研究线面角例2、【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（1）证明：AB1平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值【解析】方法一：（1）由得，所以.故.由，得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（2）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.变式1、如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，

7、B的一动点(1)证明：PBC是直角三角形；(2)若PAAB2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为 时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值(1)证明:AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点BCAC，PA平面ABC，BCPA，又PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC，BCPC，BPC是直角三角形(2)解:如图，过A作AHPC于H，BC平面PAC，BCAH，又PCBCC，PC，BC平面PBC，AH平面PBC，ABH是直线AB与平面PBC所成的角，PA平面ABC，PCA即是PC与平面ABC所成的角，tanPCA，又PA2，AC，在RtPAC中，AH，在RtABH中，sinAB

8、H，即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.备课笔记：求直线与平面所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作出线面角；(2)二证：证明作出的角是线面所成的角；(3)三求：求出所作的角考向三 二面角例3如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC60，PAACa，PBPDa，点E在PD上，且PEED21.(1)证明：PA平面ABCD；(2)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；(1)证明：因为底面ABCD是菱形，ABC60，所以ABADACa，在PAB中，由PA2AB22a2PB2，知PAAB，同理PAAD，所以PA平面ABCD.(2)解：如图1所示，作EGPA交AD于G，由PA平面A

9、BCD，知EG平面ABCD，作GHAC于H，连接EH，则EHAC，则EHG为所求二面角的平面角，设为.又PEED21，则EGa，AGa，GHAGsin 60a，从而tan ，所以30.变式1、如图，ABC的外接圆O的半径为，CDO所在的平面，BECD，CD4，BC2，且BE1，tanAEB2.(1)求证：平面ADC平面BCDE；(2)试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由(1)证明CD 平面ABC，BECD，BE平面ABC，BEAB.BE1，tanAEB2，AE，从而AB2.O的半径为，AB是直径，ACBC，又CD 平

10、面ABC，BC平面ABC，CDBC，故BC平面ACD.BC平面BCDE，平面ADC平面BCDE.(2)解方法一假设点M存在，过点M作MNCD于N，连接AN，作MFCB于F，连接AF.平面ADC平面BCDE，平面ADC平面BCDEDC，MN平面BCDE，MN平面ACD，MAN为MA与平面ACD所成的角设MNx，计算易得，DNx，MF4x，故AM ，sinMAN，解得x(舍去)，x，故MNCB，从而满足条件的点M存在，且DMDE.方法总结：求二面角方法一：利用定义作出二面角的平面角，转换为在三角形中来求方法二：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大

11、小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角1、已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD【答案】C【解析】如图所示，设、分别为，和的中点，则、夹角为和夹角或其补角（因异面直线所成角为，可知，作中点，则为直角三角形，在中，由余弦定理得，在中，在中，由余弦定理得，又异面直线所成角的范围是，与所成角的余弦值为2、直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ） A B C D【答案】C【解析】如图所示，取的中点，连结、，分别是，的中点，四边形为平行四边形，所求角的余弦值等于的余弦值，不妨令，则，故选C3、如图，在正方体中，点为线段的中点设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是A B C D【答案】B【解析】直线与平面所成的角为的取值范围是，由于， ，所以的取值范围是学科网（北京）股份有限公司