D第三讲 主干考点 集合与常用逻辑用语.doc

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1、第三讲第三讲 主干考点主干考点 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语【名师高考导航名师高考导航】集合部分一般考查集合之间的关系和集合的运算，其中，以集合语言为背景的新定义试题是高考中的热点，且易于以集合为载体考查函数与方程、不等式、三角函数等有关知识，常用逻辑用语部分一般考查命题的真假判断、命题的否定和充要条件的判断，其中，充要条件是考查的重点，且易于以常用逻辑用语为工具考查函数、不等式、立体几何、解析几何中的基本概念及性质的理解和判断，【考点思维脑图考点思维脑图】【重要考点串讲重要考点串讲】一、集合一、集合1集合中元素的性质集合中元素的性质 确定性：不能确定的对象不能构成集合.互异性：集合中

2、的任意两个元素不同.无序性：集合中的元素不考虑顺序.注意：求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验2集合之间的关系集合之间的关系(1)子集：对任意的，都有，则（或）xAxBABBA(2)真子集：若，但存在元素，且，则（或） ABxBxAABBA(3)集合相等：若，且，则.ABABAB【注意】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，若集合含有个元素，则其子集有个，真子集有个，非空真子集有An2n21n个，22n【提醒】集合的真子集一定是其子集，而集合的子集不一定是其真子集AA3集合的运算及性质集合的运算及性质交集并集补集图形符号 |,ABx xAxB且 |,ABx xAxB或 |,UAx

3、 xUxA且性质;AAAAABBAABAAB ;AAAAAABBAABABA ();();();()()();()()()UUUUUUUUUUAAUAAAAABABABAB 二、常用逻辑用语二、常用逻辑用语1四种命题及其关系四种命题及其关系在同一个命题四种形式的命题中，真命题的个数只能是0或2或42复合命题真假判断的方法（即真值表）复合命题真假判断的方法（即真值表）pqpqpqp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真口诀记忆：一真则真；pq一假则假；pq与真假相反pp3命题的否定命题的否定命题形式pqppq否定形式pq ppq 4全称命题与特称命题全称命题与特称命题全称命题：，其否定是特称命

4、题：, ( )xM p x 00,()xMp x特称命题：，其否定是全称命题：00, ()xM p x, ( )xM p x 【点拨】一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或存在量词改成全称量词，同时否定结论5充分条件与必要条件充分条件与必要条件(1)若，则是的充分条件，是的必要条件pqpqqp(2)若，则，互为充要条件pqpq若命题对应集合A，命题对应集合B，则等价于，等价于pqpqABpqAB【提醒】判断充分条件与必要条件时需要注意以下几点：确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推结论，

5、结论推条件；确定条件是结论的什么条件【方法技巧突破方法技巧突破】必考点必考点1 元素、集合与集合之间的关系元素、集合与集合之间的关系【典例 1】已知集合，若有且只有 3 个2 2 |log (3)Mx yxx1, NmMN真子集，则实数的取值范围是mA(0,1) B(0,3) C(0,1)(1,3) D(-,1)(3,+)【解析】由题意知,集合为不等式的解集，所以因为有M230xx(0,3)M MN且只有 3 个真子集，所以中有 2 个元素，根据题意，且，故MN(0,3)m1m 答案为 C【典例2】已知集合，则集合中元素的个数是0,1,2A |,Bxy xA yAA1 B3 C5 D9【解析】

6、因为，所以可对，赋值，从而求出集合中元素的个数, x yAxyB赋值法：因为，所以，或，或，或，或，, x yA00xy 01xy 02xy 10xy 11xy 或，所以，所以集合中有5个元素，选C22xy 0, 1.2,1,2B B【方法探究】求解集合中的元素个数题目的关键，一是要准确判断元素是否属于该集合，判断的依据就是能否将该元素化成集合中的代表元素的形式对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性【典例3】已知集合，则 ( )2 |20Ax xx |55BxxA B C DAB AB RBAAB【解析】先通过解一元二次不等式求出集合，再借助数轴求解集合的运

7、算集合A或，所以或=，选 |2Ax x0x |2ABx x0x |55xxRB【方法探究】判断集合间关系的方法1一一列举观察2集合元素特征法：首先确定集合中的元素是什么，弄清集合中元素的特征，再利用集合中元素的特征判断集合间的关系3数形结合法：利用数轴或Venn图或平面图形把两个集合表示出来，再判断它们之间的关系（如本题） 必考点必考点2 集合的运算集合的运算【典例 1】(2017 全国卷) 设集合，若1,2,4A 2 |40Bx xxm，则1AB B A B C D1, 31,01,31,5【解析】，即，方程，1AB 1B214 10m 3m 2430xx解得或，选C1x 3x 1,3B 【

8、方法探究】关于集合及其运算，首先要从本质上认识集合，即集合中的元素是什么(如数、点、图形等)，有什么样的特征，进而决定采取什么样的策略解决问题【典例 2】已知集合 A=|，B=|22，则=x2230xxxxABA2, 1 B1,1 C1,2） D1,2）【解析】，故=2, 1|13Ax xx或AB【方法探究】破解集合的运算问题需掌握双招：第一招，化简各个集合，即明确集合中元素的性质，化简集合；第二招，借形解题，一般规律如下，Venn. 不等式的解集用数轴法求解.给定集合的形式点集用数形结合法求解.抽象集合常用图求解再根据集合的交集、并集、补集的定义进行基本运算【方法总结】解集合的运算问题应注意

9、如下三点：注意观察集合中元素的特点，元素是数还是有序数对，是函数的定义域、函数的值域，还是函数的图象等；进行集合基本运算时要注意对应不等式端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要搞清端点值的取舍，不能遗漏；求解集合的补集运算要注意，既要关注全集是什么，又要注意求补集的程序，一般先求出原来的集合，然后求其补集，不要直接转化条件而导致漏解必考点必考点3 命题的四种形式及其相互关系命题的四种形式及其相互关系【典例 1】(2017 全国卷)设有下面四个命题：若复数满足，则；1pz1 zRzR：若复数满足，则；2pz2z RzR：若复数，满足，则；3p1z2z1 2z z R12zz：若复数，则4

10、pzRz R其中的真命题为A， B， C， D，1p3p1p4p2p3p2p4p【解析】设（） ，则，得，所以，izab, a bR2211i (i)ab zababR0b zR正确；，则，即或，不能确1p2222(i)2izabababR0ab 0a 0b 定，不正确；若，则，此时，正确选zR2pzR0b izabaR4pB 【方法探究】在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题” “否命题” “逆否命题” ；其中原命题与逆否命题真假性相同，否命题与逆命题真假性相

11、同，对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手，如本题要从共轭复数的概念入手判断原命题的真假【典例 2】设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是mR0m 20xxmA若方程有实根，则 20xxm0m B若方程有实根，则20xxm0m C若方程没有实根，则20xxm0m D若方程没有实根，则20xxm0m 【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D【思路点拨】解题时要注意原命题与其他三种命题之间的关系原命题为“若则”pq，则其逆否命题为“若则” qp【方法总结】解决命题及其相互关系类试题，需要注意两个方面：一是明确命题的否定与否命题的区别及其格式，命题的否定

12、只否定结论，而否命题是条件与结论都否定；二是要正确对条件和结论进行“否定” ，尤其是含有不等号的问题，容易误以为“”的否定是“”而导致错解必考点必考点4 充分条件与必要条件的判断充分条件与必要条件的判断【典例 1】(2017 北京)设, 为非零向量，则“存在负数，使得”是“”mnmn0m n的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】因为为非零向量，所以的充要条件是,m n|cos,0m nmnm n因为，则由可知的方向相cos,0m n0mn,m n反，所以，所以“存在负数，使得”可推,180m ncos,0m nmn出“”；而可推出，但不一定推出的

13、方向相0m n0m ncos,0m n,m n反，从而不一定推得“存在负数，使得”，所以“存在负数，使得”mnmn是“”的充分而不必要条件0m n【典例2】函数在处导数存在，若：；：是的极( )f x0xxp0()0fxq0xx( )f x值点，则 ( )A是的充分必要条件pqB是的充分条件，但不是的必要条件pqqC是的必要条件，但不是的充分条件pqqD既不是的充分条件，也不是的必要条件pqq【解析】定义法：设，但是是单调递增函数，在处不存3( )f xx(0)0f ( )f x0x 在极值，故“若则”是一个假命题，由极值的定义可得“若则”是一个真命pqqp题故选C【方法总结】定义法：定义法：

14、正反方向推理，若，是的充分条件，或是的必pqpqqp要条件；若且，则是的充分非必要条件（或是的必要非充分条件）pqqppqqp此法适用于定义、定理判断性问题，如本题【典例3】给定两个命题，若是的必要而不充分条件，则是的 ( )pqpqpqA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】等价法：因为是的必要不充分条件，则，但，其逆否命pqqp pq题为，但， ，所以是的充分而不必要条件选Apq qppq【方法探究】利用与，与的等价关系，此法适ABBA ABBA 用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断，如本题【典例4】 “”是“”的0x ln(

15、1)0xA充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】集合法：，而是的真ln(1)0x01 1x 10x ( 1,0)(,0)子集，所以“”是“”的的必要不充分条件，选B0x ln(1)0x【方法探究】利用集合间的包含关系，若，则是的充分条件或是的ABABBA必要条件；若=，则是的充要条件此法多适用于命题中涉及字母的范围的推断ABAB问题如本题【方法总结】判断充分条件与必要条件时应关注三点(1)要弄清先后顺序：“的充分不必要条是”是指且；而“是ABBAABA的充分不必要条件”则是指且BABBA(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行

16、时，可以通过本出恰当的反例来说明(3)要注意转化：是的必要不充分条件是的充分不必要条件；是pqpqp的充要条件是的充要条件qpq必考点必考点5 含有逻辑联结词命题的真假判断含有逻辑联结词命题的真假判断【典例 1】(2017 山东)已知命题：，；命题：若，则p0x ln(1)0xqab，下列命题为真命题的是22abA B C Dpqpqpqpq【解析】，所以，所以为真命题；若，则0x 10x ln(1)0xp0ab，若，则，所以，所以为假命题所以22ab0ba0ab 22abq为真命题选Bpq【典例2】已知命题：若，则；命题：若，则在命题pxyxy qxy22xy；中，真命题是 ( )pqpq(

17、)pq ()pqA B C D【解析】由不等式的性质可知，命题是真命题，命题为假命题，故为假命题；pqpq为真命题；为真命题，则为真命题；为假命题，则pqq()pq p为假命题所以选C()pq【方法探究】判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是既要弄清构成它的命题，p的真假，又要弄清其结构形式，如本题中要先判断命题，的真假，再看新命题的结qpq构形式，最后根据真值表判断构成的新命题的真假必考点必考点6 全称命题、特称命题的真假判断全称命题、特称命题的真假判断【典例 1】(2016 浙江)命题“，使得”的否定形式是*xn RN，2nxA，使得 B，使得 *xn RN，2nx*xn RN，2nxC，使

18、得 D，使得*xn RN，2nx*xn RN，2nx【解析】的否定是，的否定是，的否定是故选 D2nx2nx【典例2】已知命题：；命题：，则下列命题中为p,23xxx Rq32,1xxx R真命题的是 A B C Dpq()pq()pq ()()pq 【解析】先判断命题，的真假，再根据真值表求解，当时，有，不满足pq0x 23xx，所以是假命题如图，函数与的图象有交点，即方程23xxp3yx21yx 有解，所以是真命题所以为假命题，排除A因为p为真命题，321xx qpq所以是真命题.C、D明显均为假命题，故选B()pq【方法探究】1全称命题的真假判断方法：(1)要判断一个全称命题是真命题，必

19、须对限定的集合中的每一个元素，证明Mx成立(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合中的一个特殊值，( )p xM0xx使不成立即可，本题中的命题就是全称命题0()p xp2特称命题的真假判断方法：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合中，找到一个，使成立即可，否则这一特称命题就是假命题，本题中的命M0xx0()p x题就是特称命题q必考点必考点7 有关参数取值范围问题的求解有关参数取值范围问题的求解【典例1】给定两个命题，命题：对任意实数都有都有恒成立，命题：p21axax q关于的方程有实数根，若“”为真命题， “”为假命题，x20xxapqpq则实数的取值范围为 a【思路点拨

20、】若为真命题，求出参数的取值范围；若为真命题，求出参数的paqa取值范围由“”为真命题， “”为假命题，得，中有且仅有一个为真命pqpqpq题，从而可列出关于的不等式组，即可得结论a【解析】若为真命题，则或即；若为真命题，则p0a 20 40a aa 04a q，即因为“”为真命题， “”为假命题，所以2( 1)40a1 4apqpq，中有且仅有一个为真命题若真假，则；若假真，则pqpq144apq综上，实数的取值范围为0a a1(,0)(,4)4【方法探究】根据命题的真假求解参数的取值范围的关键是先求出相关命题为真时所对应的参数的取值范围，如本题中，先分别求出命题，均为真命题时参数a的取值范

21、围；pq再根据真值表判断两个命题的真假；最后根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围，如本题中，列出关于的不等式组a【误区警示】此类题目的易错点是：由若“”为真， “”为假，常误得出pqpq“真假”这个结论，如本题中，当“”为真， “”为假，得到的结论是“pqpqpq，中有且仅有一个为真” ，此时应分类讨论：第一种情形，真假；第二种情形，pqpq假真，破解的关键是正确运用真值表pq【典例2】函数，有且只有一个零点的充分不必要条件是 ( )2log,0( )2,0xx xf xa xA B C D或0a 102a112a0a1a 【思路点拨】把函数的零点问题转化为两个函

22、数的图象的交点问题，从而求出( )f x有一个零点的充分必要条件，再利用“以小推大”的技巧，即可得正确选项( )f x【解析】因为函数的图象过点，所以函数有且只有一个零点函数( )f x(1,0)( )f x没有零点函数的图象与直线无公共2(0)xya x 2 ()xyx0ya点由数形结合，可得或，所以函数有且只有一个零点的充分必要0a1a ( )f x条件是或，应排除D；当时，函数有一个零0a1a 102a2(0)xya x 点，即函数有两个零点，此时是函数有且只有一个零点的既不( )f x102a( )f x充分也不必要条件，应排除B；同理，可排除C应选A【方法探究】根据充分、必要条件求参

23、数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象等将原问题转化为最值问题、有解问题等，得到关于参数的方程或不等式（组） ，然后通过解方程或不等式（组）求出参数的值或取值范围如本题就是通过图象先求出函数有一个零点的充分必要条件，然后求出此时参数的取值范围，再利用“以小推大”的技巧，即可判断出正确选项，【误区警示】求解此类问题应注意两点：(1)在判断充分、必要条件时， “是的充pq分不必要条件”与“的充分不必要条件是”这两种叙述的含义是不同的， “的充分pqp不必要条件是”等价于“是的充分不必要条件” ，等价于“是的必要不充分条qqppq件” 解决此类问题的关键是先将问题转化为第一

24、种基本的叙述方式，然后进行判断，如本题应注意识别(2)注意区间端点值的检验，不等式是否能取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象【易错点总结易错点总结】1注意和的区别，虽然两者均表示集合间的包含关系，但后者是前者“”情形时的包含关系20与的区别：0是含有一个元素的集合，是不含任何元素的集合，因此，0，而不能写成=0或03用描述法表示集合时，当条件为不等式形式时，常将集合表示在数轴上，注意包括端点的用实心小圆圈表示，不包括端点的用空心小圆圈表示，在分类讨论时要注意对端点情况的讨论4求解集合的补集时，要先求出集合，然后写其补集，如果直接转化条件则容易导致出错，如集合的补集是，而不是1 |0Axx |0x x1 |0xx5在应用条件；时，勿忽略为空集的ABBABABAABA情况，不要忘了借助数轴和Venn图进行求解6命题的否定与否命题搞清楚，否定含有一个量词的命题时注意量词的改变7 “甲是乙的什么条件”与“甲的一个什么条件是乙”弄清楚了吗？