BH第三十二讲 圆的方程.doc

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1、 高考数学一轮第三十二讲 第 1 页共 11 页 第三十二讲 圆的方程考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程222()()xaybr(0)r 圆心，半径( , )a br一般方程，(220xyDxEyF)2240DEF圆心，(,)22DE半径22142DEF2点与圆的位置关系点与圆的位置关系：00(,)M xy222()()xaybr(1)若在圆外，则00(,)M xy222 00()()xaybr(2)若在圆上，则00(,)M xy222 00()()xaybr(3)若在圆内，则00(,)M xy222 00(

2、)()xaybr3判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离和圆半径的大小关系：相交；drdrdr相切；相离dr(2)代数法：联立直线 与圆的方程，消去(或)，得一元二次方程，计算判别式lCyx，相交，相切，相离24bac 0 0 0 4圆与圆的位置关系位置关系外离外切相交内切内含几何特征dRrdRrdRrdRrdRr代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、圆的标准方程1圆的标准方程显现了圆的几何性质：高考数学一轮第三十二讲 第 2 页共 11 页 圆心为，半径为222()()xaybr( , )A a br

3、2根据圆的标准方程的特点，确定方程的重点是求圆心坐标和半径【提示】求圆的方程必须具备三个独立的条件因此能否求出圆的方程，关键在于找到这三个条件二、圆的一般方程方程，在时，表示以为圆心，220xyDxEyF2240DEF(,)22DE为半径的圆22142DEF【提示】(1)圆的标准方程与一般方程的比较：圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：和的系数相同且不等于 02x2y没有这样的二次项xy以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但220AxBxyCyDxEyF不是充分条件(2)求圆的一般方程需三个条件，以便确定、三个变量DEF(3)在中，若，则它表示

4、一个点220xyDxEyF2240DEF；若，则它不表示任何图形(,)22DE2240DEF三、直线与圆的位置关系1在直线与圆的位置关系中，切线问题和弦长问题是两个重点内容2求切线时，若知道切点，则可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线之间的距离等于半径来求，但注意应有两条切线3解决与弦长有关的问题时，注意运用半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式，这就是通常所说的“几何法”和“代数法” 四、圆与圆的位置关系判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手若圆心距大于半径之和，则高考数学一轮第三十二讲 第 3 页共 11 页 两圆外离；若圆心距等于两圆半径

5、之和，则两圆外切；若圆心距等于大圆半径与小圆半径之差，则两圆内切；若圆心距小于大圆半径与小国半径之差，则两圆内含；若圆心距大于大圆半径与小圆半径之差而小于两圆半径之和，则两圆相交考点分类精讲考点考点 1 圆的方程圆的方程1求圆的方程2从圆的标准方程、一般方程中读出有关信息【例 1】求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为x30xy0xy的圆的方程，2 7【解析】设所求的圆的方程是：，222()()xaybr则圆心到直线的距离为，( , )a b0yx| 2ab，即 222|()( 7)2abr222()14rab由于所求的圆与轴相切， x22rb又因为所求圆心在直线上， 30xy30ab

6、联立，解得：,或,.1a 3b 29r 1a 3b 29r 故所求的圆的方程为：或.22(1)(3)9xy22(1)(3)9xy【例 2】过三点，的圆交于轴于、两点，则=(1,3)A(4,2)B(1, 7)CyMNMNA2 B8 C4 D1066【解析】设过三点的圆的方程为，, ,A B C220xyDxEyF+=则，解得，3100422007500DEFDEFDEF+=+=-+=2,4,20DEF=-=-高考数学一轮第三十二讲 第 4 页共 11 页 所求圆的方程为，令，得，2224200xyxy+-+-=0x =24200yy+-=设，则，1(0,)My2(0,)Ny124yy+=-122

7、0yy=-所以2 121212| |()44 6MNyyyyy y=-=+-=点拨：求圆的方程时，根据条件选择合适的方程形式是关键(1)当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般式，通过解三元一次方程组来得相应系数(2)当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式考点考点 2 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系1判定直线与圆的位置关系2求圆的弦长3与圆的切线有关的问题【例 3】在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点xOy2212320xyxQ且斜率为的直线与圆相交于不同的两点、(0 2)P ，kQAB(1)求的取值范围；k(2)是否存在常数，使得向量

8、与共线？如果存在，求值；如果不存在，kOAOB PQ k请说明理由【解析】(1)圆的方程可写成，所以圆心为，过且斜率为22(6)4xy(6 0)Q ，(0 2)P ，的直线方程为k2ykx代入圆方程得，22(2)12320xkxx整理得 22(1)4(3)360kxkx直线与圆交于两个不同的点、等价于AB，22224(3) 4 36(1)4 ( 86 )0kkkk 解得，即的取值范围为304kk3(0)4，(2)设，则，1122()()A x yB xy,1212()OAOBxxyy ,高考数学一轮第三十二讲 第 5 页共 11 页 由方程知 1224(3) 1kxxk 又 1212()4yy

9、k xx而(0 2)(6 0)(62)PQPQ , ,所以与共线等价于，OAOB PQ 12122()6()xxyy将代入式，解得3 4k 由(1)知，故没有符合题意的常数3(0)4k ，k【例 4】(1)过点的直线 与圆有公共点，则直线 的倾斜角的取值(3, 1)P l122 yxl范围是（ ）A B C D60，（30，（60，30，(2)若直线与圆相交于两点，且3450xy2220xyrr,A B（为坐标原点） ，则=_120AOBOr【解析】(1)设当直线的斜率为时，直线与圆相切，此时，直线方程为k，圆心到直线的距离为 1，所以，解得或310kxyk 2|31|1 1kk 0k ，所以

10、倾斜角的范围是3k 0,3(2)如图直线与圆2220xyrr （） 交于两点，O 为坐标原点，3450xy,A B且，则圆心到直线的距离为，120oAOB(0,0)3450xy2r，解得 225 234r= +2r =点拨：解决直线与圆的位置关系的问题，要熟练运用数形结合思想，既要充分运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本度量关系，养成勤画图的良好习惯【例 5】(1) 过点( 2,0)引直线l与曲线相交于，两点，为坐标原点，21yxABO当的面积取最大值时，直线l的斜率等于AOB高考数学一轮第三十二讲 第 6 页共 11 页 A3 3B3 3 C3 3 D3(2)在

11、平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与,A BxyABC直线相切，则圆面积的最小值为（ ）240xyCA B C D4 53 4(62 5)5 4【解析】(1)法一 由于，即，直线 与曲线交21yx221(0)xyyl21yx于， 两点，如图ABxy lC( 2,0)BA-1O，且当时，取得最大值，此时11sin22AOBSAOB90AOB AOBS，点到直线 的距离为，则，所以直线 的倾斜角为2AB Ol2 230OCBl，则斜率为故选 B1503 3法二 曲线的图象如图所示：21yx若直线 与曲线相交于，两点，则直线 的斜率，设，lABl0k l(2)yk x则点到 的距

12、离.Ol 221kd k 高考数学一轮第三十二讲 第 7 页共 11 页 又22 2221111|2 1(1)2222AOBddSAB ddddd当且仅当，221 dd即时，取得最大值所以，.故选 B.21 2d AOBS2221 12k k21 3k 3 3k (2)由题意可知以线段为直径的圆过原点，要使圆的面积最小，只需圆ABCOC的半径或直径最小又圆与直线相切，所以由平面几何知识，知CC240xy圆的直径的最小值为点到直线的距离(为圆的半径)，此O240xy2drrC时，则，圆的面积的最小值为4 5d 2 5rC24 5Sr点拨：充分利用圆的切线的几何特征（圆心到切线的距离等于圆的半径）

13、 ，可使与圆的切线有关的问题得到快速解决考点考点 3 圆与圆的位置关系的应用圆与圆的位置关系的应用1判定圆与圆的位置关系2与两圆位置关系有关的综合问题【例 6】(1)已知圆和两点，若圆22:341Cxy,0Am,00B mm 上存在点，使得，则的最大值为（ ）CP90APBmA B C D7654(2)已知圆22 1:231Cxy，圆22 2:349Cxy，,M N分别是圆12,C C上的动点，P为x轴上的动点，则PMPN的最小值为（ ）A5 24 B171 C62 2 D17【解析】(1)因为圆的圆心为，半径为 1，所以以原点为圆心、以为C(3,4)| 5OC m半径与圆有公共点的最大圆的半

14、径为 6，所以的最大值为 6，故选 BCm(2)圆，的圆心分别为，由题意知，1C2C1C2C1| | 1PMPC，2| | 3PNPC，故所求值为的最小值12| | 4PMPNPCPC12| 4PCPC高考数学一轮第三十二讲 第 8 页共 11 页 又关于轴对称的点为，1Cx3(2, 3)C所以的最小值为12| 4PCPC故选 A32|4C C 22233445 24 考点考点 4 圆的综合问题圆的综合问题1与圆有关的轨迹问题2与圆有关的最值问题3利用圆系方程解决有关问题4圆与其他知识的综合问题【例 7】在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 2，在y轴上截得线段长为2 3(

15、1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为2 2，求圆P的方程【解析】(1)设，圆的半径为,P x yPr由题设，从而，22232,3yrxr2223yx故P点的轨迹方程为221yx(2)设，由已知得00,P xy002 22xy又点在双曲线上，从而得，P221yx00 22 001 1xy yx由得此时，圆的半径00 22 001 1xy yx 000 1x y P3r 由得此时，圆的半径，00 22 001 1xy yx 0001xy P3r 故圆的方程为或P2213xy2213xy【例 8】如图矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为ABCD(2 0)M,AB高考数学一轮

16、第三十二讲 第 9 页共 11 页 ，点在边所在直线上360xy( 11)T ,ADxyNMT DCBAO(1)求边所在直线的方程；AD(2)求矩形外接圆的方程；ABCD(3)若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹P( 2 0)N ，ABCDP方程【解析】(1)因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线AB360xyADAB的斜率为又因为点在直线上，AD3( 11)T ，AD所以边所在直线的方程为即AD13(1)yx 320xy(2)由解得点的坐标为，360 32 = 0xy xy ，A(02)，因为矩形两条对角线的交点为ABCD(2 0)M，所以为矩形外接圆的圆心MABCD又2

17、2(20)(02)2 2AM 从而矩形外接圆的方程为ABCD22(2)8xy(3)因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，PNPNPM所以，即2 2PMPN2 2PMPN故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支PMN，2 2因为实半轴长，半焦距2a 2c 所以虚半轴长222bca高考数学一轮第三十二讲 第 10 页共 11 页 从而动圆的圆心的轨迹方程为P22 1(2)22xyx【例 9】如图，为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护BC区规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段OA上并与BCABM相切的圆且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于

18、80m经测量，BCOA点位于点正北方向 60m 处， 点位于点正东方向 170m 处(为河岸)，AOCOOC34tanBCO(1)求新桥的长；BC(2)当多长时，圆形保护区的面积最大？OM【解析】 （1）如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系OOCxxOy由条件知，直线的斜率(0,60)A(170,0)CBC4tan3BCkBCO 直线的方程为BC4(170)3yx 又因为，所以直线的斜率ABBCAB3 4ABk的方程为AB3604yx高考数学一轮第三十二讲 第 11 页共 11 页 由，解得，点的坐标为4(170)3 3604yxyx 80 120x y B(80,120)所以

19、=.BC22(17080)(0 120)150因此新桥的长是 150 m.BC(2)设保护区的边界圆的半径为m，m，(060).MrOMdd由条件知，直线的方程为，即BC4(170)3yx 436800xy由于圆与直线相切，故点到直线的距离是，MBC(0, )MdBCr即.|3680|6803 55ddr因为和到圆上任意一点的距离均不少于 80 m,OAM所以即解得80 (60)80rd rd 6803805 6803(60)805dddd1035d故当时,最大，即圆面积最大10d 6803 5dr所以当= 10 m 时，圆形保护区的面积最大OM点拨：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法：直接法：直接根据题目提供的条件列出方程：定义法：根据圆、直线等定义列方程；几何法：利用圆与圆的几何性质列方程；代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等，此外还有交轨法、参数法等，不论哪种方法，充分利用圆与圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题的关键本专题试题训练详见试题精练