AG第七讲 函数的图象及其应用.doc

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1、 高考数学一轮第七讲 第 1 页共 8 页 第七讲 函数的图象及其应用考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、函数图象及作法1函数图象函数图象是函数的一种表达形式，它形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，是探求解题途径、获得问题结果的重要工具2作函数图象的基本方法：(1)描点法：其步骤是：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值与最小值、与坐标轴的交点） 、描点、连线；(2)图象变换法3作函数图象的一般步骤：求出函数的定义域；化简函数式；讨论函数的性质（如奇偶性、周期性）以及图象上的特殊点、线（如渐进性、对称轴等） ；利用基本函数的图象画出所给函数的图象二、图象变换

2、1平移变换(1)水平平移：的图象，可由的图象向左或向右平移()yf xa(0)a( )yf x个单位；a(2)竖直平移：的图象，可由的图象向上或向下平移( )yf xb(0)b( )yf x个单位得到b2对称变换(l)与，与，与每组()yfx( )yf x( ) yf x( )yf x() yfx( )yf x中两个函数的图象分别关于轴、轴、原点对称；yx(2)若对定义域内的一切均有，则的图象关于直线x()()f xmf mx( )yf x对称；xm(3) 与关于点成中心对称( )yf x2(2)ybfax( , )a b高考数学一轮第七讲 第 2 页共 8 页 3伸缩变换(l) 的图象，可将

3、图象上每点的纵坐标伸（时）缩（( )yaf x(0)a( )yf x1a时）到原来的倍；1aa(2)的图象，可将的图象上每点的横坐标伸（时）缩()yf ax(0)a( )yf x1a（时）到原来的1a1 a4翻折变换(1) ，作出的图象，将图象位于轴下方的部分以轴为对称轴|( )|yf x( )yf xxx翻折到上方；(2)，作出在轴右边部分的图象，以轴为对称轴将右边部分(|)yfx( )yf xyy的图象翻折到左边得到在轴的左边部分的图象(|)yfxy三、分段图象对于分段函数应当注意的是分段函数是一个函数，而不是几个函数，其特征在于“分段” ，即对应关系在不同的定义区间内各不相同，在解决有关

4、分段函数问题时既要紧扣“分段”这个特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数的几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、识图与辩图问题1识别函数的图象，实质就是分析函数的性质，主要观察以下几点：函数的定义域；函数图象的最高点（最大值）和最低点（最小值） ；与坐标轴的交点即或的点；( )0f x 0x 图象的对称性（函数的奇偶性） ；函数图象在某段上的变化趋势（即函数的单调性） ；图象的变化规律（即函数的周期性） ；函数图象的凸凹性2解决这类需要我们利用图象所提供的信息

5、来分析解决问题的题目的常用方法有：高考数学一轮第七讲 第 3 页共 8 页 定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题二、用图1因为函数的图象从图形上很好地反映出了函数的性质，所以在研究函数的性质时要注意结合图象，在解方程和不等式时有时需画出图象，利用数形结合能起到十分快捷的效果2一般情况下，对于解不等式的问题可以转化为两函数图象上的上、下关系，解方程的问题可以转化为函数图象的交点，从而关于方程解

6、的个数问题都能用图象来求解，而不等式、其实质是考查函数的凹凸12 12()()()2xxff xf x12 12()()()2xxff xf x性等3对基本初等函数或由它们通过简单变换所得到的函数，可画草图研究其性质4构造函数，数形结合研究方程根的分布或根的个数等问题的根是与图象交点的横坐标；( )( )f xg x( )yf x( )yg x的解集从两函数图象上也能直观反映出来：是在图( )( )f xg x( )yf x( )yg x象上方的的集合（交点坐标要通过解方程来求得） x考点分类精讲考点考点 1 作图作图1熟练掌握作函数图象基本方法2利用变换作图作函数的图象【例 1】作出下列函数

7、的图象（1）；（2）；（3）| |1( )2xy 2|log (1)|yx21 1xyx【解析】 （1）作出的图象，保留图象中的部分，加上的1( )2xy 1( )2xy 0x1( )2xy 图象中部分关于轴的对称部分，即得的图象0x y1( )2xy （2）作出的图象，将此图象向左平移 1 个单位，得到的图2logyx2log (1)yx高考数学一轮第七讲 第 4 页共 8 页 象，再保留其的部分，加上其的部分关于轴的对称部分，即得0y0y x的图象2|log (1)|yx（3）由得作出的图象，将的图象向右平移 121 1xyx121yx1yx1yx个单位，再向上平移 2 个单位，即得的图象

8、121yxxy12121Oxy112312Oxy1234123412341234O图 1-1 图 1-2 图 1-3点拨：利用图象变换的问题（尤其是对称变换） ，大多可以分类讨论解决，但相比较而言，利用变换法相对好一些，需注意，用哪些基本函数作为初始函数考点考点 2 识图识图【例 2】(1)在同一直角坐标系中，函数与2 2ayaxx的图像不可能的是（ ）2322()ya xaxxa aRxyAOxyBOxyCOxyDO(2)某地一年内的气温( )Q t（单位：）与时刻t（月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为 10令表示的时间段0，t的平均气温，与t之间的函数关系用( )C t( )C

9、 t下列图象表示，则正确的应该是（ ）高考数学一轮第七讲 第 5 页共 8 页 【解析】(1) 显然当时，D 中图象是可能的，当时，记，0a 0a 2( )2af xaxx，则，令，得232( )2()g xa xaxxa aR22( )341g xa xax( )0g x或函数的图象的对称轴为，不管还1xa1 3xa2( )2af xaxx1 2xa0a 是，都有在与之间，而由 B 中图象可知因此 B 中图0a 1 2a1 a1 3a111 23aaa象不可能当时，可判断得 A、C 两项中图象都有可能0a (2)由图可以发现当t=6 时，=0，排除 C；t=12 时，=10，排除 D；t在大

10、于( )C t( )C t6 的某一段气温超于 10，所以排除 B，故选 A【例 3】如图所示，一质点( , )P x y在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x轴上的投影点( ,0)Q x的运动速度关于 的函数图象大致为( )Vt（A） （B）（C） （D） 【解析】由图可知，当质点( , )P x y在两个封闭曲线上运动时，投影点( ,0)Q x的速度先由正到 0、到负数，再到 0，到正，故A错误；质点( , )P x y在终点的速度是由大到小接高考数学一轮第七讲 第 6 页共 8 页 近 0，故D错误；质点( , )P x y在开始时沿直线运动，故投影点( ,0)Q x的速度为常数

11、，因此C是错误的，故选B.【例 4】函数（且）的图象可能为 1()cosf xxxxx 0x A B C D【解析】因为11()()cos()cos( )fxxxxxf xxx ，故函数是奇函数，所以排除 A, B；取x，则11( )()cos()0f ，故选 D考点考点 3 函数图象的综合应用函数图象的综合应用1利用函数的图象解题2利用函数的图象解决含参数问题【例 5】(1)已知函数(xR)满足，若函数与( )f x( )(2)f xfx2|23|yxx图象的交点为，则( )( )yf x11( ,)x y22(,)xy(,)mmxy1mi ixA0 Bm C2m D4m(2)已知函数，若对

12、任意的R，都有成立，21 3,1 ( )log,1xx x f xx x x( )|1|f xk 则实数的取值范围为_k【解析】(1)，函数的图象关于直线对称( )(2)f xfx( )f x1x 又的图象关于直线对称，两函数图象的交点2|23|yxx2|(1)4|x1x 关于直线对称1x 当为偶数时，2；m1mi ix2mm当为奇数时，21故选 Bm1mi ix1 2mm(2)对任意的R，都有成立，即x( )|1|f xk max( )|1|f xk 因为的草图如图所示，( )f x高考数学一轮第七讲 第 7 页共 8 页 观察的图象可知，当 时，函数，21 3,1 ( )log,1xx x

13、 f xx x x12max1( )4f x所以，解得或1|1|4k 3 4k 5 4k【例 6】函数与（）在同一直角坐标系中的图象2yaxbx | |logb ayx0,| |abab可能是 A B C D【解析】观察图象 A、B、D 可知二次函数过原点，即方程的一个根20axbx为 0，而另一个根都小于 1，所以由韦达定理可知两根之和，即01b a 所以 C、D 符合题意，而选项 C 的两根之和，即，0 | 1b a1b a | 1b a排除 C故选 D【例 7】函数的图象和函数的图象的交点个数是244,1( )43,1xxf xxxx2( )logg xxA4 B3 C2 D1【解析】如图所示，在同一坐标系中画出函数和244,1( )43,1xxf xxxx的图象2( )logg xx高考数学一轮第七讲 第 8 页共 8 页 xyy = g(x)f(x)1231234123O本专题试题训练详见试题精练