专题16 数列求和的方法规律-决胜2018年高考数学之破解高考命题陷阱（解析版）.doc

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1、一高考命题类型一高考命题类型1.倒序求合法2.裂项求和法3.错位相减求和4.分组求和5.分奇偶数讨论求和6.利用数列周期性求和7.含有绝对值的数列求和二命题陷阱及命题陷阱破解措施二命题陷阱及命题陷阱破解措施1.1.倒序求和倒序求和例 1. 设 1 22xf x ，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得 f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值是_【答案】3 2【方法规律总结】：倒序相加法求和，不仅应用在等差数列中，而且在函数以及组合中也有应用。等差数列中主要利用等差数列性质：若*, , ,mnpq m n p qN，则mnpqaaaa；函数中主要利用对称中心性质：若 f x关

2、于,m n对称，则 22f xfmxn；组合中中主要利用组合数性质： nm n mmCC练习 1.已知 11sin22f xx，数列 na满足 12101nnafffffnnn，则2017a_【答案】1009【解析】因为sinyx的图象关于原点对称， 11 22f xsin x的图象由sinyx向上平移1 2个单位，向右平移1 2个单位， 故答案为1009.练习 2.已知函数1 2fx为奇函数， 1g xf x，若2017nnag，则数列 na的前2016项和为( )【答案】【解析】函数1 2fx为奇函数图象关于原点对称，函数 f x的图象关于点(1 2,0)对称，函数 1g xf x的图象关

3、于点(1 2,1)对称， 12g xgx，2017nnag，数列的前项之和为12320152016201620172017201720172017ggggg，故选： 。学科网练习 3. 已知函数 32331 248f xxxx，则201612017kkf的值为 _【答案】2.2.裂项求和裂项求和例 2. 数列 na的前n项和为nS，若1 1nan n，则5S等于（ ）1 65 61 30【答案】【解析】111 11nan nnn 5111111111512233445566S 选练习 1.数列1 1nn的前项的和为（ ）111 11 1 11 【答案】【解析】111111nnnnnnnnnn

4、故数列1 1nn的前 10 项的和为102132.111011 1S 选 。学科网练习 2.在等差数列 na中， 357116,8aaaa，则数列341 nnaa的前n项和为（ ）1 2n n 2n n1n n2 1n n【答案】练习 3. 已知数列 na与 nb的前n项和分别为nS， nT，且0na ， 2*63,nnnSaa nN， 12 2121nnnanaab ，若*, nnNkT 恒成立，则k的最小值是( )1 71 4949 8 441【答案】B【解析】当1n 时， 2 11163aaa，解得13a 或10a .由0na 得13a .由263nnnSaa，得2 11163nnnSa

5、a.两式相减得22 111633nnnnnaaaaa.所以11()(3)0nnnnaaaa.因为0na ，所以110,3nnnnaaaa.即数列 na是以 3 为首项，3 为公差的等差数列，所以3313nann.所以11128111 7 818181 812121nnnannnnnnaab .所以2231111111111 111 7 8 181818181817 78149nnnnT.要使*, nnNkT 恒成立，只需1 49k .故选 .学科网练习 4.已知nS为数列 na的前n项和，若12a 且12nnSS，设2lognnba，则1 22 320172018111 bbb bbb的值是（

6、 ）4035 20184033 20172017 20182016 2017【答案】1 22 32017201811111111140331 122232016201720172017bbb bbb .故选 B.练习 5.定义12nn ppp为n个正数12,np pp的“均倒数” ，若已知数列 na的前n项的“均倒数”为1 21n，又1 4n nab，则1 22 32015 2016111 bbb bbb（ ）2013 20142014 20152015 20161 2015【答案】练习 6.数列 na满足11a ，且对于任意的*nN都有11nnaaan，则122017111aaa等于（ ）2

7、016 20174032 20172017 20184034 2018【答案】D【解析】由题意可得： 11nnaan，则：1213211,2,23,nnaaaaaan，以上各式相加可得： 1 2nn na，则： 11121nann，12201711111111403421223201720182018aaa练习 7.设数列 na满足122,6aa，且2122nnnaaa，若 x表示不超过x的最大整数，则122017201720172017 aaa ( )【答案】解得(1)nan n，111 1nann，121111111111122311naaannn ，122017201720172017

8、aaa2017 2018则122017201720172017 aaa120162018故答案为： 练习 8. 已知幂函数 af xx的图象过点4,2，令 1 1naf nf n（*nN） ，记数列 na的前n项和为nS，则2018S（ ）20181 20181 20191 20191【答案】【解析】函数 af xx的图象过点4,2，可得42a,解得1 2a ， 1 2f xx，则 11111nannf nf nnn ，则201821322019201820191S .故选： .学科网练习 9. 已知数列 na的首项为9，且2 1122nnaaan，若111 2n nnbaa，则数列 nb的前

9、n项和nS _【答案】211 9101n 练习 10.设数列 na的前 项为nS，点,nSnn， *nN均在函数32yx的图象上.（1）求数列 na的通项公式。（2）设13n nnbaa， nT为数列 nb的前 项和.【答案】 （1）*65nannN（2）n3T61n n【解析】 （1）点,nSnn在函数的图象上，232,32n nSnSnnn即 111aS当22 12,32312165nnnnaSSnnnnn时*65nannN （2）133111 65612 6561n nnbaannnn123nnTbbbb111111111 21771313196561nn111261n3 61n n练习

10、 11.已知等差数列 na的前n项和为nS，且5645,60SS.（）求数列 na的通项公式na；（）若数列 nb满足1*nnnbbanN，且13b ，求1nb的前n项和nT.【答案】(1) 23nan (2) 2 2 2352 ,4128nnnnbnn Tnn【解析】 （1）设等差数列 na的首项为1a,公差为d， 66515ass，所以6151515 51045aadSad，解得15,2,23nadan。练习 12.已知等差数列 na的前n项和为nS，且5645,60SS.（）求数列 na的通项公式na；（）若数列 nb满足1*nnnbbanN，且13b ，求1nb的前n项和nT.【答案】

11、(1) 23nan (2) 2 2 2352 ,4128nnnnbnn Tnn3.3.错位相减求和错位相减求和例 3.已知数列 na的首项12 3a ， 12 1n n naaa， 1,2,3,n （1）证明：数列11na是等比数列；（2）数列nn a的前n项和nS【答案】 （1）证明见解析；（2）2 2nn.【解析】 （1） 12 1n n naaa， 111111 222nnnna aaa， 1111112nnaa ，又12 3a ， 11112a ，数列11na是以为1 2首项，1 2为公比的等比数列学￥科网（2）由（1）知1 1111112 22nn na ，即1112nna， 2nn

12、nnna设23123 222nT 2nn， 则23112 222nT 11 22nnnn， 由得21111111111122112222222212nnnnnnnnnnT ， 11222nnnnT又123 1 2n nn 数列nn a的前n项和 2124222222nnnn nnnnnS练习 1.已知数列 na， nb， nS为数列 na的前n项和， 214ab， 22nnSa， 2 11nnnbnbnn（*nN）（1）求数列 na的通项公式；（2）证明nb n为等差数列；来源:学科网（3）若数列 nc的通项公式为,2 4nnn nna bn ca bn 为奇数，为偶数，令nT为 nc的前n项

13、的和，求2nT.【答案】 （1）2nna （2）见解析（3）27127499n nnT（3）令212nnnpcc 22212 2212122241 241 424nn nnnnnn 012 2 1231 23 47 411 4414 43 47 411 4454414n n nn nTnTnn ，得0121 233444444441 4nn nTn216443341 41 4n n nTn27127499n nnT练习 2.已知数列 na是首项为正数的等差数列，数列11 nnaa的前n项和为21n n.（1）求数列 na的通项公式；（2）设1 2na nnba，求数列 nb的前n项和nT.【答

14、案】 （1）21n；（2）1431 49nn.来源:Z+xx+k.Com（2）由（1）知24224 ,nn nbnn所以121 42 4.4 ,n nTn 所以23141 42 4.1 44,nn nTnn 两式相减，得121344.44nn nTn114 141 3444,1433n nnnn 所以1 1431 43144.999n n nnnT 练习练习 3.3. 已知等差数列 na中， 2465,22aaa，数列 nb中， 113,212nnbbbn.（1）分别求数列 ,nnab的通项公式；（2）定义 xxx， x是x的整数部分， x是x的小数部分，且 01x.记数列 nc满足1n n

15、nacb，求数列 nc的前n项和.【答案】(1) 21,nan 121n nb;(2) 1525 22nnnS.解析：（1）121,21nnnanbb， 1121nnbb ，1nb是首项为4 ，公比为2的等比数列，112nnb ，121n nb.（2）依题意，当1n 时， 10122 1 122121nn nnCCnn，121 2nnnc，所以234135721 2222nnnS ，令3452135721 22222nnnS，两式相减，得34512211335722132121525 2422222442222nnnnnnnnnS故1525 22nnnS. 来源来源: :学。科。网学。科。网

16、Z Z。X X。X X。KK4.4.分组求和分组求和例 4. 已知数列 na满足0na ， 11a ， 122nnnn aaa.（）求数列 na的通项公式；（）求数列35nann的前n项和nS.【答案】() 12nnan；() 237212n nnnS.【解析】试题分析：()结合递推关系可得n nabn是以1为首项，公比为2的等比数列，据此可得通项公式为12nnan.()结合()的结论有135235nnannn，分钟求和可得237212n nnnS.试题解析：（）由（）可知135235nnannn，故 1123 1 523 25235nn nSn 0112223 125nnn237212nnn

17、.练习 1.数列11114,8,16,3224816，的前n项和为（ ）1221nn 2223nn1221nn 11221nn 【答案】【解析】分组求和：121114 1 21222,223121 212nn nnn nnnaS。本题选择 选项.练习 2.数列111123248，的前n项和为nS=（ ）21n n11122nn n 12nn【答案】故选 练习 3. 已知数列an的通项公式是221sin2nnan，则1232018aaaa( )A. 20172018 2B. 2019 2018 2C. 20172017 2D. 2018 2018 2【答案】B【解析】1232018aaaa=22

18、3222123420172018123420172018 2018 120182018 2019 22,选 B.来源:学#科#网 Z#X#X#K5.5.分奇偶数讨论求和分奇偶数讨论求和【中】6.已知函数 22, ,nnf nnn为奇数 为偶数，且 1naf nf n，则1238aaaa ( )2017 2018 2017 【答案】【解析】当 为奇数时，为偶数，则22121nannn ，所以135737 11 1536aaaa ，当 为偶数时，为奇数，则22121nannn 246859 13 1744aaaa，所以1288aaa.来源:学+科+网 Z+X+X+K练习 1. 已知在各项为正的数列

19、 na中， 11a ， 22a ， * 212loglognnaan nN，则1010 1220172aaa_【答案】【解析】因为212loglognnaan,所以1 1122222nn nnnnnnaaaaaa ,即数列 na隔项成等比,所以10081009 10101010 1220172 1 21 22231 21 2aaa 练习 2. 已知函数 22, ,nnf nnn为奇数 为偶数，且 1naf nf n，则1232017aaaa等于（ ）A. -2014 B. 2014 C. 2019 D. -2019 【答案】D【解析】若n 是奇数，则221121naf nf nnnn （）（）

20、（），构成等差数列，则1337aa ，公差73734d （）， 则奇数项的和1009 10081009 341009 20192S ， 若n是偶数，则221121naf nf nnnn （）（）（）， 则2459aa，公差954d ， 则前 1008 个偶数项和1008 10071008 541008 20192S ， 则12320171009 2019 1008 20192019aaaa ，故选 D练习 3. 已知数列 na的前n项和为nS，且11a ,12nnnSa a（*nN） ，若 1211n n nnnba a ,则数列 nb的前n项和nT _.【答案】 111nn 或2,1 ,1n

21、nn nnn为奇数，为偶数当 n 为偶数时， 111nTn ，当 n 为奇数时， 111nTn ，综上所述 111nnTn ,故填 111nn 或2,1 ,1nnn nnn为奇数，为偶数.点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误练习 4. 设数列 na满足：11a ；所有项*Nna ； 1211nnaaaa设集合*|,NmnAn am m，将集合mA中的元素的最大值记为mb换句话说， mb是数列 na中满足不等式n

22、am的所有项的项数的最大值我们称数列 nb为数列 na的伴随数列例如，数列 1,3,5 的伴随数列为 1,1,2,2,3（1）若数列 na的伴随数列为 1,1,1,2,2,2,3，请写出数列 na；（2）设13nna，求数列 na的伴随数列 nb的前 100 之和；（3）若数列 na的前n项和231 22nSnnc（其中c常数） ，试求数列 na的伴随数列 nb前m项和mT【答案】 （1）1,4,7（2） 见解析（3）*123231 ,6 33 ,6mmmmtmttN Tm mmt tN 或试题解析：（1）1,4,7 （2）由13nnam，得* 31lognm mN 当*12,mmN时， 12

23、1bb 当*38,mmN时， 3482bbb 当*926,mmN时， 910263bbb 当*2780,mmN时， 2728804bbb 当*81100,mmN时， 81821005bbb 121001 22 63 184 545 20384bbb （3）1111aSc 0c 当2n 时， 132nnnaSSn *32nannN 由32nanm得： *2 3mnmN 使得nam成立的n的最大值为mb，* 123456323131,2,tttbbbbbbbbbttN 当*32mttN时： 211313112226mtttTttmm 当*31mttN时： 2113131212226mtttTttm

24、m 当*3mt tN时： 231133226mtttTtm m *123231 ,6 33 ,6mmmmtmttN Tm mmt tN 或练习 5. 已知数列 na满足： 10a ， 211 11nnaa *nN.（1）求na；（2）若 *2111n n nnbnNan ，记12nnSbbb.求2nS.【答案】 （1）21nan（2）2nS 2 21n n 试题解析：（1）211 11nnaa 11na 21 1na 111 1nnaa 1na 是公差为1的等差数列1na 1111ann 21nan.（2）由（1）知 2111n nnbn n 1111n nn 21111111111 1223

25、3445221nSnn ，112 12121n nn . 6.6.利用数列周期性求和利用数列周期性求和例 1.数列 na的通项22cossin44nnnan，其前n项和为nS，则40S为10 15 20 25【答案】7.7.含有绝对值的数列求和含有绝对值的数列求和例 1.已知数列 na中，148,2aa，且满足2120nnnaaa（1）求 na的通项公式（2）设123nnSaaaa，求nS.【答案】(1) sinsinAC最大为3 4. (2) 229 ,5 940,5nnn nSnnn【解析】 （1）22nnnaaa，数列 na是等差数列 由148,2aa知2d 821210nann （2）

26、由（1）可得数列 na的前n项和为2 n821092nnTnn 。当5n 时， 0na 123nnSaaaa12naaa29nn 。当5n 时， 0na 1212567nnnSaaaaaaaaa 125122naaaaaa5n2TT2940nn。综上229 ,5 940,5nnn nSnnn。学科网三真题演练三真题演练1.【2017 山东，理 19】已知xn是各项均为正数的等比数列，且 x1+x2=3，x3-x2=2（）求数列xn的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1(x1, 1)，P2(x2, 2)Pn+1(xn+1, n+1)得到折线 P1 P2Pn+1，求由

27、该折线与直线 y=0，11nxx xx,所围成的区域的面积nT.【答案】(I)12.n nx（II）(21) 21. 2nnnT（II）过123,P P P1nP向x轴作垂线，垂足分别为123,Q Q Q1nQ,由(I)得11 1222.nnn nnxx 记梯形11nnnnP P QQ的面积为nb.由题意12(1)2(21) 22nn nnnbn，所以123nTbbb+nb=1013 25 272 +32(21) 2(21) 2nnnn 又01223 25 272nT +21(21) 2(21) 2nnnn-得12113 2(22.2)(21) 2nn nTn =1 132(1 2)(21)

28、2.21 2n nn 所以(21) 21. 2nnnT【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.2.【2017 北京，理 20】设na和 nb是两个等差数列，记1122max,nnncba n ba

29、nba n(1,2,3,)n ，其中12max ,sx xx表示12,sx xx这s个数中最大的数（）若nan，21nbn，求123,c c c的值，并证明 nc是等差数列；（）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，ncMn ；或者存在正整数m，使得12,mmmccc是等差数列【答案】 （）详见解析；（）详见解析.【解析】试题分析：（）分别代入求123,c c c，观察规律，再证明当3n 时，11()()20kkkkbnabnan，所以kkbna关于*kN单调递减. 所以112211max,1nnncba n ba nba nba nn ，即证明；（）首先求 nc的通项公式，分111

30、0,0,0ddd三种情况讨论证明.学科网试题解析：解：（）1111 10,cba 21122max2 ,2max1 2 1,32 21cba ba ，3112233max3 ,3,3 max1 3 1,33 2,53 32cba ba ba .当3n 时，1111()()()()20kkkkkkkkbnabnabbn aan，所以kkbna关于*kN单调递减.所以112211max,1nnncba n ba nba nba nn .所以对任意1,1nncn ，于是11nncc ，所以 nc是等差数列.（）设数列na和 nb的公差分别为12,d d，则12111121(1)(1)()(1)kkb

31、nabkdakd nba ndndk.所以1121211121(1)(),nba nndnddndcba ndnd当时，当时，当10d 时，取正整数21dmd，则当nm时，12ndd，因此11ncba n.此时，12,mmmccc是等差数列.当10d 时，对任意1n ，1121121(1)max,0(1)(max,0).ncba nndbanda此时，123,nc c cc是等差数列.【考点】1.新定义；2.数列的综合应用;3.推理与证明.【名师点睛】近年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考

32、查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生.3.【2017 天津，理 18】已知na为等差数列，前 n 项和为()nSnN，nb是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，2312bb,3412baa，11411Sb.（）求na和nb的通项公式；（）求数列221nna b的前 n 项和()nN.【答案】 （1）32nan.2nnb .（2）1328433n nnT.【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前n项和公式列方程求出等

33、差数列首项1a和公差d及等比数列的公比q，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.（II）解：设数列221nna b的前n项和为nT，由262nan，1 212 4nnb ，有221(31) 4nnna bn，故232 45 48 4(31) 4nnTn ，234142 45 48 4(34) 4(31) 4nn nTnn ，上述两式相减，得23132 43 43 43 4(31) 4nn nTn 1112 (1 4 )4(31) 41 4 (32) 48.n nnnn 得1328433n nnT.所以，数列221nna b的前n项和为1328433nn.

34、【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.4.【2017 浙江，22】（本题满分 15 分）已知数列xn满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（Nn）证明：当Nn时，（）0xn+1xn；（）2xn+1 xn1 2nnx x；（）11 2nxn21 2n【答案】 （）见解析；（）见解析；（）见解析【解析】试题解析：（）用数学归纳法证明：0nx当 n

35、=1 时，x1=10假设 n=k 时，xk0，那么 n=k+1 时，若01kx，则0)1ln(011kkkxxx，矛盾，故01kx 因此)(0Nnxn，所以111)1ln(nnnnxxxx，因此)(01 Nnxxnn（）由111)1ln(nnnnxxxx得2 111111422(2)ln(1)nnnnnnnnx xxxxxxx记函数2( )2(2)ln(1)(0)f xxxxx x函数 f(x)在0，+）上单调递增，所以( )(0)f xf=0，因此2 111112(2)ln(1)()0nnnnnxxxxf x，1 12(N )2nn nnx xxxn （）因为1111ln(1)nnnnnxx

36、xxx，所以11 2nnx得1 122nn nnx xxx ，111112() 022nnxx，12111111112()2()2222nnnnxxx，故21 2nnx，1211(N )22nnnxn 【考点】不等式证明【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数2( )2(2)ln(1)(0)f xxxxx x，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明5.【2017 江苏，19】 对于给定的正整数k,若数列na满足1111n kn knn

37、n kn kaaaaaa 2nka对任意正整数()n nk总成立，则称数列na是“( )P k数列”.（1）证明：等差数列na是“(3)P数列”;（2）若数列na既是“(2)P数列” ，又是“(3)P数列” ，证明：na是等差数列.【答案】 （1）见解析（2）见解析（2）数列 na既是“ P 2数列” ，又是“ 3P数列” ，因此，当3n 时，nnnnnaaaaa21124，当4n 时，nnnnnnnaaaaaaa3211236.由知，nnnaaa32141()nnaa，nnnaaa23141()nnaa，将代入，得nnnaaa112，其中4n ，所以345,a a a 是等差数列，设其公差为

38、d.在中，取4n ，则235644aaaaa，所以23aad，在中，取3n ，则124534aaaaa，所以122aad，所以数列na是等差数列.【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明na为等差数列的方法：(1)用定义证明：1(nnaad d为常数） ；(2)用等差中项证明：122nnnaaa；(3)通项法： na为n的一次函数；(4)前n项和法：2 nSAnBn学科￥网6. 【2016 高考新课标 2 理数】nS为等差数列 na的前n项和，且17=128.aS ，记= lgnnba，其中 x表示不超过x的最大整数，如0.9 =0 lg99 =1，（）求111101bbb，；（）求数列 nb的前 1 000 项和【答案】 （）10b ，111b ， 1012b；（）1893.【解析】试题分析：（）先用等差数列的求和公式求公差d，从而求得通项na，再根据已知条件 x表示不超过x的最大整数，求1