AV第二十一讲 数列求和 数列的综合应用.doc

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1、 高考数学一轮第二十一讲 第 1 页共 12 页 第二十一讲 数列求和、数列的综合应用考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、数列中的常用公式1通项公式等差数列的通项公式，1(1)naand()nmaanm d等比数列的通项公式，1 1n naa qn m nmaa q与的关系nanS11,(1) ,(2)n nnSnaSSn2求和公式12nnSaaa等差数列求和公式1 1()(1) 22n nn aan nSnad等比数列求和公式111(1)(1)(1)11n nnnaq Saa qaqqqq 3等差中项与等比中项是与的等差中项，Aab2abA是与的等比中项，或GabGb aGG

2、ab 4常用数列的前项和n；(1)1232n nn ；22462nnn；21 35(21)nn ；2222(1)(21)1236n nnn33332(1)1232n nn【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、求数列的通项公式的基本方法高考数学一轮第二十一讲 第 2 页共 12 页 1观察法：观察法就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数的关系，从而确定出数列的通项n2构造等差、等比数列法：构造法就是根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求解3猜归法：猜归法就是由已知条件

3、先求出数列的前几项，一般是，等，1a2a3a4a由此归纳猜想出，然后用数学归纳法证明na4累加法：如果已知数列的相邻两项与的差的一个关系式，我们可依次na1nana写出前项中所有相邻两项差的关系，然后把这个式子相加，整理求出通项n1n5累积法：如果已知数列的相邻两项与的商的关系，我们可依次写出前na1nana项中所有相邻两项的商的关系式，然后把这个式子相乘，整理求出数列的通项n1n6待定系数法：如果已知数列的通项公式的结构形式，我们可以先设出通项公na式，然后再由已知条件求出待定系数二、求数列的前项和的基本方法n1公式法：直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式、立方和公式

4、等公式求解2倒序相加（乘）法：如果一个数列，与首末两项等距离的两项之和(积)等于首na末两项之和（积） ，可采用把正着写和倒着写的两个式子相加（乘） ，就得到一个常数列的和（积） ，进而求出数列前项和（积） n3错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成，此时可把式子两边同乘以公比，得12nnSaaaq，两式错位相减整理即可求出2 12n nnqSa qa qa qnS4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项和变成首尾的若干少数项之和n5分组转化法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然

5、后由等差、等比数列求和公式求解考点分类精讲考点考点 1 数列的通项公式数列的通项公式高考数学一轮第二十一讲 第 3 页共 12 页 1求数列的通项公式2数列通项公式的应用【例 1】各项均为正数的数列，且对满足的正整数na1aa2abmnpq都有, , ,m n p q.(1)(1)(1)(1)pqmnmnpqaaaa aaaa(1)当，时，求通项；1 2a 4 5b na(2)证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有aan1.na【解析】(1)当时，由得2n(1)(1)(1)(1)pqmnmnpqaaaa aaaa121121.(1)(1)(1)(1)nnnnaaaa aaaa

6、将代入化简得所以 1214,25aa1121. 2n n naaa11111,13 1nnnnaa aa故数列为等比数列，从而即11nna a 11,13n n na a31. 31nnna可验证时也成立，故即为所求.1n 31 31nnna(2)证明：由题设的值仅与有关，记为，(1)(1)mnmnaa aa mnm nb则 1 1 1.(1)(1)(1)(1)nn n nnaaaabaaaa考察函数 ，则在定义域上有( )(0)(1)(1)axf xxax，1,11 1( )( ),12,011aaf xg aaaaa 高考数学一轮第二十一讲 第 4 页共 12 页 故对， 恒成立. 又 ，

7、*nN1( )nbg a222( )(1)n n nabg aa注意到，解上式得10( )2g a1( )1 2 ( )1( )1 2 ( )( ),( )( )1( )1 2 ( )ng ag ag ag ag aag ag ag ag a取，即有 1( )1 2 ( ) ( )g ag a g a1.na点拨：通过构造辅助数列，将数列转化为等差、等比数列，利用等差、等比数列na的通项公式，进而求出数列的通项公式构造辅助数列的常用途径有，na1na，（为常数）等一般地，形如（，为常数）na2nanakk1nnapaqpq的递推式求通项常通过构造等比数列求解，即设，展开后可得1()nnatp

8、at ，与条件相比较得，即，从而得到一个等比数列1nnapapttpttq 1qtp，由其通项公式可求出数列的通项公式1nqapna【例 2】已知数列，满足，且（）na nb12a 11b 111131144 13144nnnnnnaabbab 2n(1)令，求数列的通项公式；nnncab nc(2)求数列的通项公式及前项和公式nannS【解析】(1)由题设得，即（）11()2(2)nnnnababn12nncc2n易知是首项为，公差为 2 的等差数列，通项公式为 nc113ab21ncn(2)由题设得，111()(2)2nnnnababn令，则nnndab11(2)2nnddn高考数学一轮第

9、二十一讲 第 5 页共 12 页 易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为nd111ab1 211 2nnd由解得，1211 2nnnnnabnab，11 22nnan求和得21122nnnSn 【例 3】设数列的前项和为，已知，且当 nannSn11a 23 2a 35 4a 时，2n 211458nnnnSSSS(1)求的值；4a(2)证明：为等比数列；112nnaa(3)求数列的通项公式 na【解析】(1)当=2 时，n211458nnnnSSSS即，解得4353354(1)5(1)8(1) 124224a47 8a (2)因为，211458nnnnSSSS(2)n所以，2111444

10、4nnnnnnSSSSSS(2)n即，因为2144nnnaaa(2)n3125441644aaa 所以，因为，2144nnnaaa212111111 42212 1422(2)2 2nnnnnnnnnnnnaaaaaa aaaaaa所以数列是以为首项，公比为的等比数列112nnaa21112aa1 2(3)由(2)知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以112nnaa21112aa1 2即，1 111( )22n nnaa 11411( )( )22nnnnaa所以数列是以为首项，公差为 4 的等差数列，1( )2nna121 2a高考数学一轮第二十一讲 第 6 页共 12 页 故，即，2(

11、1) 4421( )2nnann111(42) ( )(21) ( )22nn nann所以数列的通项公式是 na11(21) ( )2n nan考点考点 2 数列求和数列求和1求数列的前项和n2利用数列前项和公式解决问题n【例 4】已知是公差不为零的等差数列，且，成等比数列na11a 1a3a9a(1)求数列的通项；na(2)求数列的前项和2 nannS【解析】(1)由题设知公差，0d 由，成等比数列得，11a 1a3a9a12 1d1 8 12d d 解得，（舍去） ，1d 0d 故的通项na1 (1) 1nann (2)由(1)知=，由等比数列前项和公式得2na2nn=232222nnS

12、 2(1 2 ) 1 2n 122n【例 5】给出下面的数表序列：124 4 8表 1 表 2 表 3 1 1 3 1 3 5其中表（=1,2,3 ）有行，第 1 行的个数是 1，3，5，21，从nnnnn第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和(1)写出表 4，验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表（3） （不要求证明） ；nn(2)每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 1，4，12，记此数列为，求和： nb3241 22 31nnnbbb bbb bb b*()nN【解析】(1)表 4 为 1 3 5 7高考数学一轮第二十一讲 第 7

13、页共 12 页 4 8 1212 2032它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别为 4,8,16,32. 它们构成首项为 4，公比为 2的等比数列将结这一论推广到表（3） ，即表各行中的数的平均数按从上到nnn下的顺序构成首项为，公比为 2 的等比数列n将这一结论推广到表，即表各行中的数的平均数按从上到下n(3)nn(3)n的顺序构成首项为，公比为 2 的等比数列n简证如下（对考生不作要求）首先，表的第 1 行 1，3，5，是等差数列，其平均数为n(3)n21n；其次，若表的第行，1 3(21)nnn nk(11)kn1a2a是等差数列，则它的第行，也是等差数1n ka 1k 12aa2

14、3aa1n kn kaa 列由等差数列的性质知，表的第行中的数的平均数与行中的数的平均数分nk1k 别是，11 2n kaa 121 112()2n kn k n kaaaaaa 由此可知，表各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从n(3)n上到下的顺序构成首项为，公比为 2 的等比数列n(2)表第 1 行是 1,3,5，21，其平均数是 nnnnn)(12531由(1)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为 2 的等比n数列（从而它的第行中的数的平均数是） ，于是表中最后一行的唯一一个k12knn数为12nn因此1 2 12 1(2) 22 2(1) 2(1)

15、2k k kkk kkbkk b bkkk k (=1,2,3, , )，2322(1)11 (1) 22(1) 2kkkkk k kkkkn故324 2110 1 22 311111()()1 22 22 23 2nnnbbb bbb bb b 高考数学一轮第二十一讲 第 8 页共 12 页 3211()2(1) 2nnnn22114nn)(点拨：裂项相消是高考的热点问题裂项相消法就是把数列的每一项分裂成一正一负的两项，使得相加后，前后项与项之间能够相互抵消，但在抵消过程中，有的是依次相消，特别是间隔相消，特别是间隔相消，要注意由特例归纳总结出一般规律【例 6】已知是各项均为正数的等比数列，

16、是等差数列，且，na nb111ab= =，2332bba+ =5237ab-=(1)求和的通项公式；na nb(2)设，求数列的前项和nnnca b=*n N ncn【解析】(1)设数列的公比为 q，数列的公差为 d，由题意，由已知，有na nb0q 消去 d，整数得，又因为0，解得，24232,310,qdqd42280qqq2,2qd所以的通项公式为，数列的通项公式为.na12,n nanN nb21,nbnnN(2)由(1)有 ,设的前 n 项和为，则121 2nncn ncnS，1211 23 25 2212nnSn ，12321 23 25 2212nnSn 两式相减得，23122

17、22122323nnn nSnn 所以23 23n nSn【例 7】设各项均为正数的数列 na的前n项和为nS，满足2 1441,nnSannN 且2514,a a a构成等比数列(1)证明：2145aa；(2)求数列 na的通项公式；高考数学一轮第二十一讲 第 9 页共 12 页 (2)证明：对一切正整数n，有122311111 2nna aa aa a【解析】(1)当1n 时，22 122145,45aaaa，21045naaa (2)当2n 时，2 14411nnSan，22 114444nnnnnaSSaa222 1442nnnnaaaa,102nnnaaa 当2n 时， na是公差2

18、d 的等差数列.2514,a a a构成等比数列，2 5214aaa，2 222824aaa，解得23a ,由(1)可知，2 12145=4,1aaa213 12aa na是首项11a ,公差2d 的等差数列.数列 na的通项公式为21nan.(3)122311111111 1 33 55 72121nna aa aa ann11111111123355721211111.2212nnn考点考点 3 数列综合应用数列综合应用1数列与函数、不等式的综合问题2数列与解析几何的综合问题【例 8】设等差数列的公差为，点在函数的图象上（） nad(,)nna b( )2xf x *nN(1)若，点在函数

19、的图象上，求数列的前项和；12a 87(,4)ab( )f xnannS(2)若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求11a ( )f x22(,)a bx12ln2数列 的前项和nna bnnT【解析】(1)点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差(,)nna b( )2xf x 2na nb na高考数学一轮第二十一讲 第 10 页共 12 页 为，所以，d1112222nnnna aadn a nb b因为点在函数的图象上，所以，所以87(,4)ab( )f x8 7842abb8724db b2d又，所以12a 22 1(1)232nn nSnadnnnnn (2)由，函数的图象在

20、点处的切线方程为( )2( )2 ln2xxf xfx( )f x22(,)a b，2 22(2ln2)()aybxa所以切线在轴上的截距为，从而，故x21 ln2a 2112ln2ln2a 22a 从而，nan2nnb 2n n nan b23123 2222nnnT 23411123 22222nnnT所以2341111111 2222222nnnnT111211222nnnnn 故222nnnT【例 9】设，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标*Nnnx221nyx(1 2)，x(1)求数列的通项公式；nx(2)记，证明222 1221nnTx xx1 4nTn【解析】(1)，曲线在点处的

21、切线斜率为22211 =(2 +2)nnyxnx（）221nyx(1,2)，从而切线方程为22n2(22)(1)ynx令，解得切线与轴交点的和坐标0y x1111nnxnn (2)由题设和(1)中的计算结果知222222 13211321( ) ( )()242nnnTx xxn当时，1n 11 4T 当时，因为，2n 22 22 2122221(21)(21)1221()2(2 )(2 )(2 )nnnnnnxnnnnn高考数学一轮第二十一讲 第 11 页共 12 页 所以211211( )2234nnTnn综上，可得对任意的，均有*nN1 4nTn【例 10】在数列中， na13a 2 1

22、10nnnnaaaa()nN(1)若，求数列的通项公式；0,2 na(2)若，证明：00 01(,2)kNkk1 01 0011223121kakk【解析】(1)由2 1=0=22()nnnaaanN有有有若存在某个使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可0,nN 00na 010na得，此与矛盾，所以对任意，10a 13a nN0na 从而，即是一个公比的等比数列12()nnaa nN na2q 故11 13 2nn naa q (2)由，数列的递推关系式变为，01,1k na2 11 010nnnnaaaak变形为由上式及，2 1 01()nnnaaak()nN130a 归纳可得1213

23、0nnaaaa因为，2 222 00 1 000011 11 111n n nn nnnaakkaakk aaakk+-+ =-+所以对求和得01,2,nk 00011211()()kkkaaaaaa010 000102011111=()111kakkkk ak ak a000000111112+( )231313131kkkkkk 高考数学一轮第二十一讲 第 12 页共 12 页 另一方面，由上已证的不等式知，得 001212kkaaaa00110 000102011111()111k kaakkkk ak ak a000000111112+()221212121kkkkkk 综上， 01 00112+23121kakk本专题试题训练详见试题精练