K第十讲 主干考点 解析几何.doc

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1、第十讲第十讲 主干考点主干考点 解析几何解析几何【名师高考导航名师高考导航】平面解析几何是高考考查的重点知识之一，它侧重于对形象思维、推理运算和数形结合等能力的考查，综合了代数、三角、几何、向量等知识，所涉及的知识点较多，对解题能力考查的层次较高解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个个的解题套路，而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下工夫，不断克服解题中的运算难关反映在解题上，就是把曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解

2、有关问题，具体地说就是通过建立坐标系研究曲线的方程，并通过求解方程来解决实际问题【考点思维脑图考点思维脑图】【重要考点串讲重要考点串讲】一、直线与圆一、直线与圆1直线方程的五种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率与点k00(,)xy00()yyk xx不含直线0xx斜截式斜率与截距kbykxb不含垂直于轴的直线x两点式两点，11( ,)x y22(,)xy112121yyxx yyxx(，)12xx12yy不含垂直于坐标轴的直线截距式截距与ab1xy ab不含垂直于坐标轴的直线和过原点的直线一般式0AxByC220AB平面直角坐标系内的直线都适用2直线的两种位置关系若给定两直线：和：，1l11y

3、k xb2l22yk xb(1)平行：且(若，直线和重合)12ll12kk12bb12bb1l2l(2)垂直：12ll121k k 【提醒】当一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略3距离公式(1)两点，间的距离111( ,)P x y222(,)P xy22 121212|()()PPxxyy(2)点到直线 ：的距离00(,)P xyl0AxByC0022|AxByCd AB (3)两平行线：，：的距离1l10AxByC2l20AxByC1222|CCd AB 4圆的方程(1)圆的标准方程：222()()xaybr(2)圆的一般方程：220xyDxEyF2

4、2(40)DEF圆心为，半径长为；(,)22DE22142DEF二元二次方程表示圆的充要条件是220AxBxyCyDxEyF220040ACBDEAF 5直线与圆的位置关系：相切、相交、相离(1)判断位置关系的两种方法(2)圆的切线方程若圆：，点在圆上（注意：点必须在圆上） ，则过O222xyr00(,)P xyOP点且与圆 O 相切的切线方程为P2 00x xy yr过圆 M：上点的切线方程为222()()xaybr00(,)P xy2 00()()()()xa xayb ybr(3)直线与圆相交直线与圆相交时，若 为弦长，为弦心距，为半径，则有，即ldr222( )2lrd，求弦长或已知弦

5、长求其他量的值，一般用此公式222lrd6圆与圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含(1)判断圆与圆的位置关系的方法几何法位置关系图示，的关系dRr外离dRr外切dRr相交RrdRr内切dRr内含dRr代数法，设圆：，圆：，对于1C22 1110xyD xE yF2C22 2220xyD xE yF方程组，22 111 22 2220 0xyD xE yF xyD xE yF 有两组不同的实数解两圆相交；有两组相同的实数解两圆相切；无实数解两圆外离或内含(2)两圆相交时，公共弦所在直线的方程设圆： ，圆：1C22 1110xyD xE yF2C，若两圆相交，则有一条公共弦，由，得22 22

6、20xyD xE yF，121212()()0DD xEEyFF方程表示两圆与的公共弦所在直线的方程1C2C二、圆锥曲线与方程二、圆锥曲线与方程1椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义12| 2PFPFa12(2|)aFF12| 2PFPFa12(2|)aFF|PFd标准方程焦点在轴上x22221xy ab(0)ab焦点在轴上x22221xy ab(0,0)ab焦点在轴正半轴x上22ypx(0)p 图象范围，|xa|yb，|xayR，0xyR顶点，(,0)a(0,)b(,0)a(0,0)对称性关于轴、轴和原点对称xy关于轴对称x焦点(,0)

7、c(,0)2p轴长轴长，短轴长2a2b实轴长，虚轴长2a2b离心率221cbeaa(01)e221cbeaa(1)e 1e 准线2px 通经22|bABa| 2ABp几何性质渐近线byxa 2与双曲线与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可设为有相同渐近线的双曲线方程可设为(0)，渐近线，渐近线22221xy ab2222xy ab方程为方程为的双曲线方程也可设为的双曲线方程也可设为(0)求双曲线求双曲线byxa 2222xy ab(0)的渐近线方程，只需令的渐近线方程，只需令即可即可2222xy ab03抛物线抛物线中中的几何意义是焦点到准线的距离的几何意义是焦点到准线的距离22ypxp4直线与圆

8、锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线方程联立，消去（或） ，得到方程（或yx20axbxc） 20aybyc若，当时，相交；0a 0 当时，相切；0 当时，相离0 若时，直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线有一个交点直线与抛物线的0a 对称轴平行，只有一个交点5弦长问题的求解方法弦长问题的求解方法(1)斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，则所得弦长k111( ,)P x y222(,)P xy或2 1221|1|PPkxx122121|1|PPyyk其中求与时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：21|xx21|yy，2 211212|()4|xxxxx xa2 211212|()

9、4|yyyyy ya(2)当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算（利用两点间的距离公式）k6中点弦问题的处理方法中点弦问题的处理方法(1)根与系数关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，即“设而不求” (2)点差法：若直线 与圆锥曲线 C 有两个交点和，一般地，首先设出交点坐标lAB，代人曲线方程，通过作差，构造，11( ,)A x y22(,)B xy12xx12yy12xx，从而建立了中点坐标和斜率的关系12yy在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；22221xy ab00(,)P xy2 0 2 0b xka y 在双

10、曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；22221xy ab00(,)P xy2 0 2 0b xka y在抛物线()中，以为中点的弦所在直线的斜率22ypx0p 00(,)P xy0pky【方法技巧突破方法技巧突破】必考点必考点 1 求解直线与圆的有关问题求解直线与圆的有关问题【典例 1】(2017 全国卷)在直角坐标系中，曲线与轴交于，xOy22yxmxxA两点，点的坐标为当变化时，解答下列问题：BC(0,1)m(1)能否出现的情况？说明理由；ACBC(2)证明过，三点的圆在轴上截得的弦长为定值ABCy【解析】(1)不能出现的情况，理由如下：ACBC设，则，满足，所以1( ,0)A x2(,0

11、)B x1x2x220xmx122x x 又的坐标为，故的斜率与的斜率之积为，C(0,1)ACBC12111 2xx 所以不能出现的情况ACBC(2)的中点坐标为，可得的中垂线方程为BC21(, )22xBC2 21()22xyx x由(1)可得，所以的中垂线方程为12xxm AB2mx 联立，又，可得，2 22 1()22mxxyx x 2 2220xmx2 1 2mxy 所以过、三点的圆的圆心坐标为，半径ABC1(,)22m29 2mr故圆在轴上截得的弦长为，y222()32mr 即过、三点的圆在轴上的截得的弦长为定值ABCy【典例 2】(2016 全国) 已知直线 ：与圆交于，l330m

12、xym2212xyA两点，过，分别作 的垂线与轴交于，两点若，则BABlxCD| 2 3AB =_|CD【解析】设圆心到直线的距离为，:330l mxymd则弦长，得，2| 2 122 3ABd3d 即，解得，则直线，2|33 |3 1mm 3 3m :360l xy数形结合可得|4cos30ABCD 【典例 3】过点的直线 与圆有公共点，则直线 的倾斜角的取值(3, 1)P l122 yxl范围是A B C D60，（30，（60，30，【解析】解法一 如图，要使过点的直线 与圆有公共点，则直线 在 PA 与 PB 之间，Pll因为，所以，则，1sin2623APB所以直线 的倾斜角的取值范

13、围为故选 Dl0,3解法二 因为直线 与圆有公共点，所以设 ：，l122 yxl1(3)yk x 即 ：，则圆心到直线 的距离，l310kxyk (0,0)l 2|31|1 1kk得，即，故直线 的倾斜角的取值范围是 230kk03kl0,3【误区警示】求倾斜角时要注意斜率是否存在利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角的取值范围【典例 4】在平面直角坐标系中，直线被圆截得xOy230xy22(2)(1)4xy的弦长为 【解析】因为圆心到直线的距离，所以直线(2, 1)230xy|223|3 55d被圆截得的弦长为230xy92 552 455【方法探究】求圆的弦长的方法一是

14、直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得二是不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为，k联立直线方程与圆的方程消去后得到方程两根为，则弦y1x2x长2 121|dkxx三是利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求，对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法较为简单，本题的求解运用的就是此种方法必考点必考点 2 求解直线与圆锥曲线的相关问题求解直线与圆锥曲线的相关问题角度角度 l 圆锥曲线的几何性质及应用圆锥曲线的几何性质及应用【典例 1】(2017 天津) 已知双曲线的左焦点为，离心率22221(0,0)xyababF为若经过和两点的直线平行于双曲线的一条

15、渐近线，则双曲线的方程2F(0,4)P为A B C D22 144xy22 188xy22 148xy22 184xy【解析】设，双曲线的渐近线方程为，由，由题意有(,0)Fcbyxa 44PFkcc，又，得，选 B4b ca2c a222cab2 2b 2 2a 【典例 2】(2016 浙江)已知椭圆：()与双曲线：(1C2 2 21xym1m 2C2 2 21xyn)的焦点重合，分别为，的离心率，则0n 1e2e1C2CA且 B且mn1 21ee mn1 21ee C且 D且mn1 21ee mn1 21ee 【解析】由于，则，故，221mc 221nc 222mnmn又=1+1，2222

16、24 21 2 1 22222421111()22nmnnnne emnnnnn421 2nn所以1故选 A1 2e e【典例 3】设椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的01:2222 baby axC21FF，2Fx垂线与交于两点，与轴相交于点，若，则椭圆的离心CBA，BF1yDBFAD1C率等于_【解析】由题意知，其中，因为过且与轴垂直的直1(,0)Fc2( ,0)F c22cab2Fx线为，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为，因为 ABxc2 ( ,)bA ca2 ( ,)bB ca平行于 y 轴，且，所以，即 D 为线段为的中点，所12| |FOOF1| |FDBDD1FB以点的坐标为，由

17、，所以，D2 (0,)2b aBFAD1 11ADF Bkk 即，整理得，所以，222 ()0210()bbb aaa ccc 232bac223()2acac又，所以，解得（舍去） cea01e23230ee3 3e 3e 【方法探究】对椭圆性质的考查主要集中在其离心率上，求解椭圆的离心率及其范围问题，其关键是确立一个关于，的关系式，再根据，的关系消掉得到，abcabcba的关系式，建立关于，的关系式要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围cabc等【误区警示】椭圆的离心率越接近 1，则越接近，从而越小，因此eca22bac椭圆越扁；越接近 0，则越接近，这时椭圆接近于圆，当且仅当时，eba

18、ab0c 这时两个焦点重合，椭圆就变为圆，方程为注意椭圆中，不要222xya222abc把这个关系与双曲线中，的关系混淆了，同时要注意椭圆的离心率的取值范围abce是01e【典例 4】设直线与双曲线的两条渐近线分别30(0)xymm22221(0,0)xyabab交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是_AB( ,0)P m| |PAPB【解析】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系联立直线方程与双曲线的渐近线方程可解得交点为，而byxa (,)33ambmAbaba(,)33ambmBbaba ，设 AB 的中点为 E，由，可得 AB 的中点 E 与点 P的连线的斜率1 3ABk|

19、|PAPB为，即，化简得，所以33302333 2bmbm babaamam babam 224ba5 2e 【方法探究】在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法由，所以可以把标准方程，0bxyyxaab 22220xy ab22221xy ab(0a 中的“l”用“0”替换即可得出渐近线方程，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”0)b 大小的一个数据，由于，当逐渐增大时，的值就逐渐增大，22 21bcaeaaeb a双曲线的“张口”就逐渐增大【典例 5】设为抛物线 C：的焦点，过且倾斜角为 30的直线交于两F23yxFC,A B点，为坐标原点，则的面积为OOABA B C D3 3 49 3

20、863 329 4【解析】易知抛物线中，焦点，直线的斜率，故直线的方3 2p 3( ,0)4FAB3 3k AB程为，代入抛物线方程，整理得33()34yx23yx22190216xx设，则，1122( ,), (,)A x yB xy1221 2xx由物线的定义可得弦长，12|12ABxxp结合图象可得到直线的距离，OAB3sin3028pd 所以的面积选 DOAB19|24SAB d【技巧点拨】直线与圆锥曲线相交问题中，求相关三角形的面积是一类基本问题，本题中利用直线“过焦点”的特征及抛物线的定义并结合图象进行转化、求解，简化了运算过程，若按一般的相交弦问题处理，其过程如下：由方程得，可1

21、221 2xx129 16x x 得弦长，又到直线 AB 的距离，所以22 1212|1()4ABkxxx xO 23 4 1d k OAB 的面积2 1212139|()4284SAB dxxx x角度角度 2 圆锥曲线中定点、定值问题的求解圆锥曲线中定点、定值问题的求解【典例 1】(2017 全国卷)已知椭圆：，四点，C22221(0)xyabab1(1,1)P，2(0,1)P，中恰有三点在椭圆上33( 1,)2P 43(1,)2P C(1)求的方程；C(2)设直线 不经过点且与相交于，两点若直线与直线的斜率的l2PCAB2P A2P B和为，证明： 过定点1l【解析】(1)由于，两点关于

22、 y 轴对称，故由题设知 C 经过，两点3P4P3P4P又由知，C 不经过点 P1，所以点 P2在 C 上22221113 4abab因此，解得222111314bab 2241ab故 C 的方程为2 214xy(2)设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2，如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x=t，由题设知，且，可得 A，B 的坐标分别为0t | | 2t （t，） ， （t，） 24 2t24 2t则，得，不符合题设22124242122ttkktt 2t 从而可设 l：（） 将代入得ykxm1m ykxm2 214xy222(41)8440kxkmxm由题设可知22=16

23、(41)0km设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2=，x1x2=28 41km k2244 41m k 而12 12 1211yykkxx121211kxmkxm xx1212122(1)()kx xmxx x x由题设，故121kk 1212(21)(1)()0kx xmxx即222448(21)(1)04141mkmkmkk解得1 2mk 当且仅当时，欲使 l：，即，1m 0 1 2myxm 11(2)2myx 所以 l 过定点（2，）1【思路点拨】本题主要考查椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等知识，是一道综合能力较强的题，意在考查考生的分析问题、解决问题的能力以及运

24、算求解能力(1)利用椭圆的性质，容易排除点不在椭圆上，从而求出椭圆方程；(2)利用直线与椭圆的方程1(1,1)P得出根与系数的关系，从而使问题得解，在解题中要注意斜率不存在的情形【典例 2】(2016 北京) 已知椭圆：的离心率为，C22221(0)xyabab3 2( ,0)A a，的面积为 1(0, )Bb(0,0)OOAB(1)求椭圆的方程；C(2)设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点PCPAyMPBxN求证：为定值| |ANBM【解析】(1)由题意得解得, 121,23222cbaabac1, 2ba所以椭圆的方程为C1422 yx(2)由(1)知，) 1 , 0(),0 ,

25、 2(BA设，则),(00yxP442 02 0 yx当时，直线的方程为00xPA)2(200xxyy令，得从而0x2200 xyyM221100 xyyBMM直线的方程为PB1100xxyy令，得从而0y100 yxxN12200 yxxANN所以221120000 xy yxBMAN228844 224844400000000000000002 02 0 yxyxyxyx yxyxyxyxyx4当时，00x10y, 2, 2ANBM所以4 BMAN综上，为定值BMAN 【思路点拨】求解此类问题的关键为(1)运用椭圆的几何性质解决问题，要充分挖掘题目中所隐含的条件，如半焦距 c、长半轴长 a

26、、短半轴长 b 之间的关系：，离心率，对称轴，顶点坐标，焦点坐标及焦点所在的222cab(0,1)cea坐标轴等，通过这些关系列出等式，进行求解；(2)当题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只需联立直线方程与圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系，找准题设条件中的等量或不等关系，把这种关系“翻译”出来，问题即可解决【典例 3】如图，已知抛物线，过点任作一直线与相交于两2:4C xy(0,2)MC,A B点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点） ByAODO(1)证明：动点在定直线上；D(2)作的任意一条切线 （不含轴）与直线相交于点，与(1)中的定直线Clx2y 1N相交于点，证明

27、：为定值，并求此定值2N22 21|MNMNxyDMBAO【解析】(1)解：依题意可设方程为，代入，得，即AB2ykx24xy24(2)xkx设，则有：，直线 AO 的方程为；2480xkx1122( ,), (,)A x yB xy128x x 11yyxxBD 的方程为；解得交点 D 的坐标为，注意到及，则2xx12 2 1(,)y xxx128x x 2 114xy有，因此 D 点在定直线上2 12121211244y xx xx xyxx 2(0)yx (2)依题设，切线 的斜率存在且不等于零，设切线 的方程为，代入ll(0)yaxb a得，即，由得，化简整理得24xy24()xaxb

28、2440xaxb0 2(4 )160ab，故切线 的方程可写为，分别令得的坐标为2ba l2yaxa2,2yy 12,N N，则，1222(,2),(, 2)NaNaaa22222 2122()4()8MNMNaaaa即为定值 822 21|MNMN【思路点拨】(1)设直线的点斜式方程为，代入抛物线方程，消AB2ykx24xy去，可利用根与系数的关系得到，两点坐标间的关系，再证明直线与直线yABAO的交点的纵坐标是一个常数即可(2)设切线 的方程为，代入抛物BDl(0)yaxb a线方程，消去，根据相切，即得到，的关系式，结合及(1)的结24xyy0 ab2y 论求出交点，的坐标，则通过计算即

29、可证明是一个与，无1N2N22 21|MNMNab关的常数【方法探究】1解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2涉及曲线过定点的问题，则曲线一定是含有参数的动曲线，对于曲线系方程，可将曲线系方程化为，令，求出交点坐标即( , )( , )0f x yg x y( , )0f x y ( , )0g x y 为定点如直线的点斜式方程

30、：，对于变量，则直线系必过定点00()yyk xxk；又如直线的斜截式方程：，则直线系必过定点00(,)xyykxm(0,)m角度角度 3 圆锥曲线中最值、范围问题的求解圆锥曲线中最值、范围问题的求解【典例 1】(2017 全国卷)设、是椭圆：长轴的两个端点，若上存ABC22 13xy mC在点满足 =120，则的取值范围是MAMBmA B(0,19,)(0, 39,)C D(0,14,)(0, 34,)【解析】当，焦点在轴上，要使上存在点满足，03mxCM120AMB则，即，得；tan603a b33m01m当，焦点在轴上，要使上存在点满足，3m yCM120AMB则，即，得，tan603a

31、 b33m9m 故的取值范围为，选 A m(0,19,)【误区警示】注意焦点可能在轴上，也可能在轴上；借助图形的直观性，寻找关xy于参数的分类点，即可求出参数的取值范围【典例 2】(2017 浙江) 如图，已知抛物线点，抛物线上的2xy1 1(, )2 4A 3 9( , )2 4B点，过点作直线的垂线，垂足为( , )P x y13()22xBAPQyxQABPO(1)求直线斜率的取值范围；AP(2)求的最大值| |PAPQ【解析】(1)设直线 AP 的斜率为，k，21 14 12 2x kx x 因为，所以直线 AP 斜率的取值范围是。13 22x( 1,1)(2)联立直线 AP 与 BQ

32、 的方程110,24 930,42kxykxkyk 解得点 Q 的横坐标是 2243 2(1)Qkkxk因为=|PA211()2kx21(1)kk= =，|PQ21()Qkxx22(1)(1)1kkk 所以=|PA PQ3(1)(1)kk令，( )f k 3(1)(1)kk因为，2( )(42)(1)fkkk 所以在区间上单调递增，上单调递减，( )f k1( 1, )21( ,1)2因此当时，取得最大值1 2k |PA PQ27 16【思路点拨】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力(1)利用直线的斜率公式及的取值范围即可x求解；

33、(2)先联立直线 AP 与 BQ 的方程，得出点 Q 的横坐标，并表示出|PA|、|PQ|，然后构造函数求|PA|PQ|的最大值【典例 3】(2016 四川) 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任OPF22(0)ypx p意一点，是线段上的点，且=2，则直线的斜率的最大值为MPFPMMFOMA B C D13 32 32 2【解析】设（不妨设） ，则22, 2,PptptM xy0t 2(2, 2)2pFPptpt ，1 3FMFP 22,236 2,3pppxtpty 22,33 2,3ppxtpty ，故选 C22112 12121222OMtktttmax2()2OMk【典例 4】已知的

34、三个顶点在抛物线 C：上，为抛物线的焦点，点ABP24xyFC为的中点，MAB3PFFM (1)若，求点的坐标；| 3PF M(2)求面积的最大值ABP【解析】(1)由题意知，焦点为，准线方程为，设，) 1 , 0(F1y),(00yxP由抛物线的定义知，得到，代入求得或1|0 yPF20y24xy220x，220x所以或，由得或，)2 ,22(P)2 ,22(FMPF3)32,322(M)32,322(M(2)设直线的方程为，ABmkxy),(11yxA),(22yxB),(00yxP由得，于是， yxmkxy420442mkxx016162mk所以，kxx421mxx421所以的中点的坐标

35、，ABM)2 ,2(2mkk由，所以，FMPF3) 12 ,2(3)4 ,(2 00mkkyx所以，因为， mkykx36462 00 02 04yx 所以，由，所以，154 312mk00k34 31m又因为，mkkAB2214|点到直线的距离为，) 1 , 0(FAB 21| 1|km所以，1531516| 1|64232mmmkmSSABFABP记，令，153)(23mmmmf)34 31(m01109)(2mmmf解得，911m12m所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，)(mf)91,31() 1 ,91()34, 1 (又，)34(243256)91(ff所以当时 ，取得最

36、大值，此时，91m)(mf243256 1555k所以的面积的最大值为ABP1355256【思路点拨】(1)根据，结合抛物线的定义确定点的纵坐标，进而求解点| 3PF P的坐标，结合点的坐标以及向量关系式即可确定点的坐标；(2)设出直线的方PFMAB程，根据直线与抛物线的位置关系，结合函数与方程思想确定点的坐标表达式，利用向量关系式确定相应点的坐标，确定三角形面积的表达式，进而转化为函数的最值问题求解【方法探究】与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的方法：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积

37、等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量、不等式的应用，角度角度 4 圆锥曲线中的综合探索性问题圆锥曲线中的综合探索性问题【典例 1】(2015 湖北) 一种作图工具如图 1 所示是滑槽的中点，短杆 ON 可绕 OOAB转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且，当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕转动一周1DNON3MN O（D 不动时，N 也不动） ，M 处的笔尖画出的曲线记为 C以为原点，所在的直OAB线为轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系x(1)求曲线 C 的方程

38、；(2)设动直线 与两定直线和分别交于两点若直线 总l1:20lxy2:20lxy,P Ql与曲线有且只有一个公共点，试探究：OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，C求出该最小值；若不存在，说明理由【解析】(1)设点，依题意，( , 0)D t(| | 2)t 00(,),( , )N xyM x y，且，2MDDN | | 1DNON所以，且00(,)2(,)txyxt y22 0022 00()11xtyxy即，且00222txxtyy 0(2)0t tx由于当点不动时，点也不动，所以 不恒等于 0，DNt于是，故，代入，可得，02tx00,42xyxy 22 001xy22 1164xy

39、即所求的曲线的方程为C22 1164xy(2)()当直线 的斜率不存在时，直线 为或，都有ll4x 4x 14482OPQS ()当直线 的斜率存在时，设直线， l1:()2l ykxmk 由 ，消去，可得22416ykxmxy y222(14)84160kxkmxm因为直线 总与椭圆有且只有一个公共点，lC所以，即 2222644(14)(416)0k mkm 22164mk又由 可得；同理可得, 20,ykxm xy 2(,)1212mmPkk2(,)1212mmQkk 由原点到直线的距离为和，可得OPQ 2|1md k 2|1|PQPQkxx 22111222|222121214OPQP

40、QmmmSPQ dmxxmkkk将代入得，222241281441OPQkmSkk当时，；21 4k 2224128()8(1)84141OPQkSkk当时，2104k2224128()8( 1)1414OPQkSkk 因，则，所以，2104k20141k 22214k228( 1)814OPQSk 当且仅当时取等号所以当时，的最小值为 80k 0k OPQS综合（） （）可知，当直线 与椭圆在四个顶点处相切时，lCOPQ 的面积取得最小值 8【思路点拨】本题主要考查圆锥曲线在实际问题中的应用，椭圆的标准方程、几何性质以及直线与圆、椭圆的位置关系，最值，意在考查分析转化能力、计算能力及分类讨论

41、思想(1)设相关点的坐标，利用向量列出等式求解；(2)联立直线与椭圆方程求解【典例 2】已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小 2(0,1)F3y (1)求曲线的方程；(2)曲线在点处的切线 与轴交于点直线分别与直线 及轴交于点PlxA3y ly，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点,M NMNCACB在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你PPAB的结论【解析】解法一 (1)设为曲线上任意一点，( , )S x y依题意，点 S 到的距离与它到直线的距离相等，(0,1)F1y 所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，(0,1)F1y 所以曲线的方程

42、为24xy(2)当点 P 在曲线上运动时，线段 AB 的长度不变，证明如下：由(1)知抛物线的方程为，21 4yx设，则，000(,)(0)P xyx 2 001 4yx由，得切线 的斜率1 2yxl， 0 01 2x xkyx所以切线 的方程为，即l0001()2yyx xx2 0011 24yx xx由，得2 0011 24 0yx xxy 01(,0)2Ax由，得2 0011 24 3yx xxy 0 016(,3)2Mxx又，所以圆心，(0,3)N0 013(,3)4Cxx半径，0 0113| |24rMNxx22222 000 0011313|()3()6244ABACrxxxxx所

43、以点 P 在曲线上运动时，线段 AB 的长度不变解法二：(1)设为曲线上任意一点，( , )S x y则，22|( 3)|(0)(1)2yxy 依题意，点只能在直线的上方，所以，( , )S x y3y 3y 所以，22(0)(1)1xyy化简得，曲线的方程为24xy(2)同解法一【思路点拨】(1)利用抛物线的定义或点到点及点到直线的距离关系求曲线方程；(2)求导得切线的斜率，设出切线方程，求出点，的坐标，再求出圆的半径，即可求出AM，从而可判断出线段的长度是否发生变化|ABAB【方法探究】解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决问题的一般策略是：先假设结论成立，然后进行演绎推理或导出矛盾，即可否定假设或推出合理结论，验证后肯定结论，对于“存在”或“不存在”的问题，直接用条件证明或采用反证法证明，解答时，不但需要熟练掌握圆锥曲线的概念、性质、方程及